应用通项公式探索法数列之和

通项公式a_n=f(n)在特殊数列求和中有着很重要作用,利用它求某些特殊数列之和,往往事半功倍。 如:S_n=1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n) a_n=1+2+3+…+n=(n(n+1))/2=n~2/2+n/2 相加得: S_n=1/2(1~2+2~2+3~2…+n~2)+1/2(1+2+3+…+n), 当然S′_n=1~2+2~2+…+n~2=1/6n(n+1)(2n+1) S_n=1/2·1/6n(n+1)(2n+1)+1/2·n(n+1)/2=1/12n(n+1)(2n+1+3)=1/12n(n+1)(2n+4)=1/6n(n+1)(n+2) 再如:S_n=1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+…+1/(1+2+3+…+n)     

关于Jesmanowicz的猜测

1.Jesmanowicz①曾提出猜测(H)对于正整数a,b,c,x,y,z,如果有a~2+b~2=c~2和a~x+b~y=c~z,那末x=y=z=2.对于下整数a=2n+1, b=2n(n+1), c=2n(n+1)+1, (1)Sierpinski②和Jesmanowicz①已经证明猜测(H)在n=1,2,3,4,5时都能成立,     

一组组合关系式

本文用组合分析的方法及数学归纳法证明了以下一些组合关系式. (1)C(n+k,r)=sum from m=0 to k (k!)/((k-m)!m!)C(n,r-m); (2)sum from m=0 to n K~m C(n,m)=*(1+k)~n; (3)sum from k=0 to n K~m=sum from k=1 to n S(m,k) ((n+1)!)/((k+1)(n-k)!); (4)sum from p=0 to m F(n,p)=((n+m)!)/(n!m!); (5)sum from q=1 to m qF(n,q)=((n+m)!n)/((m-1)!(n+1)!); (6)sum from p=1 to n F(p,m)=((n+m)!)/((m+1)!(n-1)!); (7)sum from r=0 to S (F_(mi2r)F_(n+2r)+F_(m+2r+1)F_(n+2r+1)); =F_(2??+1)(F_(2??+1)F_(m+n+1)+F_(2??)F_(m+n)); (8)sum from k=0 to n C_k=C_(n+5)-2; (9)S_k??5=sum from p=0 to n C_(k+5??)=C_(5n+1+k+γ_(k,5));     

潮汕地区栽培的几种芸薹属蔬菜的核型研究

对潮汕地区栽培的几种芸薹属蔬菜的核型进行了分析 .3个芥蓝品种的核型公式为 :2 n=1 8=8m+1 0 sm(2 sat) ;中甘 1 1号甘蓝为 :2 n=1 8=1 0 m+8sm(2 sat) ;京丰 1号甘蓝为 :2 n=1 8=8m+1 0 sm(2 sat) ;白沙早皇白大白菜为 :2 n=2 0 =1 4m+2 sm+4st(2 sat) ;白沙 1号小白菜核型公式为 :2 n=2 0 =1 4m+4sm+2 st(2 sat) ;白沙 1 1号早包心芥菜为 :2 n=36=2 2 m+1 4sm.其中甘蓝和芥蓝为 2 A核型 ,芥菜和白菜为 2 B核型     

关于不定方程3x+my+z=n的解数

讨论了不定方程3x+my+z=n(m≥2,n≥n+2)的正整数解的个数,给出不定方程3x+my+z=n(m≥2,n≥n+2)的解数公式.     

一类与位数码有关的数的阶

设正整数 n的二进制表示是 n =ak2 k+… +a1 2 +a0 ,称 s(n) =ak +… +a0 是 n的位数码和 .对于任意给定的正实数α及正整数 y0 ,以 yn+ 1 =yn+(s(yn) ) α定义数列 {yn},则 yn=12 n(logn) α+O(n(log) α2log logn ) .     

青藏高原东缘五种风毛菊属植物的核型研究

报道了产于青藏高原东缘五种风毛菊属(Saussurea DC.)植物的染色体数目和核型,研究结果表明,五个种的染色体数目分别是:紫苞雪莲(Saussurea iodostegia)2n=32;长毛风毛菊(Saussurea hieracioides)2n=32;柳叶菜风毛菊(Saussurea epilobioides)2n=24;小花风毛菊(Saussurea parviflora)2n=26;变裂风毛菊(Saussurea variiloba)2n=26,均为二倍体.核型公式为:紫苞雪莲(S.iodostegia)2n=2x=32=8m+16sm+8st,属3B型;长毛风毛菊(S.hieracioides)2n=2x=32=18m+14sm,属2B型;柳叶菜风毛菊(S.epilobioides)2n=2x=24=12m+10sm+2st,属2B型;小花风毛菊(S.parviflora)2n=2x=26=24m+2sm,属2B型;变裂风毛菊(S.variiloba)2n=2x=26=6m+16sm+4st,属3A型,五个种的染色体中均未发现随体.     

