再论中国古代数学与儒学的关系——以六至七世纪学者对于礼数的不同注疏为例

本文通过分析贾公彦、孔颖达、甄鸾、李淳风等对于《仪礼·丧服》"去五分一以为带"的注疏、注释,揭示出诸家对于礼数的数理解释不尽相同。具体来说:一、贾、孔等遵循注疏儒家经典的做法,把数学知识作为儒经的一部分,他们对于礼数的理解是依据汉字结构,其算法实施不需要筹算;二、甄、李等则重新组织儒家经典以适应当时数学著作的体例,他们从数学的角度去理解礼数,其算法有一个筹算过程。从历史语境来看,这发生在甄鸾扩展数学应用范围,以及唐代政府注疏儒经和注释算经活动的背景下。本文认为我们需要拓展中国古代数学的内涵。在此基础上,数学与儒学的关系并非一成不变:据《周礼》所载,周代九数是周礼的一部分;之后,九数发展为以《九章筭术》为代表的相对独立于儒学的数学体系;另一方面,至唐代,学者们通过注疏儒经也发展出相对独立的数学体系。因此,诸家对于礼数的不同注解反映出:儒经数学是儒学天然的一部分,算经数学则是相对独立于儒学的知识体系,尽管甄鸾、李淳风等通过《五经筭术》试图重建数学与儒学的紧密联系。     

秦九韶对大衍术的筭图表达——基于《数书九章》赵琦美钞本(1616)的分析

秦九韶的《数书九章》(1247)是中国数学史上的名篇,其所载的大衍总数术是一项世界级成就。然而,以往的数学史研究并未从文本表达形式的角度分析秦氏大衍术。从对最接近秦书足本的赵琦美钞本(1616)的分析看,秦氏对大衍术的表达运用了文字、筹码、筭图、连线等多种文本形式。一方面,秦氏著书的部分原因是为了参与宋廷改历。另一方面,秦氏认为数术分成内算与外算两部分,与历算、《周易》相关的大衍总数术属于内算,其核心算法大衍求一术则与传统方程术不同,应独立为一项数学内容。因此,依据"其用相通,不可歧二"的原则,秦氏有理由公开揭示大衍术。而且,由于筭图能够呈现算法的全部筹算过程,故而成为秦氏表达原先"算而不书"的大衍术的最佳工具。总之,通过分析秦九韶的著书动机、天文历算与传统数学的差异、筭图与连线的功能,我们可以全面理解秦氏记述大衍术的历史事实。     

儒学经典中的数学知识初探——以贾公彦对《周礼·考工记》“■氏为量”的注疏为例

通过分析唐代学者贾公彦对《周礼·考工记》"■氏为量"的注疏,揭示出其数学知识与以《九章筭术》为代表的传统数学不尽相同。其不同之处体现在贾氏算法的结构、对数和图形的认识、推理的方式以及对于算筹的运用等方面。由于这些特色在贾氏其他注疏以及初唐诸儒编订的《五经正义》中亦有体现,说明其具有一般性。此外,与贾公彦一同注释儒学经典的王真儒,稍后也与李淳风等一同注释了十部算经,这一事实揭示了儒学与数学关系的复杂性。对于儒学经典中的数学知识,有必要进一步深入系统研究。     

元明时代的筹算开平方新法——连接传统筹算开平方与珠算开平方的桥梁

除传统布算的筹算开平方法外,元末明初还出现了至少两种筹算开平方新法。它们与后来编成的算书中的几种筹算开平方新法,反映了在珠算趋于流行背景下筹算开平方法的改革。其共同特点是,各项均没有退位变化,这正是筹算开平方过渡到珠算开平方的关键一步。其中,筹算三层开平方法尤其适合改造成珠算商除开平方,这种改造的出现应不晚于16世纪上半叶,而可能更早。归除开平方法,是归除法与珠算商除开平方法的结合,大约产生于16世纪六七十年代。从算理上讲,筹算开平方发展为珠算开平方的大致脉络为:传统筹算开平方法到筹算开平方新法,到珠算商除开平方法,再到珠算归除开平方法。此外,文章针对没有说明算具的情况,还提出了能更加精确地判断珠算开方与筹算开方的标准。     

