关于“Structure of the set of periods for the Lorenz map”一文的注记

在“ＳｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｔｈｅｓｅｔｏｆＰｅｏｒｉｄｓｆｏｒｔｈｅＬｏｒｅｎｚｍａｐ”一文中，ＪＬｌｉｂｒｅ得到了，对于Ｌｏｒｅｎｚ映射，著名的Ｓａｒｋｏｖｓｋｉｉ定理仍然成立．即若ｎ∈Ｐ（ｆ）且ｎ＞＞ｋ（ｋ＞１），则ｋ∈Ｐ（ｆ）．然而，ＪＬｌｉｂｒｅ的文中该结论的主要依据有部分错误．本文改正了这些错误，给出了一些引理，并由此证明该结论仍然成立．     

积分型Bernstein不等式

本文得到以下积分型Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ不等式：令Ｐｎ（Ｄ）＝∏ｓ＝１＾ｋ（Ｄ＾２＋２αｓＤ＋αｓ＾２＋βｓ＾２）∏ｊ＝１＾ｎ－２ｋ（Ｄ－λｊ）,其中Ｄ＝ｄ／ｄｘ,αｓ,βｓ,λｊ为实数;βｓ〉０,ｓ＝１,２,…,ｋ;ｊ＝１,２,…,ｎ－２ｋ;β＝ｓｕｐβｓ１≤ｓ≤ｋ,ｐ≥１则１．若ｍ〉４β,则对任意的ｍ阶三角多项式Ｔｍ（ｘ）,有（∫０＾２πＰｎ（Ｄ）Ｔｍ（ｘ）＾ｐｄｘ）＾１／ｐ≤Ｐｎ（ｉｍ）     

一类常微分方程的积分解

本文给出以下形式的微分方程的积分解：Ｐｎ（Ｄ）＝Π（ｋ,ｓ＝１）（Ｄ＾２－２α３Ｄ＋α＾２ｓ＋β＾２ｓ）．Π（ｎ－２ｋ,ｊ＝１）（Ｄ－λｊ）。其中Ｄ＝ｄ．ｄｘ．λｊ,αｓ,βｓ为实数,│αｓ│〉０,ｓ＝１,２,３,…,ｋｊ,ｊ＝１,２×,ｎ－２ｋ,λ＝ｍａｘ １≤ｓ≤ｋ,１≤ｊ≤ｎ－２ｋ｛│αｓ│,│λｊ│α,ｙ（ｘ）为（－∞,＋∞）上的有界函数,则方程Ｐｎ（Ｄ）ｆ（ｘ）＝ｙ（ｘ）,ａ．ｅ．,且满     

两参数无穷维Ornstein—Uhlenbeck过程的重对数律

设｛Ｚｋ（ｓ，ｔ），－∞＜ｓ，ｔ＜∞｝是独立的两参数．ＯｒｎｓｔｅｉｎＵｈｌｅｎｂｅｃｋ过程，且Ｚ（ｓ，ｔ，ｎ）＝∑ｎｋ＝１Ｚｋ（ｓ，ｔ），得到了过程Ｚ（ｓ，ｔ，ｎ）的重对数律．设｛Ｚｋ（ｓ，ｔ），－∞＜ｓ，ｔ＜∞｝是独立的两参数．ＯｒｎｓｔｅｉｎＵｈｌｅｎｂｅｃｋ过程，且Ｚ（ｓ，ｔ，ｎ）＝∑ｎｋ＝１Ｚｋ（ｓ，ｔ），得到了过程Ｚ（ｓ，ｔ，ｎ）的重对数律．     

两类Stirling数和Bernouli数的统一表示

该文获得了两类Ｓｔｉｒｌｉｎｇ数Ｓ（ｎ,ｍ）和Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数Ｂｍ的统一表示公式：Ｓ１（ｎ,ｎ－ｍ）＝（－１）＾ｍ∑＾ｍｋ＝１Ａ（ｍ,ｋ）Ｃ＾２ｍ－ｋ＋１ｎＳ２（ｎ,ｎ－ｍ）＝∑＾ｍｋ＝１（－１）＾ｋ－１Ａ（ｍ,ｋ）Ｃ＾２ｍ－ｋ＋１ｎ＋ｍ－ｋ Ｂｍ＝ｍ∑＾ｍｋ＝１（－１）＾ｋＡ（ｍ,ｋ）／（２ｍ－ｋ）（２ｍ－ｋ＋１）其中Ａ（ｍ,１）＝（２ｍ－１）！！,Ａ（ｍ,ｍ）＝ｍ！,Ａ（ｍ,ｋ）＝０（ｋ≤     

n维离散Mobius群的Poincare序列

利用Ｍｏｂｉｕｓ变换的Ｃｌｉｆｆｏｒｄ数的表示，考虑序列Σｆ∈‖ｆ‖＾－ｓ并得到：１）对离散群Ｇ，若ｓ〉２ｎ，则（１）收敛。２）Ｋｌｅｉｎｉａｎ群Ｇ，如果Ｓ≥２ｎ，则（１）收敛。     

