批判微分学的神秘主义——学习马克思《数学手稿》体会

十七世纪后半叶,由牛顿和莱布尼茨二人独立完成的微分学,马克思在《数学手稿》中指出他们建立的微分学是神秘的微分学并作了深刻的批判,马克思明确地指出:微分是作为“扬弃了的”差值,或“消失了的”差值,并且断然写上微分“dx=0”、“dy=0”,为我们指出了一条认识微分的正确途径。今天如何正确认识微分是数学领域教育革命中一项很重要的课题。     

努力做一个辩证唯物主义者——学习马克思《数学手稿》的体会

马克思的《数学手稿》充满了唯物辩证法。马克思十分精辟地指出:微分是“扬弃了的或消失了的差”(《数学手稿》),并且肯定地令dy/dx=0/0。这不仅使我们进一步认清了微分的实质,而且给我们以明确的启示:数学工作者必须努力做一个辩证唯物主义者。 微分和积分,这个高等数学中的基本理论,数学工作者不知多少次接触它,但都没有深刻地理解它的实质。综观微积分产生以来的历史,从牛顿和莱布尼茨,到尔后的数百年,微积分都曾披上一层神秘的外衣。只有马克思精辟地阐明了微分的实质,亲手撕开这一层神秘的外衣。为什么数学家们不能说明的问题,马克思却能把它说明清楚呢?这个问题是值得我们深思的。     

论零是微分的本质

马克思在《数学手稿》中从变数的自身变化中,辩证地揭示了微分的本质,是“被扬弃了的或消失了的差”,“因而是严格数学意义上的x_1-X=0”(《数学手稿》第3页,第5页)。然而,正是这个“零”,尽管它在字面上导致无,但在微分运算时,尤其是在积分过程之后却又可以获得实际结果。这样,岂不是“无中生有”吗?因此,为了解决这一矛盾,似乎非视微分为“非零”不可,即作为微分过程的结果是零,而作为积分运算的对象又是非零。概言之,微分就成了“零与非零的对立统一”。究竟应该怎样认识这个“零”呢?难道说“零”本身就不存在矛盾吗?否则又为什么不能让它本身直接参与积分运算呢? 本文准备就上述问题,谈谈自己的看法。     

用辩证唯物主义观点认识微分

马克思在《数学手稿》中指出:微分是“扬弃了的”或“消失了的”差值,并且直截了当地写上微分“dx=0”,“dy=0”。这是对微分概念最精辟、最辩证的表述。旧教材却对微分概念作了形而上学的歪曲的描述。它把微分定义为:“设函数y=f(x)在一点x=x_0附近有意义,且存在一常数A,使对于x的改变量△x与y的相应改变量△y=f(x_0 △x)-f(x_0)之间有关系式△y=A·△x O(△x),其中A是与△x无关的常数,则称函数y=f(x)在点x_0处是可微的,而△y的主要部分A·△x叫做函数在x_0点的微分,用符号dy或df(x)记之,则dy=A·△x或df(x)=A·△x”。并且还做了一个归纳:“简单说来,微分就是函数增量的线性主部,而当△x很小时,dy≈△y”。     

对微分本质的一点认识

围绕着马克思《数学手稿》的学习,引起了一场关于微分本质的热烈的讨论。 自从牛顿、莱布尼茨总结了丰富的生产斗争和科学实验的成果,完成了微积分的运算法则之后,微分dx和dy的本质就成了一个长期争论的问题,有限常数论,无穷小量说等等各种看法,都试图说明微分的本质。一般认为,直到十九世纪,由哥西和魏尔斯特拉斯在微分学中引入了严格的证明以后,这场争论才基本上停止下来。 长期以来,沿袭哥西的定义,微分是作为函数增量的线性主要部分。写成数学式子,即在△y=f'(x)△x 0(△x)中,定义dy=f'(x)△x,再由函数y=x推得△x=dx,代回原式得dy=f'(x)…     

对微分本质的一点认识

围绕着马克思《数学手稿》的学习,引起了一场关于微分本质的热烈的讨论。 自从牛顿、莱布尼茨总结了丰富的生产斗争和科学实验的成果,完成了微积分的运算法则之后,微分dx和dy的本质就成了一个长期争论的问题,有限常数论,无穷小量说等等各种看法,都试图说明微分的本质。一般认为,直到十九世纪,由哥西和魏尔斯特拉斯在微分学中引入了严格的证明以后,这场争论才基本上停止下来。     