《筭数书》与《算经十书》比较研究

从体例、术文的抽象性与演算细草、数学表达方式、数学内容四个方面对<筭数书>与<算经十书>中可与之对比的<九章算术>、<孙子算经>、<张丘建算经>、<五曹算经>等算经进行了比较研究.<九章算术>等著作有术文统率例题、应用问题集、将预备知识列于卷首三种体例.<筭数书>具有这三种形式.<九章算术>既有基本运算法则和适应于一类数学问题的相当抽象的术文,也有应用于一种数学问题的比较抽象的术文,还有针对某一问题的演算细草.<张丘建算经>则基本上是应用于一种数学问题的抽象术文.<孙子算经>和<五曹算经>则完全是针对某一数学问题的演算细草.<筭数书>的术文的抽象程度也具有这三个层次.<筭数书>的数学表达方式多种多样,不统一,不如<九章算术>等著作规范.就数学内容而言,<筭数书>有许多首创的贡献,它与<九章算术>相比,有一些方法相同,也有少数题目相同,但相当多的方法、大部分题目不同,也不如<九章算术>的内容那么全面、规范;它也稍逊于<张丘建算经>,而与<孙子算经>不分轩轾,却远远超过<五曹算经>.<筭数书>比<孙子算经>等三部著作要早出七八百年以上,就创新程度与内容宽泛、深刻而言与<算经十书>现存诸算经相比,<筭数书>的重要性仅次于<九章算术>.     

当开方术遇到一元高次方程

开方术是中国古代数学中的内容,最先出现在《九章算术》中的《少广》章,他是中国传统数学中发展较为完善和成熟的一个分支。后来经过宋元时期的发展,演变为求解一元高次方程一个实根的增乘开方算法。如果方程恰好只有一个正的实根,解决起来顺理成章。如果方程有两个正根,开方术得到的是哪一个根?为什么这一个就是所要求的根?如果方程有多个正根,开方术如何求出这些正根?这些问题都是中国传统数学必须面对和需要解决的问题。另外,中国解方程的方法"开方术"也必然的无法回避方程的负数根、复数根以及方程论的相关问题,而对这些问题的梳理和介绍,可以为大家提供认识方程论的另一种视角,从中可以体现认识数学的多种进路。     

对增乘开方及其相关问题的再探讨

通过对开方术、带纵开方及增乘开方算法的比较分析，认为增乘开方的思想源于《九章算术》的开方术，带纵开方是中间的过渡阶段。增乘开方是将开方术归纳、推广的结果。而贾宪三角是记录了用增乘法得到的备乘方之廉。即：传统开方→立成释锁→释锁求廉本源(贾宪三角的造表法)→增乘开方。在开方算法的完善中体现出的中算的构造性特征及程序化的算法思想，至今仍有重要义。     

从定位法看中国传统乘除运算的变迁

乘除定位法是解决数学问题中积或商每一位的数量级和单位的方法,目前发现最早的记录出现于南宋杨辉的《算法通变本末》。时至明代,筹算逐渐为珠算更替,吴敬、王文素和程大位等学者进一步将定位法归纳为完整的珠算定位系统。欧洲笔算传入后,中算家结合东西方传统定位法,发展出中西合璧的笔算定位法。通过梳理乘除定位法的发展变迁史,从算理视角分析可知,不同的计算顺序和计算方式导致了定位法的不同表达,反映了不同历史时期人们对乘除运算及数本身的不同认知。同时,以定位法之变迁窥见乘除算法在不同运算工具体系下的演变过程,说明筹算向珠算的转变模式并非只是计算工具的简单改变,而是伴随着数学规则和范式的一种内在转变。     

关于《九章筭术》之文津阁本

本文通过《九章筭术》之四库文津阁本与文渊阁本、聚珍版的校雠,发现文津阁本的抄录比文渊阁本认真得多,其舛误甚至比聚珍版还少;文津阁本是依据《九章筭术》戴震辑录校勘本的正本抄录的,应该比文渊阁本早;文渊阁本不是根据戴震辑录校勘本的正本抄录的,而是根据其副本抄录的;笔者准备汇校《九章筭术》的过程中,由聚珍版与四库本恢复《九章筭术》的《永乐大典》戴震辑录本是正确的,但是使用文渊阁本则有失偏颇,而应以四库文津阁本为主,以聚珍版、文渊阁本参校对校恢复之,从而为校勘《九章筭术》提供更准确的底本。     

