丢番图方程x~2+4=8y~(11)的整数解

研究了丢番图方程x~2+4=8y~(11)的整数解问题。主要采用代数数论的方法,利用同余式、高斯整数环等性质得出丢番图方程x~2+4=8y~(11)仅有整数解(x,y)=(±2,1)。     

关于丢番图方程Dx~2+1=y~p

本文证明:丢番图方程47x~2+1=y~p,55x~2+1=y~p,87x~2+1=y~p(p 为奇素数)只有平凡整数解。     

关于丢番图方程x~3+1=143y~2

该文运用简单同余法、分解因子法、Pell方程法等初等方法求解丢番图方程x~3+1=143y~2.首先运用因式分解法把丢番图方程x~3+1=11×13y~2分解为与之等价的8个方程组,然后运用同余、转化、勒让德符号等初等数论的基础知识、方法,证明前7个方程组无解,最后运用递归数列以及Pell方程的解的性质证明最后一个方程组仅有唯一解,由此得到丢番图方程x~3+1=143y~2有且仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

丢番图方程x~3+64=3y~2的整数解

丢番图方程x~3+64=3y~2的整数解至今未解决,利用奇偶数的性质、同余的性质等证明了丢番图方程x~3+64=3y~2仅有整数解(x,y)=(-4,0).     

关于丢番图方程px~4-(p-4)y~2=4z~4

李辉利用初等方法给出了丢番图方程px4-(p-4)y2=4z4当p=qQ2+4,q≡3(mod4),p,q为奇素数时的全部正整数解,由于篇幅限制,只发表了一部分证明.我们补充了其它证明部分,从而给出了全部证明.     

丢番图方程x2+(2n)2=y9（1≤n≤7)的整数解

在高斯整环中,利用代数数论理论和同余理论的方法研究丢番图方程x~2+(2n)~2=y~9(x,y,n∈Z,1≤n≤7)的整数解问题;首先统计了1≤n≤7时已有的证明结果,之后在n=3,5,6,7时对x分奇数和偶数情况讨论,证明了n=3,5,6,7时丢番图方程x~2+(2n)~2=y~9无整数解,即证明了丢番图方程x~2+(2n)~2=y~9(x,y,n∈Z,1≤n≤7)无整数解。     

关于丢番图方程Dx~2+1=y~p

本文用柯召—Terjanian-Rotkiewicz方法证明了丢番图方程15x~2+1=y~p和23x~2+1=y~p(p是奇素数)除开平凡解y=1,x=0外,均无其他的整数解。     

丢番图方程及其推广方程的超限序数解(Ⅰ)

本文讨论了丢番图方程及其变形的方程,以及两类推广方程的超限序数解问题,得到一系列的结果。§1、丢番图方程丢番图方程x~4—Dy~2=1,D为自然数①(1)或x~4=1 Dy~2 (1′)是数论中一个有名的方程,很多人作了大量的工作,至今还出现许多新成果的文章。②我们的问题是:在超限序数的范围内,丢番图方程(1′)是否有解呢?如果有解,其     

关于丢番图方程x~4-2py~2=1

关于丢番图方程x~4-Dy~2=1,D>0,且不是平方数,(1)Ljunggren,Cohn和本文作者都有过不少工作,现简述如下:1.1942年,Ljunggren证明了丢番图方程(1)最多只有二组正整数解(x,y)。2.1966年,Ljunggren证明了,当D=ρ是一个奇素数时,则丢番图方程(1)在ρ≠5,29时,没有正整数解。在ρ=5时,仅有正整数解x=3,y=4,在ρ=29时,仅有正整数解x=99,y=1820。     

丢番图方程ax~4+by~4=cz~2的解法

对正整数a,b,c给出了丢番图方程ax4+by4=cz2当(a,b,c)=(2,3,5)时的全部正整数解,结合佟瑞洲关于(a,b,c)=(5,3,2)时方程ax4+by4=cz2的结果,我们给出了丢番图方程ax4+by4=cz2当min{a,b,c}>1且max{a,b,c}≤5时的全部正整数解.从而拓展了Mordell等人关于ax4+by4=cz2的结果.     

关于丢番图方程pX4-(p-1)y2=z4

姜信君等利用初等方法给出了丢番图方程px4-(p-1)y2=x4当p=2q+1,q≡5(mod8),p,q为奇素数时的全部正整数解.但由于篇幅限制,并未给出全部证明,我们给出了补充证明.     

关于丢番图方程x~3+1=365y~2

该文证明了丢番图方程x~3+1=365y~2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x~3+1=559y~2

该文证明了丢番图方程x~3+1=559y~2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x~4+dy~4=z~2

利用分解法和无穷递降法研究了一类丢番图方程的解,结果证明了丢番图方程x4+dy4=z2,gcd(x,y)=1,这里d为整数且d≠0,在d=3n及n≡3(mod4)时,无正整数解。     

关于丢番图方程x4+py4=z2

利用初等方法给出了丢番图方程x4+py4=z2(2z,(x,y)=1,p为奇素数)当2(×)Q,p=2Q2+1时的全部正整数解,从而改进了Mordell、佟瑞洲关于x4+py4=z2的结果.     

关于几类丢番图方程

关于丢番图方程(1)x~4-Dy~2=1,(2)x~4-Dy~2=-1,(3)x~2-Dy~4=-1,(4)x~4-Dy~2=4,D>0且非平方数,文[1—5]的作者均有研究,本文用初等方法证明了 定理1 i)当u_0=4k 3时,或ii)当u_0=2~(2 1)(2l 1)时,方程(1)均无正整数解,其中ε=u_0 v_0D~(1/2)是Pell方程u~2-Dv~2=1的基本解,k≥0,l≥0。     

关于丢番图方程X~4 4=Dy~2

本文讨论丢番图方程x~4 4=Dy~2。证明了当D使得x~2-Dy.2=-4有奇整数解,且D≤200时,除D=5仅有解x=y=1,x=y=2;D=13时仅有解x=6,y=10及D=85时仅有解x=3,y=1外无其他正整数解。     

关于丢番图方程x^4＋py^4=z^2

利用初等方法给出了丢番图方程x4+py4=z2(2∣z,(x,y)=1,p为奇素数)当2 Q,p=2Q2+1时的全部正整数解,从而改进了Mordell、佟瑞洲关于x4+py4=z2的结果。     

关于丢番图方程ax~4+by~4=cz~2

目的对某类特殊的正整数a,b,c,寻找给出丢番图方程ax4+by4=cz2的全部正整数解的方法。方法利用初等方法把方程ax4+by4=cz2化为方程x2+my2=z2,给出方程ax4+by4=cz2的全部正整数解。结果给出了当(a,b,c)=(5,3,2)时方程ax4+by4=cz2的全部正整数解。结论利用上述方法可以解决一类方程ax4+by4=cz2的求解问题,从而拓展了Mordell等人关于ax4+by4=cz2的结果。     

关于丢番图方程x4±y6=z2与x2+y4=z6

利用初等数论方法证明了丢番图方程x4±y6=z2与x2+y4=z6均没有适合(x,y) =1的正整数解.