容许一个无不动点自同构群的有限群

设G是一个有限群,G的自同构群A无不动点地作用于G,且(│G│,│A│)=1,本文证明了下面几个主要定理。 定理3.2 若G有A-不变的幂零Hall子群H,且H的Sylow2-子群H_2Abel,a∈A~#,C_G(a)≤H,则H在G内有幂零的正规补群,特别地G可解。 定理3.4 若a∈A~#,C_G(a)为奇阶,则G2-闭,特别地G可解。 定理3.8 进一步假定A的指数无平方因子,若G有A-不变的幂零Hall子群H使a∈A~#,C_G(a)≤H,则G幂零。 定理3.2和3.8 都是Thompson(14)关于无不动点自同构的著名定理的推广,也是Scimemi(13)结果的部分推广,定理3.4是Pettet〔8)结果的部分推广。     

具有X-s-半置换的准素子群的有限群

设X是群G的非空子集,H是G的子群,如果H在G中有一个补充T使得H和T的所有Sylow子群X-置换,则称H在G中X-s-半置换.利用于群的X-s-半置换性得到下列结果:①设是包含所有超可解群的饱和群系,X是群G的可解正规子群,则G∈当且仅当存在H G使得G/H∈且H的每个Sylow子群的每个极大子群在G中X-s-半置换.②设是包含所有超可解群的饱和群系,X是群G的可解正规子群且H G.如果G/H∈且F(H)的每个Sylow子群的每个极大子群在G中X-s-半置换,则G∈③设X是群G的一个p-可解正规子群,p是|G|的最小素因子.如果G是A4-自由的,且存在H G使得G/H是p-幂零的并满足H的每个Sylow p-子群的每个2-极大子群在G中X-s-半置换,那么G是声p-幂零的.     

X-ss-半置换性对有限群结构的影响

设X是有限群G的非空子集,子群H称为在G中X-ss-半置换的,如果H在G中有一个补充T,只要(p,|H|)=1,就存在x∈X,使得HPx=Px H,其中P∈Sylp(T).研究极小子群和4阶循环子群的X-ss-半置换性对有限群结构的影响,推广了以往的一些结果.     

关于变换半群的子群结构

本文主要讨论变换半群的子群的性质和结构,得到的主要结果是:定理1 设B是A的一个非空子集,H是M(B)的一个子群,则有M(A)的子群G使得G_B=H且G与G_B同构。定理2 (1)设G是M(A)的一个子群,e是G的单位元,则G是M(A)的一个极大子群当且仅当G_Ae=∑_(Ae)。(2)M(A)的任何两个不同的极大子群之交是空集。     

子群c-正规性对群结构的影响

群G的一个子群H称为在G中c-正规，如果存在一个正规子群K，使得G＝HK且H∩G≤HG，其中HG＝CoreG(H)=∩x∈GH^x是包含在H中的G的最大正规子群。该文利用子群c－正规性给出一个群为可群解的一些条件，主要定理有：1）设G为群， 若存在P∈Syl2（G），P为c－正规于G，则G可解；2）设N为群G的非单位正规子群，则N可解当且仅当G的任意不包含N物极大子群M为c－正规于G。     

关于有限群的一个性质

在有限群论中,我们常常通过研究一个有限群的自同构的性质,来认识这个有限群的性质,本文遵循这一方法,建立了以下的定理:定理:设G为有限群,G有一个自同构α,使得由α定义的集合I={a∈G|α(a)=a~(-1)}含有3/4|G|个元素的充要条件是:G是非阿贝尔的,且可写G=HK=KH,这里H、K均为G的指标为2的阿贝尔子群.其次,若群G满足上述条件则C(G)=H∩K,且     

有关CC-子群的一些性质

设G为有限群,H≤G．称H为G的一个CC-子群,如果对任意的1≠x∈H,都有CG（x）≤H．讨论这类群的一些基本性质,得到了： 定理2 设G为有限群．若Z（G）≠1,则G的CC-子群唯一． 定理3 若G为单群,则G的CC-子群个数不等于2． 定理4 若｜G｜—pq^n（p〈q,其中p,q为素数）,则G的CC-子群个数必为奇数且不等于3．     

《关于有限群的一个性质》证明的简化

常青同志在〔1〕中证明了有限群的一个性质: 定理:设G是有限群,a是G的一个自同构,由a定义的集合I={g∈G|a(g)=g~(-1))。|I|=3/4G|的充分必要条件是,G是非阿贝尔的,且可写G=HK=KH,这里H、K都是G的指数为2的阿贝尔子群。其次,若群G满足上述条件,则G的中心C=H∩K,〔G:C〕=4。 现在给出这个定理的一个较简单的证明。     

有限群的弱s-置换子群

如果对群G的任意Sy low子群T,存在元素x∈G,使H Tx=TxH,则群G的子群H称为在G中弱s-置换.利用子群的弱s-置换性得出下列结果:1)设F是包含超可解群系U的饱和群系,H为G的可解正规子群.如果G/H∈F,且H的任一Sy low子群的极大子群在G中弱s-置换,则G∈F.2)设F是包含超可解群系U的饱和群系,H为G的可解正规子群.如果G/H∈F,且F(H)的任一Sy low子群的极大子群在G中弱s-置换,则G∈F.     