贾宪的数学成就

贾宪是守元时代我们知道其数学成就的第一位大数学家。生活在北宋十一世纪上半叶,生平不详,当过左班殿直。他创立贾宪三角和增乘开方等方面的贡献,李俨、钱宝琮、严毅杰、杜石然等学者已作过详尽论述。传统看法认为,贾宪的《黄帝九章算经细草》除上述成就外,均已失传。笔者近年经过考证,认定杨辉《详解九章算法》由《九章算术》(下称《九章》)本文、刘徽注、李淳风等注释、贾宪细草、杨辉详解五部分构成,因此贾宪《黄帝九章算经细草》并未完全失传,目前尚存三分之二。本文以这种新认识重新探讨贾宪的数学成就。     

中国筹算和《九章算术》中的程序思维

本文以程序思维为主线，系统地研究了中国传统数学的筹算制及其学术的最重要成果《九章算术》。并指出：中国传统数学沿着《九章算术》所开辟出的方向，走上了一条不甚博大但不乏精深的程序化数学的发展之路。     

秦九韶"历家虽用,用而不知"解

<数书九章>所载之大衍总数术,是一项世界级的数学成就.然而在此之前,大衍总数术的发展情形并不清楚.秦九韶<数书九章>自序云:"独大衍法不载<九章>,未有能推之者.历家演法颇用之,以为方程者,误也."因此学术界粗略地认为,大衍术来自历家之方程,但又一致认为此方程并不是中国传统数学之方程.本文认为历家之方程即传统之方程,只是运算目的不同.并据此给出一种推测性解释:如果把此方程三横行布筭的最上面一横行删去,用辗转相除替代直除(两者相通),把左下角和右上角两数位置调换,并把运算之负数全改为正数(这不影响结果),那么它就是<数书九章>所载之"大衍求等术".如果再把两数做约化处理,那么它的形式与算法就和"大衍求一术"完全一样.同时,本文认为"约奇弗约偶"之奇偶即指元数的单双.提出元数约化法则,利用筭图优化历家之方程,是秦九韶之贡献.这样我们亦可了解大衍术在历算中的发展情况.另外,历家之方程在运算过程中可自然地得到一系列的渐近分数.由于这种算法既符合中国古代筹筭之过程,又无需用到比<九章筭术>更高深的数学知识,因此可以自然地解释祖冲之圆周率,以及中国历史上出现的其他大量渐近分数.     

萨拉夫·丁·图西三次方程数值解的研究

文章在全面解读阿拉伯数学家萨拉夫·丁·图西(Sharaf al-Dīn al-Tūsī,1135~1213)《方程》(1209年)一书的基础上,着重分析了其中的三次方程数值解法,得出它们是在已有开方算法的基础上有规律性地构造出来。另还将其与同时代中算家秦九韶的相似算法作比较,得出二者的核心算法相同,但是由于各自数学传统的差异又表现出明显的不同。该研究对于进一步认识图西三次方程数值解算法的构造思想以及探究中阿数学在相似问题上各自的特点与传统有积极意义。     

再论《九章算术》通分术

前人把<九章算术>通分术理解为分子、分母扩大相同倍数而分数值保持不变的算法,实际上等价于现今的算法.其实<九章算术>中的通分是指用一个正整数乘以分数以化分数为整数的算法;前人对此理解有误,因此导致了前人对于<九章算术>经分术"同而通之"和少广术"通而同之"的错误理解,以及对于<九章算术>环田题密率术的校勘争论.依据对通分术新的理解,对以上问题进行了辨析,进而认为:古今通分术计算结果殊途同归是产生对通分术普遍误解的算理基础;忽视古代数学术语和算法的统一性,忽视古代数学筹算的表达形式带来的实用性、经济性的要求,以及大量的以今释古是对通分术产生误解的原因.事实上,<九章算术>通分术,在现今数学中并无与之精确对应的算法;前人对通分的误解实际上抹杀了通分术演进的历史--从<九章算术>少广术总术和分术的不一致,可以看出从先秦<算数书>到西汉<九章算术>编撰,通分术历史演进的痕迹.     

