格林公式及其在微分方程中的应用

格林公式沟通了被积函数在积分区域上的积分和边界积分的关系.在一维函数中,格林公式即为定积分的分部积分法,在高维函数中,分部积分法与格林公式不再相同.首先给出一维分部积分法并加以证明,其次给出二维格林公式及其证明并利用高维函数分部积分法证明一般形式的格林公式,最后给出格林公式在微分方程变分问题中的一些应用.     

浅谈定积分的计算技巧

定积分的计算以牛顿-莱布尼兹公式为基础，用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分的关键在于找到被积函数的一个原函数，常用的方法有换元积分法与分部积分法。然而，定积分的计算具有很强的灵活性，本文探讨了几种特殊类型的定积分的计算方法与技巧，有利于开拓解题思路，提高运算效率。     

一道定积分题目的多种解法

针对一道定积分题目进行探讨,提出14种计算方法,可以直接利用换元积分法,也可以先对被积函数化简,然后再利用凑微分法或换元积分法,进而培养学员的发散思维.     

计算瑕积分的几个近似方法(Ⅰ)

引言我们知道,在许多情况下,可以借助于分部积分法或在积分中进行变量替换将瑕积分变成正常积分。这样便可以借助于通常的机械求积公式近似地计算瑕积分了。在被积函数含有一足够光滑因子的情况下,为了以求积和代替定积分在精确度上达到要求,最方便能行的还是Л.В.Канторович的奇点分离法。一言以蔽之,这些方法的实质在于改造被积函数,以便充分地,有效地利用通常的求积公式。人们自然会想到,是否     

定积分计算中的若干技巧

在微积分基本定理——计算定积分的基本公式——牛顿-莱布尼兹公式和计算定积分的2个常用积分公式:分部积分公式、换元积分公式基础之上,总结归纳了对具有某种性质的被积函数在某些特殊区间上的定积分的计算方法,以及在定积分的计算中常常被忽略的技巧。提出了在定积分计算中可以充分地利用被积函数的奇偶性、周期性、积分区间的对称性,以及定积分的几何意义(平面图形所围区域的面积)。也可以利用一些已经被证明的相关结论来计算定积分。这些方法的使用可以使定积分的计算量大大减少,从而提高运算效率,减少计算时间。     

几类利用灵活换元法求解的定积分

利用定积分上、下限的特殊性,通过适当换元,将对被积函数为f(x)的定积分转化为对被积函数为f(x)+f1(x)的定积分,从而使得一些定积分的计算过程得以简化。     

探讨分部积分法中u、v的选取

分部积分法是计算积分的重要方法之一,使用的过程中u、v的选取非常关键,选择不当会使积分的计算变得更加复杂.本文总结了几种常见被积函数u、v的选取规律,借以帮助初学者正确的使用分部积分法。     

关于对称区间上定积分的计算

根据被积函数的特性,研究了关于原点对称区间上定积分的计算问题,得到了关于原点对称区间上定积分计算的一个公式.探讨并研究了几类函数,得到了这些函数的有关性质.在此基础上,将原定积分的计算问题进行转化,给出了这些函数关于原点对称区间上定积分的计算方法,这种方法不需要直接求原函数,简化了原点对称区间上定积分的计算问题.     

一类对称区间上的定积分的求法

在学习定积分的过程中,有一类定积分的计算非常巧妙,它充分利用了积分区间的对称性和被积函数的特性,通过作负变换,使问题迎刃而解.本文通过对一些实例的分析,给出了解决这类问题的一般方法,并进一步给出了使用该方法的判定方法.     

积分区域的对称性在重积分计算中的应用

一般数学分析教科书中,给出了在对称区间上当被积函数为奇偶函数时,定积分计算的两种简便方法,本文将这一条件作进一步扩充,给出在对称区域上当 被积函数为奇或偶函数时,重积分,线积分,面积分的简便计算方法.     

一类在积分区间上不连续函数的积分法

用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分,只能计算在积分区间上连续的函数的定积分,本文给出了一个计算在积分区间上有无穷间断点并满足一定条件的函数的积分法.     

关于被积函数特征与积分方法选择的探讨

这篇论文详细介绍各种不定积分方法,深刻总结各种积分法细微特征,试图从各种积分方法所针对的被积函数特点这个角度进行突破,希望将不同积分法所解决的积分进行对比归类,提出了一些求解不定积分时方法选择的原则和技巧。     

多元函数积分计算的一种形式统一法

定积分的计算中,要求积分号的个数、被积函数自变量的个数以及积分变量的个数具有严格的形式统一性.多元函数积分并不具有这个特点,但是它们的计算往往需要利用这个特点化简为多次积分来求值.通过分析发现,形式统一法为多元函数积分的计算提供了一种操作性较强的方法.     

反常积分的计算

在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,问题之一是考虑无穷区间上的积分。本文讨论了反常积分的牛顿——莱布尼兹公式,换元积分法,以及收敛的判别方法。     

对称性在积分计算中的应用

给出利用积分区域对称性和被积函数的奇偶性简化定积分、二重积分、三重积分的计算,通过实例应用进行探讨.     

隐藏着可以凑微分的不定积分计算问题

凑微分在不定积分计算中占有很重要的地位，第一换元法和分部积分法都需要先凑微分，但有的被积函数是否可以凑微分不是很明显．就一些常见隐藏在被积函数中能凑微分或是通过适当变换能凑成微分的积分进行了总结，旨在使读者能产生一些启示或积累一点经验．     

反函数积分法和它的几何意义

积分是高等数学的主要内容之一,它的应用十分广泛,方法比较灵活,如何进行积分,视被积函数而定.被积函数若它的反函数存在且可积时,利用反函数的积分比用常规的积分方法较为简单.     

定积分等式的证明技巧

根据定积分被积函数或其主要部分的不同情况采用不同的证明方法,主要提供一些证明技巧.     

关于定积分概念和性质的应用研究

定积分的概念和性质是计算定积分及研究函数可积性的重要工具.本文结合教学实际面通过举例说明定积分的概念和性质在实际问题中的应用.     

定积分定义在证明和求极限中的应用

定积分的值只与被积函数和积分区间有关,与区间的划分方法以及点ξi的选取方法无关,利用定积分的定义,选择合理的区间划分方法及点ξi的选取法,不但可以简化与定积分相关的证明,而且可以处理一些复杂的求极限问题.