关于一类立方图的可圈性研究

设G为无向图,如果对G的每一个定向D,都存在S（D）包含V（G）使在D中改变所有恰与S（D）中一个顶点相关联的弧的方向后所得的图为有向哈密尔顿图,则称G为可圈图．Klostermeyer和Soltes证明了P4k^3（k≥1）是不可圈图,现证明对任意整数n≥3,Pn^3是可圈图当且仅当n为奇数．     

（a，b，k）-临界图的两个充分条件

设G是一个n阶图，1≤a相似文献   

关于几乎正则2-连通图的Hamilton性的注记

研究几乎正则图的Hamilton性,得到了定理1　设G是2连通的(k,k 1)图,并且k≥V(G)3 13,如果G是偶数阶的图,则G是Hamilton图.定理2　设G是(k,k 2)图,并且k≥n3 103,如果存在G的一个非空独立集B1,使得B1≥n3-133,而且对于G的所有独立集B,都有B≤n2-1,则G是Hamilton图.     

联结数与分数（k，n’）一临界消去图

设G是一个图,若删除G中任意n’个顶点的剩余子图依然是分数k-消去图,则称G为分数（k,n＇）-临界消去图．笔者证明了若k≥2,n,≥0,bind（G）≥^（n＇＋1）且6（G）≥k＋n＇＋1,则G是分数（k,n＇）-临界消去图．     

完全t部图K（n-k,n,…,n）的色唯一性

设P(G,λ)是图G的色多项式.如果对任意使P(G,λ)=P(H,λ)的图H都与G同构,则称图G是色唯一图.通过比较图的特征子图的个数,讨论了由文献[Koh K M, Teo K L. The search for chromatically unique graphs. Graphs and Combinatorics, 1999,6: 259-285]中提出的猜想(若n≥k 2,则完全三部图K(n-k,n,n)是色唯一图);推广了文献[Liu Ru-yin, Zhao Hai-xing, Ye Cheng-fu. A complete solution to a conjecture on chromatic unique of complete tripartite graphs. Discrete Mathematics, 2004, 289: 175-179]中的结果(若n≥k 2≥4,则K(n-k,n,n)是色唯一图;若n≥2k≥4,则K(n-k,n-1,n)是色唯一图);证明了若n≥k 2≥4,则K(n-k,n,...,n)是色唯一图,若n≥k 2≥4,则K(n-k,n-1,n,...,n)是色唯一图.     

k-连通无爪图中存在哈密尔顿圈的一个隐度条件

文中给出了强基本独立集的概念,并证明了如下定理:设G是一个具有n个顶点的k-连通无爪图,其中k≥2.如果对任意一个具有k个顶点的强基本独立集S,都有max{d2(x)|x∈S}≥n 2,则G是哈密尔顿图.此定理在无爪图的条件下推广了已有的几个有关图中哈密尔顿圈存在性的定理.     

关于图的哈密尔顿性的一些新的结果

关于哈密尔顿图和哈密尔顿连通的两个基本结果是Ore给出的:设G是一个n(n≥3)阶图,如果对于G的任意一对不相邻顶点u,v,有d(u) d(v)≥n或n 1,则G是哈密尔顿图或哈密尔顿连通的.设G是一个图,对于任意u∈V(G),令N(u)表示u的邻点集;对于任意U∈V(G),令N(U)=∪u∈UN(u).本文利用插点方法,给出了关于k或(k 1)-连通图(k≥2)G是哈密尔顿的,哈密尔顿连通的或1-哈密尔顿的统一证明.其充分条件是关于|N(S)| |N(T)|与n(S ∪T)的不等式,这里S,T是图G的任意两个不交的独立集,并且|S|=s,|T|=1,S∪T也是一个独立集,这里n(S∪T)=|{v∈V(G):dist(v,S∪T)≤2}|.     

完全三部图K(n-k,n-v,n)的色唯一性

设P(G,λ)是图G的色多项式,如果任意与图G的色多项式相等(P(G,λ)=P(H,λ))的图H都与图G同构(GH),则称图G是色唯一图.文献[Lau G C,Peng Y H.Chromatic uniqueness ofcertain complete tripartite graphs.Acta Mathematica Sinica,English Series,2011,27(5):919-926]中提出一个猜想(若k≥v≥2,n≥k2/4+v+1,则完全三部图K(n-k,n-v,n)是色唯一的),并证明了若2≤v≤4,k≥v≥2,n≥k2/4+v+1,则K(n-k,n-v,n)是色唯一的.通过比较三角形子图和无弦四边形子图的个数,证明了若v≥4,k≥2v2+4,n≥(k+2)2/8+3,则K(n-k,n-v,n)是色唯一图。     

哈密尔顿性，邻域并和部分平方图

利用插点方法,研究图的H-性,给出了k-连通图是哈密尔顿的充分条件:设G是k-连通图(k≥2),若对于每个Y∈Ik 1(G*),在G中,有σb(Y)=sum from i=o to k(|N(Yi)|>/(b k)/2(n(Y)-1) μ((b(2k-2b 1))/2-1) ,则G是哈密尔顿图.     

