《中西数学图说》勾股和较问题探微

《中西数学图说》是晚明进士李笃培在西方数学传入中国的背景下,撰写的一部会通中西的数学著作。该书对勾股和较问题的研究,在晚明时期别具特色,颇有创获。通过对该书勾股和较问题的分析,本文指出,虽然《勾股义》与《同文算指》是《中西数学图说》勾股和较知识的直接来源,但该书并没有采用前两者仿照《几何原本》给出的证明形式,而是利用传统算书中的出入相补原理给予证明。与赵爽的"勾股圆方图注"文字相契合的勾股和较图形,是《中西数学图说》证明勾股和较问题的依据。在原有勾股和较问题的基础上,该书对所有勾股和较情形进行了系统的总结,并对其中需要论证的情况一一绘图证明,与清代中前期中算家在勾股和较领域所做的工作有很多重合和相似的地方。对勾股和较问题的几何证明和系统总结,体现了《中西数学图说》在西方数学的影响下,整理传统算学内容的努力。     

由建构与算理看戴震的《勾股割圜记》

戴震对中算的贡献,一向被认为只局限于算书的整理上,如校《九章算术》、恢复《算经十书》,等等。他的数学成就,常被批评为无足轻重。文章从学术建构的角度,来分析戴震的《勾股割圜记》,认为戴震著书的目的是希望由中算固有的性质中,创造出一个具文化传承且能与西方三角学匹敌的勾股割圆术。由此观点,戴书中许多被诟病之处,可得到合理的解释。另外,在研究戴震算学的文献中,很少谈到戴震对算理的强调。文章的另一目的是讨论算理在《勾股割圜记》中的重要性。戴震宣称割圜之法尽于勾股互权(相似直角三角形三边互求)。而在其书中勾股术的推导过程,除了图式,戴更明确地列出相似勾股形的对应边。无论是平面或是球面,戴的确是用该性质推导出所有的勾股术。     

《测圆海镜》的构造性

数学的构造性有两个层次：内容的构造性与体系的构造性。《测圆海镜》的研究对象可用数学手段构造出来，因为所有问题都和圆城图式有关，未知量总是圆的直径，而已知量则是某些线段。显然，这些量是可以作出的。此外，解题步骤均形成完整结构，没有试猜的成分和经验性结果。所以《测圆海镜》的内容是构造性的。从书的体系来看，各卷的问题解法均可由卷一“识别杂记”中的定义、定理、公式推导出来，全书成一整体结构。由此可见，《测圆海镜》是一个构造性体系。     

尊重原始文献避免以讹传讹

尊重并认真研读原始文献，是对数学史工作者的起码要求。但是，有意无意对原始文献曲解的现象，在数学史研究中并不鲜见，甚至某些颇负盛名的学术著作也不能幸免。以《九章算术》的编纂、对刘徽割圆术的认识、对秦九韶的大衍总数术的认识、李冶的《测圆海镜》为何而作、天元术中开方式的表示等为例，说明自清中叶起，在中国数学史的这些重大问题上就存在许多误解。只有尊重原始文献，才能准确地认识中国数学史。     

对李冶《测圆海镜》的新认识

和现在通行的看法相反，《测圆海镜》不是一本讨论天元术的书，与天元术有关的部分只是应用天元术以解勾股形罢了。其核心是其中的《识别杂记》部分，这里有完善的定义，完善合适的公理，丰富多彩的定理，已经建立了一个完善的公理系统，为我国数学开辟了一条公理推演的新路。     

评《李冶传》

河北教育出版社最近出版了孔国平同志著《李冶传》。李冶(1192--1279)是金元时代的大数学家，并在文史方面深有造诣的著名学者，著有《测圆海镜》（1248)、《盏古演段》(1259)两部数学著作和《敬斋古今》等笔记，与贾宪，秦九韶、杨辉，朱世杰一道是中国宋元数学高潮的主要推动者。     