介于欧拉和雅可比的一个结论

设Q(q)=multiply from n=1 to ∞((1-q~n)(|q|<1))欧拉的五边形数定理为 Q(q)=sum from n=0 to ∞((-1)~nq~(n(3n+1))/2)(1-q~(2n+1))雅可比得到Q(q)~3=sum from n=0 to ∞((-1)~n(2n+1)q~(n+1)/2)本文得到Q(q)~2=sum from n=0 to ∞((-1)~nq~(n(n+1)/2)(1-q~(2n+2))p_n(q))其中p_n~h(q)=sum from r=0 to n(q~r(n-r)) 证明:由[1;p.36,eq.(3.3.6)] sum from j=0 to N((Q)_v/(q)_1(q)_(n-j)(-1)~iZ~iq~(j(j-1)/2))=(z)_N. (1)及[1;p.19,Cor.2.3.α=b=0,i=q,c=q~(2r+1)]     

关于n进制中数字之和函数均值的计算

设 N =a1nk1 + a2 nk2 +… + asnks( 1≤ ai k2 >… >ks≥ 0 ) ,a( m,n) =a1+ a2 +… + as,Ak( N ,n) =∑m相似文献   

行和、列和始元幻阵的构造方法

将行和、列和幻阵A_(m×n)按m和n的奇偶性分成四种类型,分别为m=2l+1,n=2k+1;m=2l+1,n=2k;m=2l,n=2k+1和m=2l,n=2k,并对这些类型分别给出相应的构造方法.     

具耗散项的对称正则长波方程的显式精确解

~~其中 :l =-γv ,m =1 + C1- v2v2 ,n =12 v,C =C2v2 ,而 C1,C2 为积分常数 .假设式 ( 7)有解u(ξ) =∑ni=0AiΦi =∑ni=0Ai(Φ (ξ) ) i,Φξ =a( 1 -Φ2 ) ,a≠ 0 , ( 8)如果函数 1 ,v,… ,vn( n∈ N)线性无关 ,由主导阶分析 ,可选取u(ξ) =A0 + A1Φ + A2 Φ2 , ( 9)将式 ( 9)代入式 ( 7) ,得到 A0 ,A1,A2 ,a的一组代数方程6A2 a2 + n A2 2 =02 A1A2 n + 2 A1a2 - 2 A2 al =0( 2 A0 A2 + A12 ) n + m A2 - la A1- 8A2 a2 =0m A1+ 2 A0 A1n + 2 A2 al - 2 A1a2 =02 A2 a2 + l A1a + m A0 + n A0 2 =C　 . ( 1 0 )为了求得…     

关于方程sumk=0ton(b-2~rk)~l=sumk=1ton(b+2~rk)~l

本文证明了:设 l、n、b、r 为正整数,方程 (b-2~rk)~l= (b+2~rk)~l 仅有正整数解 l=1,b=2~rn(n+1)和1=2,b=2~(r+1)n(n+1).     

山野豌豆的染色体数目及核型分析

对山野豌豆的染色体进行了研究,结果显示,山野豌豆(Vicia amoena Fisch.)染色体数目为2n=12,核型公式为K(2n)=2X=12=8m+2sm+2st,染色体相对长度组成为2n=12=2L+4M2+4M1+2S,核型为"2A".     

一个用无理数幂表示整数的公式

设 Q =4l +1 ,l是非负整数 ,a、b是奇偶性相同的整数 ,则对于任意的非负整数 n,　　　　 f ( n) =1Qa +b Q2n+1-a -b Q2n+1　　　　 ( * )都表示整数。特别 ,当 a、b是自然数时 ,f ( n)也是自然数 ;当 a、b是偶数时 ,f ( n)也是偶数。( * )式就是一个用无理数幂表示整数的公式。证 :当 n =0时 ,f ( 0 ) =b,命题成立 ;假设对一切小于 k的自然数 n命题均成立 ,则f ( k) =1Qa +b Q2k+1-a -b Q2k+1=1Qa +b Q2k a +b Q2 -a -b Q2k a -b Q2=1Qa +b Q2k -a -b Q2k a +b Q2 +a -b Q2　 -1Qa +b Q2k a -b Q2 -a -b Q2k a +b Q2=af ( k -1 ) …     

