关于α(x~2+2y~2)+bz~2表数相同的问题

本文证明了形如a(x~2+2y~2)+bz~2(0<2a≤b)的实二次型在整数环上等价的充分必要条件是,对变元的整数值,它们表数相同。     

关于表数相同的实二次型α（2x^2＋3y^2）＋βz^2

证明了所有与形如α（２ｘ＾２＋３ｙ＾２）＋βｚ＾２，０〈２ａ≤β的型整等价的实系数三元恒正二次型中，无表数相同而互不等价者。     

关于表数相同的实二次型α（2x￣2＋3y￣2）＋βz￣2

证明了所有与形如α（２ｘ~２＋３ｙ~２）＋βｚ~２，Ｏ＜２α≤β的型整等价的实系数三元恒正二次型中，无表数相同而互不等价者。     

关于表数相同的三元恒定二次型

这是熟知的,两个相互等价的(即可经行列式为±1的整系数齐次线性变换互变的)实系数n元二次型f和g,对变元的所有整数值来说,表数相同(即凡能由f以整变元表出之数均可由型g以整变元表出,反之亦真).但是,相反的结论是否能够成立呢?亦即是否表数相同的二次型一定是等价的呢?这是基本而古老的问题.1830年,Legendre曾未加证明地断言,表数相同的二元恒定二次型必等价.1895年,Bauer曾就有相同行列式的真本原整系数恒定二元二次型这一特殊情形证明了Legendre的断言.     

椭圆曲线y~2=px(x~2-2)的整数点

设p是大于1的无平方因子的正奇数.证明了如果p的素因素q都满足q≡3(mod8),则椭圆曲线y~2=px(x~2-2)无正整数点;如果p的素因素p都满足q≡5(mod 8),则椭圆曲线y~2=px(x~2-2)至多有2组正整数点.     

关于行列式D≦25的六元恒正二次型

设f_n=sum from i‘j=1 to n(asum from n=1 to n(a_(ij)x_ix_j)(a_(ij)=a_(ji))是一个系数a_(ij)均为整数,行列式为D_n=|a_(ij)|的n元二次型,如果对x_i取任何一组不全为零的实数值时,都使f_n取正值,我们称为f_n为恒正二次型。两个二次型f_n与g_n,如果能经行列式等于±1的线性变换可以互相转化的,称为等价。根据等价性将二次型分成若干类,同一类的二次型都等价,不同类的二次型彼此不等价,用h_n(D_n)表f_n具有行列式为D_n的类数。     

关于行列式不超过25的五元恒正二次型

1.Charve曾就行列式≤20的四元恒正二次型造出一个表。柯召,王绥旃改正了Charve表上一些错误,并且列出了行列式≤25的四元恒正二次型的表。我们这里用柯召在九元二次型分类问题中所述方法算出行列式≤25的五元恒正二次型各类代表型。2.设n元二次型     

一个参量化复合核Hilbert型积分不等式

通过引入一些特殊函数来刻画常数因子,获得一个核为ln(1+e~(-αx~(λ_1)y~(λ_2)))的HardyHilbert型积分不等式,考虑了它的等价式,并证明了这对等价不等式的常数因子是最佳的.     

椭圆曲线y~2=nx(x~2-4)的整数点

设n为奇素数,利用初等方法证明了椭圆曲线y~2=nx(x~2-4)无正整数点.     

不定方程x~2+(k-1)y~2=kz~2与x~(k+2)-x~k=py~k的正整数解

本文给出了不定方程x~2+(k-1)y~2=kz~2与x~(k+2)-x~k-py~k的正整数解,并给出了实例.     

椭圆曲线y~2=nx(x~2+8)的正整数点

设n■1(mod 8)为奇素数.利用初等方法证明了椭圆曲线y~2=nx(x~2+8)至多有1个正整数点.     

关于不定方程x2+4=y17的整数解

在高斯整环中,利用代数数论与同余理论的方法,讨论了不定方程x~2+4=y~(17)的整数解问题,并证明了不定方程x~2+4=y~(17)无整数解.     

关于不定方程x 3±1=1 379y 2

关于x~3±1=Dy~2(D0)型不定方程的解法还没有一般性的结论;研究D=1 379时不定方程x~3±1=Dy~2的可解性问题,利用同余理论、递归序列、平方剩余以及Pell方程解的性质证明了不定方程x~3+1=1379y~2仅有整数解(x,y)=(-1,0),不定方程x~3-1=1 379y~2仅有整数解(x,y)=(1,0);所使用的代数方法可以推广到求解大系数的三次不定方程中去.     

一个核含多参数新的Hilbert型积分不等式

引入多独立变量、运用估算权函数及实分析的技巧,建立一个新的含独立参数混合核1/1-x~(δλ)y~λ+amin{1,x~(δλ)y~λ}(a0,δ∈{-1,1})的Hilbert型积分不等式及其等价形式,并证明了它们的常数因子为最佳值.     

一个含变量核的Hilbert型积分不等式

运用实分析的技巧及估算权函数的方法,建立一个新的具有最佳常数因子的核含多变量min{1,x~(δλ)y~λ}/(a+bx~(δλ)y+max{1,xx~(δλ)y~λ})的Hilbert型积分不等式,得到了其等价形式。     

关于不定方程x~2+4096=4y~(13)的整数解

运用同余理论、代数数论等方法对不定方程x~2+4 096=4y~(13)的整数解问题进行研究,发现不定方程x~2+4 096=4y~(13)无整数解.     

关于丢番图方程x~3+1=143y~2

该文运用简单同余法、分解因子法、Pell方程法等初等方法求解丢番图方程x~3+1=143y~2.首先运用因式分解法把丢番图方程x~3+1=11×13y~2分解为与之等价的8个方程组,然后运用同余、转化、勒让德符号等初等数论的基础知识、方法,证明前7个方程组无解,最后运用递归数列以及Pell方程的解的性质证明最后一个方程组仅有唯一解,由此得到丢番图方程x~3+1=143y~2有且仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

数论函数方程σ(x~3)=y~2一类特殊解的存在性

设σ(n)是正整数n的所有正因子之和,讨论数论函数方程σ(x~3)=y~2一类特殊解的存在性,证明了方程σ(x~3)=y~2不存在满足x=5p~r的正整数解(x,y),其中p为不等于5的奇素数,r为大于1的正整数.     

关于不定方程x~2+49~n=y~3的唯一整数解

文章利用代数数论方法证明了不定方程x~2+49~n=y~3 n∈N,x■7的整数解仅(x,y,n)=(±524,65,1)并且证明了x~2+(P~2)~n=y~3,p是素数的一般解.     

三维谐振子在H′=(λμω_0~2/2)(x~2 y~2 z~2)下能级的近似解和精确解

推导出了三维各向同性谐振子在势V=(λμω_0~2/2)(x~2 y~2 z~2)中能级的近似解和精确解,并讨论了三维各向同性谐振子在势V=(λμω_0~2/2)(x~2 y~2 z~2)中的能级及简并度变化.