蕴含Ck图的度序列

设Ｓ是ｎ项可图序列，σ（Ｓ）是Ｓ中的所有项之和，设Ｇ是一个简单图，σ（Ｇ，ｎ）是使得任意ｎ项可图序列Ｓ满足σ（Ｓ）≥ｍ，则Ｓ有一个实现包含Ｇ的ｍ的最小值，本文给出了σ（Ｃｋ，ｎ）的下界并证明了当ｎ≥５时，σ（Ｃ５，ｎ）＝４ｎ－４，当ｎ≥７时，σ（Ｃ６，ｎ）＝４ｎ－２。     

（m,n）—正定关联BCK—代数

本文给出了（ｍ，ｎ）－正定关联ＢＣＫ－代数的概念，讨论了满足（ｋ＋１）ｍ＝ｋｎ（ｋ∈Ｎ）的（ｍ，ｎ）－正定关联ＢＣＫ－代数的性质，同时给出具有条件（ｓ）的（ｍ，ｎ）－正定关联ＢＣＫ－代数的些特征。     

有根星的最优边容错

给定一个（有向）图Ｈ，称（有向）图Ｇ为关于Ｈ的ｋ－边容错图，记为ｋ－ＥＦＴ（Ｈ）图，若从Ｇ中移去任何ｋ条边所得的每个图都含有生成子图同构于Ｈ。Ｇ称为ｋ－ＥＦＴ（Ｈ）优图，若在所有ｋ－ＥＦＴ（Ｈ）图中，Ｇ的边数最小。Ｇ称为ｋ－ＥＦＴ（Ｈ）极图，若在所有ｋ－ＥＦＴ（Ｈ）优图中，Ｇ的点的最大度△（Ｇ）最小。设＾→Ｓｎ表示有根星，对于每个ｎ和ｋ，本文表征了ｋ－ＥＦＴ＾→（Ｓｎ）优图和极图。     

图C4∪St（m）的优美性及算术性

给出一类非连通图Ｃ４∪Ｓｔ（ｍ）。论证当ｋ〉１（ｋ∈Ｎ）时，该图是Ｋ优美图；当ｋ〉ｄ＋１（ｄ〉１，ｄ∈Ｎ时，图Ｃ４∪Ｓｔ（ｍ）是（ｋ，ｄ）算术图。     

无爪图的Hamilton性

设Ｇ是阶为ｎ（≥３）、连通度为ｋ的简单无爪图，本文证明了如果对于每一个ｋ＋１个点的独立集Ｓ，对任意ｕ，ｖ∈Ｓ，都有│Ｎ（ｕ）∪Ｎ（ｖ）│≥２ｎ－３ｋ＋１／３，则Ｇ是Ｈａｍｉｌｔｏｎ图。     

关于Tumura-Clunie定理的注记

设ｆ为非常数亚纯函数,Ｆ＝αｎｆ＾ｎ＋ａｎ－ｋｆ＾ｎ－ｋ＋…＋α０,（１≤ｋ为自然数）,其中α０,α１,…,αｎ－ｋ,ａｎ为亚纯函数,满足Ｔ（ｒ,ａｉ（ｚ））＝ｏ（Ｔ（ｒ,ｆ））,ｒ→∞,ｒ不属于Ｅ ｍｅｓＥ〈∞,那么有（ｉ）若ｋ≤２则Ｆ≡ａｎ（ｆ＋ａｎ－１／ｎａｎ）＾ｎ或２Ｔ（ｒ,ｆ）≤Ｎ＾－（ｒ,１／Ｆ）,Ｎ＾－（ｒ,１／ｆ＋ａｎ－１／ｎａｎ）＋Ｓ（ｒ,ｆ）,（ｉｉ）若ｋ≥３则Ｆ≡ａｎｆ＾ｎ或     