牛顿和莱布尼茨的微分演算

本刊下面选登的是牛顿和莱布尼茨在最初制定微分演算时的部分论述,供同志们学习马克思《数学手稿》时参考。文中方括号内的文字,系译者所加。     

只有差的形式才能揭示微分学的本质——学习马克思《数学手稿》

历史上传统的微分学,一开始从X+△X或X+h出发,而马克思的微分学一开始却从X_1-X出发,采取差的形式作为其出发点。从表面上看,这两种形式似乎没有本质的不同,只是差的形式与和的形式的区别,其实不然,“从这个简单的形式的差别立即产生处理微分学的根本差别”。(《数学手稿》第109页,以下凡属本书的只注明页数)两种表达形式的区别,体现了辩证法与形而上学的根本对立。只有采取差的形式作为微分演算的出发点,才能真正揭示微分学的本质,才能反映事物的本来辩证法。首先让我们比较一下历史上几种微分法和马克思的微分法,从中说明只有采取差的形式作为微分学的出发点才能揭示微分学的本质。     

微分的本质是什么?

马克思在《数学手稿》中阐明,微分运算的本质是否定之否定。恩格斯在看了《数学手稿》之后致马克思的信中也指出:“特别值得注意的是,只有当(?)=(?)时,而且只有那时演算在数学上才是绝对正确的。”同时又指出:“……可以放心地把x′重新取做x;这己不     

两种微分法的区别

求导函数的运算叫做微分法,这是高等数学的一个很重要的内容。怎样认识微分的过程?有许多不同的看法,但说到底只有两种。一种是形而上学的微分法,以十九世纪法国数学家哥西为代表,他被看成是“近代意义下真正的微积分的奠基者”。另一种看法是由马克思所建立的,马克思在《数学手稿》中分析、批判了种种错误观点,对微分过程作了精辟论述,揭示了微分学的本质。马克思才是微分学的真正奠基者。两种微分法的区别反映了两种世界观的对立,曾经被颠倒的历史,在今天必须再颠倒过来。联系这个问题淡谈我们学习《数学手稿》的体会。     

《数学手稿》讲座(初稿) 第四讲 导函数(下)

第三章马克思关于导函数的论述的重要意义《手稿》的写作年代距现在已经一个世纪了。在这一个世纪中,数学特别是数学分析又有了飞速的发展。如果我们从微积分体系的演变过程来看,那么从微积分的诞生开始直到现在大致可以分成为四个阶段。一、十七世纪后期。微积分作为一门科学在牛顿和莱布尼茨的手上大体宣告完成。这个时期,莱布尼茨的无穷小方法占据统治地位,最早的微积分讲义和公开出版的教科书就是     

《德意志意识形态》对人的本质观的发展

马克思对人的本质问题有一个认识过程。早在青年时代,马克思把人的本质规定为“自我意识”、理性,并具体化为自由。认为“自由是全部精神存在的类的本质”,并以此衡量国家制度的好坏和现实的是非。离开青年黑格尔派后,马克思深受费尔巴哈人本主义影响,在《1844年经济学哲学手稿》(下文简称《手稿》)中,提出了“自由自觉的活动”是人的     

论导数、微分、积分之间的关系

导数、微分、积分等概念是高等数学中最基本、最重要的概念。从微积分产主以来,围绕着如何认识和阐述这些概念。始终存在着唯心主义形而上学与唯物辩证法的尖锐斗争。从牛顿、莱布尼茨以来的资产阶级数学家,都是用唯心主义形而上学的观点来阐述它们,把本来是密切相关的概念割裂开来,把本来是充满着辩证法思想的微积分搞得神秘莫测。伟大导师马克思以反潮流的革命精神,对资产阶级数学家的唯心主义形而上学观点进行了彻底批判,并用唯物辩证法的观点重新阐明了这些基本概念。今天,当我们看到马克思的《数学手稿》时,感到格外亲切,深受启发和教…     

第五讲 微分(上)

