П[α]族单叶函数的若干结果

设f(:)二: Ea,:”在}:}<1内是正则单叶函数,由它结合成的函数:。(a,幻=万〔j(:) ;f尹(z)〕n(钱)表示。=: 万A,:’在}之}<1内仍是正则单叶函数,它的全体所成的族,用由f(z)二:一E}。。}:,结合成的函数全体,是族n(a)的子族,用n〔二]表示. 现讨论族n〔们中函数中(a,:)的系数,变形定理,n〔a]中函数是星形函数及凸形半径问题,最后作出它的积分平均值估计。定理1设中(a,z)〔fl〔a〕,0镇a<1,则}A.!镇〔(。 1)(1一a)〕/〔2,(。一a)〕,,=2,3·…(1)名〔、(。一a)〕/(。 1)·!A。l簇(1一a)/2.所以(2)证明因。(a,z)任n〔a〕,。(a,幻二z一乙}A。}z”二…     

矩量法

一、矩量法 用矩量法求线性微分方程 L[y〕=f(x)在x=a,x二b上满足已知边界条件的近似解,下列形式:1)可先选取满足边界条件的试函数,一般具有 ny(x)=u(x) Ea:ui(x) i一12)将(2)代入(1)式,便得残差:R(x)=L[u(x) n 乙 i一1a,u(X)j一f(x)然后令残差式与xi正交,印令R(x)的高阶矩鼠逐次变为零,于是得到矩量方程组:R(x)x,dx=oi=0,l,2,n一1)(4恰好用来决定几个未知数a:,从而求得微分方程的近似解。 炬量法的理论根据是函数构造论中的有限矩量定理,其内容如下: 若在区间仁a,b〕上连续的函数f(x)满足形如:丁x,f(x)dx=o(i=0,1,2,…,n一1)的n个关系式…     

关于第二积分中值定理

在数学分析中第二积分中值定理的基本形式是: 定理1 设f(x)在〔a,b〕(a〈b)上单调下降(即使广义的也可以),并且非负,则对〔a,b〕上的任意可积函数g(x),有integral from n=a to b (f(x)g(x)dx)=f(a) integral from n=a to b (g(x)dx) (1)其中ξ∈〔a,b〕。其证明可参见〔1〕、〔2〕、〔3〕。定理1仅告诉我们其中的ξ∈〔a,b〕,那么能否恰当地选取ξ,使之属于开的区间(a,b)呢?我们说,不一定!且看下面的例题。考虑〔0,(3/2)π〕上函数 f(x)=1与g(x)=cosx,显然它们满足定理1的条件,于是按照定理1,(1)式应该成立。然而     

Landau多项式算子在x=0点的局部渐近性质

在函数逼近论中,熟知的Landau多项式奇异积分算子’‘]为L。〔‘(t);X〕一K·{{,‘(‘,〔‘一(‘一)2〕·“其中函数“‘,在区间〔一‘,‘〕上可积,X是山峰函数K·〔1一“一,2〕·的奇点“1,K。一〔l{: 、一‘1 1.3.5…(Zn一1)(Zn 1)zn、,.、、,一二,一(1一t‘)皿dtl=节—丁三一一二,厂二一下-tw一I一(白n净co乃天丁七anaau异 JZ艺.4.6……(Zn一么)又艺n)丫兀子,已知!‘〕i“设f(x)任C〔一1,1〕,则在开区间(一1,1)上处处有limL。〔f(t),x〕=f(x);并且{Ln〔f(t);x〕}在(一1,1)上内闭一致收敛于f(x);2“设f(x)任C〔一1,功,且在(一1,l)…     

第一类Hermite-Fejér插值算子的最佳逼近度

在本文中,我们考虑以第一类qe6二meB多项式毛(x)的零点a正·,一(一丝淤一)一k二‘,2,“’,n作为结点的Hermite一Fej6r插值多项式一1 1 ..J;JX、产一,曰 X一一 |l一、J护n一nr一了t户k ﹄ares口I才.IJ 、产 X 、.了 n 了‘、.k a。。〔:(t);·〕=告呈f(P五·,)(卜 k=1Q‘〔·;x〕亦称为第一类Hermite一Fc:份插值算子。〔2〕,〔4〕中证得Qn在〔一工,1〕上对二阶导函数有界的函数类的逼近阶为_1U(下)’开得出相应的渐近展开式。最近,〔3、:。、,.、,、,一,_,1,于肖出,刀达到U‘一万)的逼近阶,被逼近的函数f(x)的条件可以减弱。本文将上…     

关于一个改进的既约梯度法的收敛速度

本文研究下述非线性规划问题:(P)minf(X) R={x|Ax=b,x≥0,x∈E}其中A是m×n矩阵(m≤n),秩为m,b∈E,E~n和E分别是n维和m维欧氏空间;f是实函数。美国数学家P.Wolfe在1962年发明了解问题 (P) 的“既约梯度法”(〔1〕)。这儿Ax=b中有n-m个自由变量,把f作为这n-m个自由变量的复合函数而求得的梯度,国内称     