偶数阶极大子群均为CBNA-子群的有限群

设G为有限群，H为G的子群.如果对任意的x∈G有H^x=H或x∈〈H,H^x〉,则称H为G的BNA-子群.如果有限群G的所有极小子群和4阶循环子群均为G的BNA-子群，则称G为CBNA-群.本文刻画了所有偶数阶极大子群均为CBNA-群，而群本身是一个偶数阶非CBNA-群的群结构.     

幂零群无不动点地作用于有限群

本文讨论容许一个幂零的无不动点自同构群的有限群的可解性,推广B.Scimemi[2]的结果,而得出下面的定理,幂零群A≤AutG,C_G(A)=1,若G有一个A-不变的幂零π—Hall子群H,GεH(π＇),且H的Sylow2—子群H_2 Abel.(?)a∈A,C_G(a)≤H,则H在G内有幂零的正规补群,特别地G可解本文有例说明存在一对群(A,G)满足本文的定理但Scimemi及文[1]的定理3.2都不适用.     

关于有限群的s-半正规子群I

分类了含有非平凡的s-半正规子群的有限单群：G是含有非平凡s-半正规子群H的单群当且仅当G是下4型群之一：(1)G=Ap，H≌Ap-1，p为素数；(2)G=PSL(n，g)且H是一条直线或一个超平面的稳定子群，|G：H|=(q^n-1)／(q-1)=p^a，其中p和n均为素数；(3)G=PSL(2，11)，H≌A5；(4)G=M22，H≌M21或G=M11，H≌M10，还得到了一个Schur-Zassenhaus型的定理：假设有限群G含有一个s-半正规的Hallπ′-子群，则：(1)G∈Cπ；(2)进而如果G没有截段同构于PSL(2，q)，其中q是一个Mersenne素数，则G∈Dπ。     

自同构群到对特征子群的商群上一作用

设G为群,HacharG.g∈G,若有g-1gα∈H,α∈Aut(G),则α称为G的H-自同构,该定义为中心自同构的推广,记全体H-自同构为HAut(G).由Aut(G)到G/H上的一作用给出定理:商群Aut(G)/HAut(G)同构于Aut(G)一子群.     

S-条件置换子群对有限群结构的影响

利用子群的S-条件置换性,得到了有限超可解群的一充分条件;并得到有限群G∈F的一充分必要条件. 即:设F是一个包含所有超可解群类U的饱和群系. 则有限群G∈F,当且仅当G有一个正规子群H,使得G/H∈F且F*(H)∩G的GP极大子群在G中S-条件置换.其中GP是G的非循环Sylow子群.     

不变子群的等价定义

不变子群是近世代数中一个最基本且很重要的概念。一般教科书中其定义如下:设H是群G的一个子群,如果对任意a∈G,都有aH=Ha,则称H是G的一个不变子群(或称正规子群)。除此定义之外,还有若干等价定义,如教科书中指出的四个等价定义:     

p-超可解群的一些充分条件

设X是群G的非空子集,A≤G,B≤G,若x∈X使得ABx=BxA,则称A和B在G中X-可换;若P∈Sylp（G）,x∈X,使得APx=PxA,则称A在G中X-s-可换。利用有限群G的子群的X-可换及X-s-可换性刻画群G的结构,得到群G为p-超可解群的一些充分条件。     

Huppert定理的一个注记

本文证明了: 定理1(Inagaki定理的推广)设有限群G有p-补H,即G=PH,其中P为G的p-Sylow子群,H为G的p′-Hall子群。如果Г_k(P)G,Г_l(H),k≥2,l≥1,则G~(k+l-3)为p-幂零。定理2 (Peng定理的推广)设有限群G的Г_i(G)为π-直可分,则G的每一π-Hall子群H均有Г_1(H)G。     

关于有限群的S-半置换子群的一点注记

利用非循环Sylow-子群的极大子群的S-半置换性质,刻画了有限群的结构,得到:令G是一个有限群,F是包含U的饱和群系,假设G有一个可解正规子群H,使得G/H∈F. 如果F(H)的每个非循环Sylow-子群的极大子群在G中S-半置换,那么G ∈F.     

有关C-可补子群

运用群系理论讨论Sylow子群的极大子群和Sylow子群的二次极大子群,以及极小子群对有限群结构的影响.得到(1)设G是与A4无关的有限群,P是G的最小素因数,F是包含Np的群系,则G∈F的充要条件为G存在一个正规子群,使得G/H∈F且H的Sylowp-子群的二次极大子群在G中C-可补;(2)设F是非空子群闭的局部群系,G是有限群,p是G的最小素因数且GF是可解,那么G∈FG存在正规子群N使得G/N∈F且对于P∈Sylp(N),P∩GF的22阶循环子群在G中C-可补且极小子群皆包含在ZF∞(G)中.     

子群的M-可补性对群结构的影响

若存在子群K使得G=HK,且对于H的任意极大子群H1,有H1K为G的真子群,则称子群H在G中是M-可补的.利用M-可补子群的性质对p-幂零群结构进行研究,得到一些新结果:①设G是有限群,p是|G|的奇素因子,P∈Sylp(G),则G是p-幂零群当且仅当P在G中M-可补,且NG(P)是p-幂零群.②设G是有限群,p是|G|的奇素因子,P∈Sylp(G).若P的任意极大子群在G中M-可补,且NG(P)是p-幂零群,则G是p-幂零群.