关于图是可迹或1—哈密尔顿的两个充分条件

设G是一个图，G的独立集Y称为本质集，如果存在[y1,y2}属于Y，使得dist（y1,y2）＝2。利用插点方法，给出了关于（k-1）或(k 1)－连通（k≥2）图G是可迹的或1－哈密尔顿的统一证明。     

图的独立数与分数一致性

设G是一个顶点集为V（G）,最小度为δ（G）,独立数为α（G）的图, k≥2是整数。图G的支撑子图F称作是图G的分数k-因子,如果对于每一个x∈V（F）都有dhG（x）＝k。如果对于图G的每条边e,图G都有一个分数k-因子包含它而且同时有一个分数k-因子不包含它,则称图G为分数k一致图。证明了如果δ（ G）≥k＋2,且α（ G）≤4k（δ-k-1）（k＋1）2,则图G是一个分数k一致图。     

关于完全三部图K(n-k,n,n+k)的色性

设Ｇ为简单图,Ｐ（Ｇ,λ）的色多项式,若对任意简单图Ｈ满足Ｐ（Ｈ,λ）＝Ｐ（Ｇ,λ）,都有Ｈ与Ｇ同构,则称Ｇ是色唯一图,设Ｋ（ｍ,ｎ,ｒ）表示完全三部图,证明了：（１）对任意非负整数ｋ,若ｎ≥２√－３ｋ／３＋ｋ＾２,则Ｋ（ｎ－ｋ,ｎ,ｎ＋ｋ）是色唯一图。（２）若ｎ≥９,则Ｋ（ｎ－３,ｎ,ｎ＋３）是色唯一图。     

关于跳跃图的一点注记

图G的跳跃图记作J(G),其定义为：V(J(G))=E(G),ef∈E(J(G))当且仅当e、f在G中不相邻,该文证明：若G=(V,E)是不含孤立点的图,阶P≥q,边数q≥5且△(G)≤q／2,则除一类特殊图外,J(G)是H-图．从而否定Gary Chartand等人提出的一个猜想．     

泛圈图的一个新的充分条件

设G是一个阶为n的2－连通简单图,αv表示G中包含点v的最大独立集的点数,对任意uv不属于E,设Tuv=V\(N(u)∪N（v)),αuv=min{αu,αv}。本文证明了：如果对于任一对不相邻点u,v,｜N（u)∩N(v)｜≥min{αuv-1,｜Tuv｜},则除了一些特殊图外,对于G的任一点x和任意整数k(4≤k≤n),G包含长度为k县包含点x的圈。     

关于哈密尔顿指数的综述

图G的线图L（ G）是指以G的边集E（ G）为顶点集且L（ G）的2个顶点邻接当且仅当它们在G中有公共顶点。 n次迭代线图Ln（G）递归地定义为L0（G）=G,Ln（G）=L（Ln-1（G））（n∈N=｛0,1,2,…｝）,其中L1（ G）=L（ G）并且假设Ln-1（ G）非空,使得Ln（ G）是哈密尔顿的最小整数n称为哈密尔顿指数,用h（ G）表示。该文综述了（类）哈密尔顿指数的一些结果。     

边染色图中的彩色围长

研究了在边染色图中有关颜色度与彩色围长的关系,得出了一个结论:若G是具有n个顶点(n≥3)的边染色图,对任意v∈V(G),如果d^c(v)≥n/(2-α),其中α=3/(s-3)ln(2+7/3),s>3且s∈N, 则有gH(G)≤s。     

笛卡尔乘积图的限制边连通性

设G是一个极大限制边连通k-正则图,k≥2．论文证明了：如果│G│〉2k且n≥3,那么笛卡尔乘积图Pn×G是超级限制边连通的,除非G包含子图Kk;如果│G│〉k＋1且n≥3,那么Cn×G是超级限制边连通的,除非n=3且G是圈．     

两类非连通图优美性的研究

给出了两类非连通图(K2〖TX-〗∨Cn)∪[DD(]3[]i=1[DD)]St(mi)和(K2〖TX-〗∨C2n+k)∪St(m)∪G(k)n-1(k=1,2), 并证明了如下结论:对自然数n, m, m1, m2, m3, 设s=〖JB(［〗〖SX(〗n〖〗2〖SX)〗〖JB)］〗, n≥9, m1≥s+2, 则图(K2〖TX-〗∨Cn)∪[DD(]3[]i=1[DD)]St(mi)是一个优美图; 对 k=1,2,设n, m≥3, G(k)n-1是一个具有n-1条边的k-优美图,则图(K2〖TX-〗∨C2n+k)∪St(m)∪G(k)n-1是一个优美图。 其中,K2是一个具有2个顶点的完全图,K2〖TX-〗是图K2的补图,K2〖TX-〗∨Cn是图K2和n圈Cn的联图, St(m)是一个具有m+1个顶点的星形树。     

一类哈密顿图的控制数的上界

设G=(V,E)是一个简单图,D是V的一个子集,如果集合V-D的任意点都与D中的点相邻,则称D为图G的一个控制集.图G的最小控制集中的点数称为G的控制数.本文对哈密顿图的控制数进行了研究,证明了命题:如果n阶图G是一个最小度为5的哈密顿图,则图G的控制数就不大于5n/14.