图C4∪Pn的k—优美性

Ｆｒｕｃｈｔ与Ｓａｌｉｎａｓ于１９９５年猜测图Ｃｍ∪Ｐｎ优美当且仅当ｍ＋ｎ≥７，而他们仅证明了图Ｃ４∪Ｐｎ（ｎ≥３）的优美性，本文对图Ｃ４∪Ｐｎ的任意ｋ－优美性给予证实。     

Dowling格中的第二类Whitney数

给出了Ｄｏｗｌｉｎｇ格中第二类Ｗｈｉｔｎｅｙ数Ｗｍ（ｎ,ｋ）的表达式的一个纯组合的证明,定义并讨论了Ｄｏｗｌｉｎｇ格中的相伴Ｗｈｉｔｎｅｙ数Ｗ＾ｒ ｍ（ｎ,ｋ）利用Ｗ＾ｒ ｍ（ｎ,ｋ）验证了ｋ＝１,２,３时,几何格中的顶重猜想对Ｄｏｗｌｉｎｇ格成立。     

星网络的最优边容错图的结构

若图Ｇ中去掉任何Ｋ条边后所得的图含有生成了图同构于Ｇ０，则称Ｇ关于Ｇ０是Ｋ边容错图，记为Ｋ－ＥＦＴ（Ｇ０）图且边数尽可能小，则称Ｇ为最优Ｋ－ＥＦＴ（Ｇ０）图，设Ｓｎ表示ｎ点星，若一个最优Ｋ－ＥＦＴ（Ｓｎ）图的最大度尽可能小，则称为（Ｋ，ｎ）一极图，本文对于所有的Ｋ和ｎ，表征了最优Ｋ－ＥＦＴ（Ｓｎ）图和（ｋ，ｎ）－极图的结构。     

矩阵Schur补的特征值和奇异值不等式

设 Ａ∈ Ｃｍ ×ｎ ，ｌ＝ ｍｉｎ｛ ｍ ，ｎ｝ ，α｛１ ，２ ，…，ｌ｝ ，｜α｜ ＝ ｋ（１ ，２ ，…，ｌ － １） ， Ａ Ａ（ α） 表示 Ａ 关于 Ａ（ α） 的广义 Ｓｃｈｕｒ 补，则σｉ［ Ａ Ａ（ α）］ ≥σｉ＋ ｋ（ Ａ） 　（ｉ ＝ １ ，２ ，…，ｌ － ｋ） 其中σｉ（ Ａ） 表示 Ａ 的第ｉ 个奇异值．进一步，获得一些关于 Ｈｅｒｎｍｉｔｅ 矩阵 Ｓｃｈｕｒ 补特征值的交错定理     

（Fn,Fm）的一般结果

关于求（Ｆｎ，Ｆｍ）的问题，陈景润求得了（Ｆｎ，Ｆｎ＋１），吴佃华求得了（Ｆｎ，Ｆｎ＋２），不久又求得了（Ｆｎ，Ｆｎ＋ｋ），ｋ＝３，４，５，６。这里用数论方法，导出（Ｆｎ，Ｆｍ）的一般结果。     

杨图的分割与对称群Sn表示的约化

对秒群Ｓｎ的不可约表示Г（ｆ１，ｆ２，．．．，ｆｎ）与杨图Ｔ＾（Ｆ１，Ｆ２，．．．，ｆｍ）之间存在着１－１对应，由对称群的分支规则给出杨图的分割线段，从而用分割杨图的几何方法确定Ｓｎ的任意一个不可约表示在Ｓｎ－ｋ中的约化结果。Ｓ的任意     

Lusin面积积分函数在Lipα（R^n）（0〈α〈min｛ε,2^1 …

本文证明了Ｌｕｓｉｎ面积积分函数Ｓ（ｆ）的一个即当ｆ∈Ｌｉｐα（Ｒ＾ｎ）时，若存在点ｘ０使得Ｓ（ｆ）（ｘ０）〈∞，则Ｓ（ｆ）∈Ｌｉｐα（Ｒ＾ｎ）（０〈α〈ｍｉｎ｛ε，２＾０｝）且∥Ｓ（ｆ）∥∧α≤Ｃ∥ｆ∥∧α这里Ｃ仅与ｎ，ａ有关。     

R^n中三类分形集的刻划

本文用三种完全不同的方法构造了Ｒ＾ｎ中三类分形集：（１）Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数为整数ｋ≤ｎ的分形集;（２）Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数ｓ∈「０,ｎ」的分形集;（３）包括胖分形与瘦分形的一类分形集,并着重讨论了它们的各种容度特征。