判断函数组线性无关的一个充要条件

在常微分方程的高阶方程求解过程中,为判断一解能否为其通解,常需讨论一组解函数的线性相关性.函数组的线性相关性是这样定义的:定义:设函数x_1(t),x_2(t),…x_n(t)是定义在区间〔a,b〕上,如果存在不全为零的常数λ_1,λ_2,…λ_n,使得(?)t∈〔a,b〕有:λ_1x_1(t) λ_2x_2(t) … λ_nx_n(t)=0则称x_1(t),x_2(t),…x_(t)在区间〔a,b〕上线性相关;否则,就称它们在〔a,b〕上线性无关.     

可测函数的一个逼近问题

本文给出了几乎处处上半连续的函数族测度逼近几乎处处有限可测函数的一个充要条件,并由此给出几个直接结果。定义设f(x)是〔a,b〕上的可测函数,S是〔a,b〕上的可测函数族,称S测度逼近f(x)是指出任意ε〉0和δ〉0,存在g(x)∈S,满足 mE(|f(x)-g(x)|≥ε)〈δ,其中E(|f(x)-g(x)|≥ε)={x|x∈〔a,b〕,|f(x)-g(x)|≥ε},“m”为集合的测度符号。     

少极点的亚纯函数

设 f ,g是非常数亚纯函数 ,n是非负整数 ,a ,b是f,g的小函数 ,其中a(n) b。若E(b,f(n) ) =E(b,g(n) )及Θ(∞ ,f) =Θ(∞ ,g) =1,Θ(a ,f) Θ(a ,g) >2 - 12 (n 1) ,则f≡g或 ( f(n) -a(n) ) (g(n) -a(n) )≡ (b -a(n) ) 2 。     

牛顿—莱布尼兹公式的进一步推广

文〔1〕将牛顿——莱布尼兹公式进行了推广,本文进一步推广为:定理设函数f(x)在〔a,b〕上连续,并且 f_+′(x)与 f_-′(x)在(a,b)内存在,如果存在 p、q≥0,满足 p+q=1,使得函数 pf_+′(x)+qf_--′(x)在〔a,b〕上黎曼可积,则integral from b to a (pf_+′(x)+qf_--′(x))dx=f(b)-f(a).为证此结果先介绍两个有用的引理.引理1 设 f(x)在〔a,b〕上连续,并且 f_+′(x)与 f_--′(x)在(a,b)内存在,则存在ξ∈(a,b)     

涉及微分多项式的亚纯函数的正规族

研究了亚纯函数涉及微分多项式的正规族,证明了:设F为单位圆盘△上的一族亚纯函数,k,n,g为正整数,P(w)=wq+aq-1(z)wq-1+…+a1(z)w是多项式.并且设H(f,f',…,f(k))是不含常数项的微分多项式,a,b为任意的2个非零复数,若对任一f∈ F,f的零点重数≥k+1,极点重数≥2,并且p(f(k))+H(f,f',…,f(k))=a→f(z)=b,则F在单位圆盘△上正规.     

向量值可测函数的连续性

本文给出了向量值可测函数等价类〔f〕的连续和弱连续的定义,并得到如下结果:如果〔f〕在〔a,b〕(?)R上(弱)连续,则必存在且唯一的g∈〔f〕使得g是〔a,b〕上的(弱)连续函数。以上定义及结论是A.C.Zaanen在文〔1〕中相应部分的推广。     

积分第一中值定理的一个简明的证明

本学报1979年第2期刊登了绍文同志《关于积分第一中值定理》一篇文篇,作者给出了定理的证明。本文就C∈(a,b)的问题再给出一个较为简明的证明,并给一个例子,说明连续的条件是必要的,即若f(x)在〔a,b〕上不连续时,则结论不再成立。这个定理是这样叙述的: 积分第一中值定理设在区间〔a,b〕上f(x)与g(x)都可积,且g(x)不变号,m≤f(x)≤M,则存在μ,m≤μ≤M,使下式成立 integral from n=a to b(f(x)g(x)dx)=μintegral from n=a to b(g(x)dx) (1)如果f(x)在〔a,b〕上连续,则可进一步证明,存在C∈(a,b),使 (?) (2) 为了叙述上的完整起见,把前一部分的证明也写上。证明:先证前一部分。由f(x)与g(x)在区间〔a,b〕上的可积性知(1)式左端的积分是存     