一组数学公式的证明

本文就数学手册中的一组公式,应用最基本的组合知识,结出了证明.一组数学公式为:(a)、1+2+3+………+n.1/2n(n+1)(b)、1·2+2·3+……+n(n+1).1/3n(n+1)(n+2)(c)、1·2·3+2·3·4+……+n(n+1)(n+2)=1/4n(n+1)(n+2)(n+3)(d)、1~2+2~2+……+n~2=1/6n(n+1)(2n+1)(e)、1~3+2~3+……+n~3=1/4n~2(n+1)~2下面逐个给出证明:     

高度不正则树的存在性

本文证明了对不等于3,5,6,7,11,12.13的任意正整数 n,存在 n 阶高度不正则树,同时给出它的最大度d 的上界 d_(max)=[log_z n]和下界 d~(min)=0(n=1).或1(n=2),或2(n=4).或3(n=2~3+6r+s,r=0,1,2,3,….s=0,1,2),或4(n>16且 n≠2~3+6r+s),并证明对任意正整数 k∈[d_(min),d_(max)],存在最大度为 k 的 n 阶高度不正则树.     

多项式根的k次方之和的新解法

若xj(j=1 ,2 ,… ,n)是n次方程a_nx~n+a_(n -1) x~(n -1) +… +a_1 x +a_0 =0的n个根 ,将给出一种求这n个根x_1 ,x_2 ,… ,x_n 的k次方之和sum from i=1 to n(x_i~k)的新方法。     

柯西(Cauchy)不等式的一种证明方法

柯西 ( Cauchy)不等式是指 :( a1b1+a2 b2 +… +anbn) 2 ≤ ( a12 +a2 2 +… +a2n) ( b12 +b22 +…+b2n) ( ai,bi∈ R,i =1 ,2 ,… ,n) ,当且仅当 a1b1=a2b2=… =anbn时等号成立。这个不等式的证明方法很多。现利用二次型理论来证明柯西 ( Cauchy)不等式。证明 :记 f ( x1,x2 ) =( a1x1+b1x2 ) 2 +( a2 x1+b2 x2 ) 2 +… +( anx1+bnx2 ) 2　　 =( a12 +a2 2 +… +a2n) x12 +2 ( a1b1+a2 b2 +… +anbn) x1x2 +( b12 +b2 2+… +b2n) x2 2　　 =X′AX　　其中 X =x1x2　　　 A =Σni=1a2i　　Σni=1aibiΣni=1aibi　　Σni=1bi2　　显然 f …     

关于丢番图方程|6x2y2-x4+3y4|=2z2

证明了丢番图方程|-x4+6x2y2+3y4|=2z2,(x,y)=1的全部正整数解为(Ⅰ)若z＞2y2,则x=|m21n21-6m22n22|,y=m21m22+2n21n22,z=z(±)=(±)[24m21m22n21n22-2(|m21m22-2n21n22|±2m1m2n1n2)2],其中m2,n1满足-n41+6m22n21+3m42=2(D/2)2,2(×)n1m1m2;z=z-时,n2,m1满足(D-4m2m1)n2=m1(m22-n21)和(D+4m2n1)m1=2n2(n21+3m22),z=z+时,n2,m1满足n2(D±4m2n1)=(m22-n21)m1和m1(D(±)4m2n1)=2n2(3m22+n21).(Ⅱ)若z＜2y2,则x=|m21n21-6m22n22|,y=m21m22+2n21n22,z=±z0,z0=24m21m22n21n22-2(|m21m22-2n21n22|±2m1m2n1n2)2,其中m2,n1满足-n41+6m22n21+3m42=2(D/2)2,2(×)n1m1m2;z=z0时,n2,m1满足n2(D±4m2m1)=(m22-n21)m1和m1(D(±)4m2n1)=2n2(3m22+n21),z=-z0时,n2,m1满足(D(±)4m2n1)n2=m1(m22-n21)和(D±4m2n1)m1=2n2(n21+3m22).从而更正了梁莉莉,王云葵[1]关于上述方程仅有正整数解(x,y,z)=(1,1,2)的结果.     

4杆汉诺塔的最优移动次数

通常汉诺塔问题只带三根杆,当圆盘数为n时,最优移动次数为T3(n)=2n-1.对于带4杆的汉诺塔问题,最优移动次数满足关系T4(n)=2T4(m)+T3(n-m),其中m=arglmin{2T4(l)+T3(n-l)}依赖于n.对于正数整k,当k(k-1)/2+1≤n≤k(k+1)/2,n=k(k-1)/2+l时,T4(n)=(l+k-2)2k-1+1.特别,T4(sk)=2T4(sk-1)+T3(k),其中s0=0,sk=sk-1+k(k≥1).