刘徽对整勾股数的研究

整勾股数在我国出现甚早。《周髀》所载“勾广三,股脩四,径隅五”,据说在相传的大禹治水时期便已发现和应用。古算书中对整勾股弦表现出特殊的兴趣。《九章算术》“勾股”题中所设整勾股弦仅互质者就有八组之多,足见秦汉以前我国数学家们在寻求整勾股弦方面已有过许多的工作。而关于整勾股弦的一般求法,过去一些数学史家认为在中国乃始于明代以后,甚至还有“‘定勾股弦无零数法’,本于欧几里(Euclid)”     

勾股新证——岳麓书院藏秦简《数》的相关研究

岳麓书院藏秦简《数》里有一道"圆材薶地"算题,与《九章算术》"勾股"章第九题相同,这说明了《九章算术》"勾股"章的内容在先秦数学著作中就有渊源,它为我们了解先秦(或至迟秦朝)时代这类算法的情况提供了时代确切的直接材料。另外还有第二种可能性,即在《数》成书时,解答此题或可能是利用了相似直角三角形对应边成比例的性质。     

印度三角学对中算影响问题的探讨

本以古印度数学中的三角学、印度三角在８世纪传入中国的情况、中国的勾股术与印度三角等价性的探讨〔１〕为基础，通过印度三角体系与中国勾股术的比较；尤其是对为人熟知的印度“正弦表”及中国一行的“正切表”进行了分析和比较。认为由于基本概念和历算体系的不同，印度三角学以历算的形式寓于《九执历》中，也被收入《大唐开元占经》，但却未影响到中国的历算学。     

塞琉西、古埃及、地中海数学与《九章算术》之“方程”和“勾股”:偶然亦或显著相似?（英文）

几何图示与算术结构的相似性,往往被作为中国与"西方"之间开展数学知识与方法交流的证据。比对《九章算术》第八章"方程"中某些问题与源自古希腊的相似问题,第九章即关于直角三角形的"勾股"部分与塞琉西的一部关于矩形的问题集,得出如下两点结论:(1)关于一些算术难题(但不含解法)的交流很可能存在——并非"来自希腊",而是来自商贾们的跨国团体,这些算题激发了中国"方程"解法的创生,《九章算术》第八章就是其系统阐述;(2)相反,关于几何问题的交流则不太可能(除了一个可能的例外),《九章算术》第九章"勾股"的系统阐述乃是基于本土的几何学实践之上。     

晚清割圆术的饱和倾向

该文在对晚清割圆术进行深入的分析和考察的基础上，指出其方法和内部结构上的弱点，即割圆术中的分析、归纳和概念三者之间缺乏紧密联系，不能形成互相促进的良性循环机制和理论基础。并以此为例，提出了中国传统数学具有的“抗变性”，而这种抗变性是中国发展近代数学的障碍。     

晚清中算家对《重学》中抛射运动知识的数学解读

《重学》中的抛射运动知识在晚清引起了极大关注.先是李善兰《火器真诀》(1859)运用圆的知识对部分知识进行图解解读,之后四十多年时间里有十多位数学家对《火器真诀》进行再解读,使得这部分知识得到了较为广泛的传播.中算家们大都是抛开抛物线知识讨论抛射运动,他们的解读是基于自己和受众的知识构成进行的.洋务运动这一特定的社会历史背景使得抛射运动知识的传播更为广泛和深入.     

晚清算学课艺考察

算学课艺是晚清数学教育变革的产物。在整理算学课艺文献的基础上，举示典型题目予以评说，藉以说明算学课艺的成就及晚清数学教学水平，并就算学课艺内容的局限性及其原因略作讨论。考察结果说明，算学课艺的主要内容是常量数学。多数成果出自中国传统数学，而当时已经传入的变量数学的吸收效果并不明显。这一现象大致反映晚清数学发展的基本状况。产生这一现象的一个重要原因是晚清数学观念的实用倾向的消极影响。     