微分是微积分的基本概念之一,它在微积分的理论和实际应用中有着十分重要的作用。在《手稿》关于微分这一部分中,马克思阐明了下列的基本思想:第一,用唯物辩证法科学地揭示微分概念的本质,指出微分概念和其它事物一样也有二重性。作为一个数学量,     

微分是零与非零的矛盾统一——兼批微分的线性主部定义

微分是微积分中的一个基本概念,它是导数的另一种表示形式,是从研究机械运动规律产生的,所以,它同导数一样,是一个充满着矛盾的概念.本文试谈对微分本质的认识,并说明微分的线性主部定义是形而上学的.(一)对微分的认识马克思用辩证唯物主义的观点,剖析了微分学的发展过程,说明了初等代数学要向微积分学发展的必然趋势.马克思说:“y的微分是代数发展的终点;它成了在自己领土上     

论在人的本质上马克思对费尔巴哈的超越

“人的本质是一切社会关系的总和”是马克思对于人的本质的科学论断,是对费尔巴哈人本主义的扬弃和发展。本文将要着重讨论的是马克思与费尔巴哈关于人的本质思想的异同及其异同,并进一步揭示马克思人的本质观理论的继承和超越。     

微分是零与无限小的对立统一

微分是微积分学的基本概念之一,它如同无穷小量、连续性等概念一样,是人们长期争论不休的问题.十九世纪极限理论建立以后,微积分学的这些基本概念才开始有了严格的数学定义.但是,微分的本质是什么?人们的认识仍然是含糊的.历史上人们对微分的看法,大体上可归结为三种观点.一种观点是以牛顿、莱布尼茨为代表的实在无穷小量说.他们把微分看作是不等于零,但又小于任何给出的量,即所谓“不可分的”量.另一种观点是以哥两为代表的有限常数论.他把微分看作是不等于零的有限常数.第三种观点是以古尔萨为代表的无穷小量说.他把微分看作是无穷小量,即以零为极限的变量.     

马克思主义价值构成理论新探

马克思在《资本论》第三编的《剩余价值率》一章谈到了“产品价值在产品相应部分上的表现,”他以20磅棉纱产品为例,描述了商品的价值构成:“可见,这20磅棉纱的总价值是依下列方式构成的:30先令棉纱价值=24先令(C) 3先令(V) 3先令(M)”.其中“一个量只代表生产资料中包含的劳动,或不变资本部分.另一个量只代表生产过程中加进的必要劳动,或可变资本部分.最后一个量的产品只代表同一过程中加进的剩余劳动,或剩余价值”.这就是马克思主义价值构成理论的基本内容.这一科学理论深刻揭示了作为劳动过程和价值增值过程统一体的商品生产的一般特征,成为他的“剩余价值学说”的理论基石.然而,任何理论都只能是一定时代的“镜子”,都只能对客观世界作出近似的不完全的反映.     

导数的极限定义是达朗贝尔方法的倒退——学习马克思《数学手稿》的一点体会

伟大革命导师马克思为了阶级斗争的需要,大约在十九世纪的六十年代开始研究微积分,并写下了内容极其丰富的《数学手稿》。思格斯说:“马克思是精通数学的”,并且“有独到的发现”。马克思的《数学手稿》用历史的和辩证的科学方法,剖析了微分学发展的历史过程,对各个历史阶段的那些有代表性的数学家,既肯定了他们对发展微积分的功绩,又批判了其中的形而上学观点,并用辩证唯物主义的观点和方法对微积分学中最基本的概念——导数和微分作了科学的定义。所以,我们学习《数学手稿》,应该学习这种历史的和辩证的方法,并运用它来指导学科领域的改造。本文试从剖析达朗贝尔的方法入手,说明现代导数的极限定义甚至是达朗贝尔方法的一种倒退,因而必须按照马克思在《数学手稿》中所阐明的方法来定义导数。     

谈谈对多元函数微积分的一些看法

一百年前,伟大的革命导师马克思写下了不朽的《数学手稿》,这一百年来,虽然数学有了巨大的发展,但马克思的《数学手稿》至今还闪耀着灿烂的光辉。马克思在他的手稿中,用马克思主义特有的唯物辩证法,批判了形形色色的唯心论形而上学,撕开了蒙在导函数和微分上的神秘的面纱,揭示了导函数和微分的本质,为我们树立了光辉的榜样。马