筹算数学的基本特征及其评析

筹算作为中国文化中的数学形式,它在符号表现、操作运演方式及建构分类模式等3个方面与古希腊数学有着重大差异,客观认识筹算在符号、运演及分类方面的三大特征,有助于人们正确理解筹算对人类数学的贡献。中国古代数学史的研究需要一种没有西方数学价值观念影响的数学理论模式并应以此来评价筹算数学。     

《九章算法比类大全》渊源初探

明代吴敬的<九章算法比类大全>(以下简称<大全>),除了与<九章算术>有着非常密切的关系外,也与其他算书有着重要的渊源关系.将该书与现存的1450年之前刊刻的<九章算术>外的算书进行详细比较,并分析该书与它们的渊源关系后,可以认为:<大全>受到宋元算书,特别是杨辉算书的影响较大,继承了杨辉重视介绍启蒙知识和开方术的思想,以及杨辉编写算书的"纂类"方式;吴敬至少应该听说过天元术,不过,即使他看到有关天元术的著作,也已无法理解天元术;<大全>乘除开方起例的内容与现存元末明初算书的很多内容相同,反映了这些知识从元末至明初这段时间的传播和发展.结合<大全>与<九章算术>的渊源以及<大全>对其后算书的影响的分析,还认为:明初的80年问,包含汉唐宋元一些高水平数学成就的算书在民间仍能看到,但吴敬既没有能够掌握这些知识,也没有在书中记载下他看到的算书中的高水平的数学知识.     

精工细作 传之后世——再读郭书春《九章筭术新校》

《九章筭术新校》在作者原来《九章筭术汇校》增补版的基础上又有了新的进展,主要表现为:(1)发现并增添了新的版本;(2)对每一条校勘重新做了精心的加工整理;(3)提出了许多新的创见。     

关于中国古算术语“开方”的几个问题

在中国古代,开方远比乘方逆运算的范围要广,实际上是对一元二次及以上方程求数值解,它是传统数学中的一个重要门类。文章梳理了"开方"及其分类术语的历史源流与含义,考察了一些辞书对"开方"等术语的解释,并对其中不准确的解释进行了纠正。     

中华古算,光耀千秋——评郭书春《九章算术》汇校本

中国科学院自然科学史研究所副研究员郭书春先生以“十年磨一镜”的精神,完成了35万字的大著《九章算术》汇校本,经著名数学家、数学史家吴文俊、严敦杰先生作序,历史学家李学勤作跋,书法家启功题签,最近由辽宁教育出版社出版,台湾九章出版社也有意刊行,这是数学史界值得庆祝的一件大事。《九章算术》是我国古代最重要的数学经典,也是堪与古希腊《几何原本》相媲美的世界数学名著。吴文俊教授认为:“《原本》开创了公理化演绎体系的纪元。其思想方法与方式,在数学的现代研究中占据着一种统治地位。”而“在我国,则《九章》以其独特的方式和方法,阐扬了以算为主以术为法的算法体系。”并且“由于近代计算机的出现,其所需数学的方式方法,正与《九章》传统的算法体系若合符节。《九章》所蕴含的思想影响,必将     

《九章算法比类大全》与"九章"的渊源

吴敬的《九章算法比类大全》是明代传统数学中一部承前启后的算书，与“九章”有着非常密切的关系。该书的问世是《九章算术》流传过程中的一个重要的转折点。文章详细比较了《九章算法比类大全》与《详解九章算法》，深入分析了二者之间的关系，认为：尽管后者包括了《九章算术》本文、刘徽和李淳风的关注、贾宪的“细草”和杨辉的“详解”等内容，但对《九章算法比类大全》影响最大的是“详解”；吴敬读到了《详解九章算法》，但没有看到单行本的刘徽和李淳风注的《九章算术》。文末指出了前人研究中的错误观点。