高阶半线性椭圆型方程解的存在性

概述Q表示R”中带有有界光滑边界。Q的区域。本文假定N>2。文〔1〕、〔2〕讨论了边值问题:{△“u一a△u十bu=f(x,u)四aVx〔Q。x〔a口。(1。1)(1。2)在a>0,b》0之情形下,H。“(9)中非平凡解的存在性。 关于边值问题:{一△“一入“=P(x,u)“=0x〔Q劣〔aQ(1。3)(1。4)当入>入*(此处入、是相应于一△的第左个特征根)时,文〔3〕k个非平凡解的一类条件。而对于入二入‘时,文〔4〕则得到解的另一类条件。 本文讨论二类问题: 问题1齐次边值问题: 么“u+a么u十叮(“)=ox〔Q得到(1。3)(1。4)至少有(1.3)(1.4)具有非平凡{平旦丝一=o a沙x〔ag(1。5…     

利用差分方程判断递归序列的收敛性

引理1满足初始条件f(i)=日:,f(2)二队,…,厂(k)=日、的线性差分方程f(刀)=a;f(n一1)+a:f(,:一2)+…+a、f(:一k)+c(1)“一0且q;彼此不同,一一二二一一 十艺c刀:,c笋0且口:与1彼此互异, 奋二一11一艺口, i~l厂It!l!Iwe、 一一 f( 为 解 的其中c为常数,q萝是(1)的特征方程的特征根,“;、cZ、…、“、由初值决定. 引理2非线性差分方程f(:+i)=〔a厂(,:)+b〕/〔c厂(,:)+d〕的解为f(,)=(a一日A,”一’)/(1一A:。一‘),其中c笋0,。d一bc铸0,f(1)=”。,A=(”。一。)/(11。一日),犷二(a一ca)/(a一一邓),a与日是x~(ox一b)/(一d)的两个互异的根. 引理…     

关于累次积分的一条定理

在多元函数积分学中,讨论重积分与累次积分的关系是十分重要的。它给出了计算重积分的一个简便的、行之有效的方法。在勒贝格积分理论中,有一条著名的富比尼定理,这个定理可以叙述为: (1)设f(x,y)是矩形I=〔a,b〕×〔c,d〕上的勒贝格可积函数,则在〔a,b〕上除去一个零测度集以外,f(x,y)作为y的函数是勒贝格可积的,而且函数(?)在〔a,b〕上勒贝格可积(在上述零测度集上,φ(x)可任意定义),同时以下等式成立:     

Hausdorff—Young不等式的定号性

设f〔Lr(0,2二),记f的Four王er级数为 C川匀1_,一一认1下之曰2一n=1(anCosnx+b_Sinn不)以下总设1。iAr(f)(kr〔{a。}r产+艺(la,、lr’+{bn}f/)〕万(2…     

Schauder——Tychonff不动点定理在偏微分方程上的应用

一、引我们将要讨论形如下面的偏微分方程,去.乒n△u=u“e 1 xl“艺b‘j‘X’豢‘常,台U0Ux百R”,n》3 i,j·1它是属于下述的二阶半线性椭圆型方程 △u=f(x。u。vu)(1)0忿。2令合一一J飞甲之么=三二一厄十’.“二,十不二1,v=叹石二一,二。,又二一,,X=气Xl,’二,X。)七仄-产、’一。X一‘”。X。‘,’、。x龙下,。x。‘’一、一月,,一。,、一 1(。》3),1 xl=(x:“ … 二。2)2,f(x,u,p)(P=(p:,…p。))是定义在R”xR,x Rn(R 一〔o,CO〕上的函数。1986年T。Kusano ands。Ohard发表了关于方程(z)的整体解{‘’,但对函数f(x,u,p)加以如下…     

关于Iyengar不等式

利用函数f(x)在积分区间[a,b]端点的函数值及各阶导数值,对函数f(x)在[a,b]上的定积分进行估计,进而得到若干积分不等式.主要结果如下:若函数f(x)是[a,b]上n+1次可微函数,且|f(n+1)(x)|≤M(M＞0),则|∫baf(x)dx-x∑k=0(b-a)k+1/2k+1(k+1)![f(k)(a)+(-1)kf(b)]|≤1/2n+1(n+2)!M(b-a)n+2     

关于方程■

柯召和孙琦在文〔1〕中研究了方程又l XKn ,=1他们给出了这个方程的一些解,并且证明了 定理方程 Kx; n Xi=22 i=1若有X‘>1(i=1,…,K)的整数解,则至少存在一个i(l了i若K) K子皆除尽n Xi j=1 j勺i 我们在这里将改进这一结果,而得到 定理。方程 K xZ n X.=Z i=l使X:的每一个素因(1) XKfl若有X:>1(i=1,…,K)的整数解,则最多只有一个i。(1、,i。/K),使X;。有与i=1i今i。素的因子、:。>1。 为了证明这个定理,需要引用A.Schin:。1的一个引理(见文〔2〕): 引理。若正整数a,,aZ,b:,b,,b,,满足方程 a,a,a,二b,b!b Zb,和条件(a,,b,b,)二(aZ,…