关于丢番图方程sum from k=0 to ∞ (n-1)(1+bk)~r=(1+bN)~r

本文证明了，当N，x为正整数r，为负整数b＝40s＋5丢番图方程■（1＋bk）~r=（1＋bN）~r无整数解     

关于方程sum from k=0 to n[x+2(10l+9)k]~r=[x+2(10l+9)(n+1)]~r

证明了:当奇数r>3,n,x为正整数,l为非负整数,(x,2(10l+9))=1时,方程sum from h=0 to n[x+2(10l+9)k]~r=[x+2(10l+9)(n+1)]~r无正整数解。     

关于丢番图方程sum form k=0 to n((x-g~ak))~r=sum form k=1 to n((x+g~ak))~r

本文明了:设g=p_1p_2…p_n=10β+9型奇数,p_1,p_2……,p_3是不同素数,n,x,α,r为正整数,方程sum from k=0 to n(x-g~αk)~r=sum from k=1 to n(x+g~αk)~r仅有正整数解r=1,x=g~αn(n+1)和r=2,x=2g~αn(n+1)。     

丢番图方程Σ^n—1k=0（x＋d3k）^r=（x＋d3n）^r

本文证明了，当ｎ，ｘ，ｒ为正整数且ｒ〉３，ｓ为非负整数，ｄ３＝４０２＋１３，ｇｃｄ９ｘ，ｄ３）＝１，丢番图方程Σ＾ｎ－１ｋ＝０９ｘ＝ｄ３ｋ）＾ｒ＝（ｘ＋ｄ３ｎ）＾ｒ无整数解。     

关于sumfromi=1ton(Ai+B)~k

利用生成函数的方法得到的一些性质和定理.     

关于丢番图方程^n—1∑k=0（1＋3k）^r＝（1＋3n）^r

用初等方法证明了：当r,n为正整数时，丢番图方程^n-1∑k=0（1 3k)^r＝(1 3n)^r无正整数解。     

Diophantus方程Σni=0(x+i)2=y2的正整数解(Ⅰ)

探讨Diophantus方程Σni=0(x+i)2=y2在n≤50下的正整数解问题,得到了以下结果:Diophantus方程Σni=0(x+i)2=y2在n≤50下有正整数解的充要条件为n∈{1,10,22,23,25,32,46,48,49}.     

齐次丢番图方程n—1／∑／k=0（x＋gk）^r=（x＋gn）^r

用初等方法证明了：当ｎ，ｘ，ｒ为正整数目ｒ＞３，ｓ为非负整数，ｇ＝８０ｓ＋６，ｇｃｄ（ｘ，ｇ）＝１丢番图方程ｎ－１／∑／ｋ＝０（ｘ＋ｇｋ）＾ｒ＝（ｘ＋ｇｎ）＾ｒ无整数解。     

关于Diophantus方程a~x-b~y=2,max(a,b)<200

本文用初等方法给出了Diophantus方程a~x-b~y=2在101≤max(a,b)≤199时的全部解。     

关于Diophantine方程y~2=px(x~2+2)

对于Diophantine方程y2=px(x2+2),这里p为奇素数,证明了:当p=2593时,它有唯一的正整数解(x,y)=(72,31116).     

关于Diophantine方程X~3=NY~2+1

本文的主要结果是：Diophantine方程X3=NY2＋1没有正整数解，其中N只含形如的素因子且不含今数个3。     

关于丢番图方程x2+b2y1=c2z1的解

设s,t∈N+,(s,t)=1,s>t,且a=2st,b=s2-t2,c=s2+t2.用初等方法证明了当c为素数幂时,丢番图方程x2+b2y1=c2z1仅有正整数解(x,y1,z1)=(a,1,1),推广了相关结果.     

关于丢番图方程(x+1)2+(x+2)2+…+(x+n)2=y2

利用数论方法得到了丢番图(x 1)2 (x 2)2 … (x n)2=y2有正整数解的必要充分条件,证明了当n=25时,无正整数解,当n=49时,仅有正整数解(x,y)=(24,357),当n=121时仅有正整数解(x,y)=(243,3366),同时证明了n=2,11时必有无穷多组正整数解,并给出了无穷多解的通解公式.     

关于Diophantine方程x3+1=py2

设p是奇素数．该文证明了：当p=12x^2＋1其中s是奇数,则方程x^3＋1=py^2 元正整数解（x,y）．     

关于Diophantine方程x^3+1=Dpy^2

设D1是无平方因子的正整数,且不能被3或6k+1之形的素数整除,p是奇素数,p=12r2+1(其中r是正整数),利用数论中的同余及因子分解法,给出了丢番图方程x3±1=D1py2无正整数解的一个充分条件,从而推进了该类三次丢番图方程的研究.     

关于丢番图方程∑k=0^n—1[1＋（80s＋35）k]^r=[1＋（80s＋35）n]^r

用初等方法证明了以下结果；当n,r为正整数，s为非负整数时，丢番图方程∑k=0^n-1[1 (80s 35)k]^r=[1 (80s 35)n]^r无整数解。     

关于指数Diophantine方程(n+1)x+(n+1)y=nz

设n是正整数，本文运用初等方法证明了：方程（n＋1）^x＋（n＋1）^y=n^z没有适合x〉1的正整数解（x，y，x）．     

关于Diuphantion方程x2+(x+1)2+…+(x+K-1)2=pn

指出了文献[4]中证明过程的错误,得到了比文[4]中更一般的结论,当K=4k,9k,qk(q≡±5(mod 12)为素数)时,Diuphantion方程(1)无正整数解,即K个连续正整数的平方和不是素数或素数方幂。