中国科学院自然科学史研究所所徽设计方案说明

本设计的创意来自中国现存最早的完整算经《周髀》所保留之日高图和勾股圆方图：“圆出 于方,方出于矩”,“度高者重表”,“虽天圆穹之象犹曰可度,又况泰山之高与江海之广 哉?”(后两句出刘徽《九章算术序》)。一条地平假设,两根量杆就导出测量太阳高度的方 法,充分代表了公元纪年前后中国科学和技术的水平。此图如果着色,以橙红涂圆形代表太阳,以绿色涂方形象征科学史事业的繁荣,三个蓝色的 英文字母分别代表“历史”、“科学”与“技术”。红、绿、蓝三原色又象征事物的本原。 对三原色的认识源于西方近代光学,而三原色同人类生…     

代数布式 天元开方——卡尔达诺公式在晚清的境遇

卡尔达诺公式由译本《代数术》(1873)传入中国,引起了晚清数学家的关注,它与中国传统数学中的天元术和开方术发生了互动。晚清数学家探讨了卡尔达诺公式的立术之原,企图用开方术"消解"三次方程不可约情形,并把它纳入自编的代数学教材。他们将卡尔达诺公式放在自己的知识结构中讨论、理解,在认识到符号代数优越性的同时,也为保留传统开方术找到了理由。这些有特色的工作很大程度是由他们自身的知识构成决定的。     

《数根丛草》注记

李善兰《考数根法(》1872)与方士《数根丛草》(1897)是晚清讨论素数判别法的两部主要著作。解读两书内容,考察《数根丛草》对因数分解判别素数法的运用以及对《考数根法》求"定次"方法的完善等两项工作,可以看出晚清数学家对于费尔马小定理与费尔马因数分解判别素数法的深刻认识与灵活运用。此外,改正了以往关于《数根丛草》内容解释的一些错误和遗漏,并认为《考数根法》与《数根丛草》的内容与数学方法的来源需要进一步探讨。     

热本质说在晚清的传播

西方关于热本质的争论持续了几个世纪,最终以分子动理论和能量守恒定律的建立宣告结束。晚清出版的物理学著作很多都介绍了热本质问题,其中,《博物新编》的作者持热质说观点,《格致启蒙》较早引入了热动说。通过比较和分析文献,考察上述两著作对热本质说的论证,并结合其他著作,分析热本质说在晚清传播的特点。     

夏鸾翔对二次曲线求积问题的研究——兼论中算家对微积分的早期认识和理解

夏鸾翔是晚清较早研究微积分的中算家,据其<致曲术>、<万象一原>,可知他在二次曲线求积问题上得到了比较全面的成果,有的已超过<代微积拾级>,某些成果近似近代的椭圆积分.其成果是他在自身的知识基础("递加数")上吸收<代微积拾级>中的积分术取得的,中算家在微积分传入初期将"微分术"几乎等同于级数展开的求法.     

试论刘徽的数学理论体系

魏景元四年(263年)刘徽注《九章算术》,它与《九章算书》成书一样,是中国数学史上划时代的大事。从《九章算术》到刘徽注,标志着中国古代数学理论体系的形成。为了说明这个问题,首先要回顾一下《九章算术》的风格和特点。《九章算术》分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九部分,包括近百年基本公式和解法,其中有许多世界意义的成就,全国概括了东汉初年以前中国数学的主要内容和成就,基本上奠定了中国古代数学的框架。     

邹伯奇关于日影观测“椭圆影心非日心”的数学解读

元代郭守敬用装有景符的四丈高表测量日影,改测表端投影为测横梁投影,将“仅如米许”的太阳像中心视为日面中心。《崇祯历书》认为太阳透过小孔斜射到密室地面的投影是椭圆,此后天文学家都认为椭圆光影之中心即太阳中心的投影。1844年前后,邹伯奇发现“椭圆影心非日心”,并从数学上予以解读,其说因未刊行而迄今少为人知。邹伯奇这一成果,是郭守敬圭表测影理论的完善,为日影测量之误差分析等提供了新判据,对圭表测影研究亦具有重要意义。