对算术命题先天综合性质的系统论证

康德的先天综合命题思想是哲学上的重要创举。然而,囿于时代之限,康德对算术命题先天综合性质的阐述暴露其数学上理解的偏差。基于现代数学尤其是皮亚诺算术公理的视角,借鉴彭加勒对数学归纳法先天综合性质的论述,可以发现,算术命题是先天综合的。对算术命题先天综合性质的系统论证由最小数原理的先天综合性质始,经由数学归纳法的先天综合性质而至皮亚诺算术公理的先天综合性质,最后到达算术命题的先天综合性质。其中对综合性的论证,涉及非概念包含关系、无限性、数学公理的不可化约性、自然数的两种定义、哥德尔不完全性定理、数字和运算的不可化约性,等等。     

对李冶《测圆海镜》的新认识

和现在通行的看法相反，《测圆海镜》不是一本讨论天元术的书，与天元术有关的部分只是应用天元术以解勾股形罢了。其核心是其中的《识别杂记》部分，这里有完善的定义，完善合适的公理，丰富多彩的定理，已经建立了一个完善的公理系统，为我国数学开辟了一条公理推演的新路。     

物理学基本定律的独立性之争及其反思

理论公理化的一个重要问题是公理的独立性问题.考察公理化最为发达的物理学中关于独立性问题的争论,可以看出,自然科学的公理独立性问题不同于逻辑学和数学,有自身独特的方法论价值.     

惠更斯与概率论的奠基

惠更斯是概率论学科的奠基者之一。其《论赌博中的计算》是第一部概率论著作，该书首次提出数学期望的概念，创立了“惠更斯分析法”，第一次把概率论建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系。     

爱米·诺特对交换环论的贡献

抽象代数是数学的重要分支,主要研究群、环、域、模、格等数学结构。环论是抽象代数中较为深刻的一部分,按照乘法是否满足交换律,环可以划分为交换环和非交换环两大类。在详尽占有并阅读原始文献和研究文献的基础之上,分析了爱米·诺特为何从不变量论转到交换环论的研究,并且揭示了爱米·诺特通过对升链条件的重视与应用,完成对抽象环,特别是诺特环的公理刻画,从而建立起抽象交换环论,并促使抽象代数学这门学科正式建立起来。     

从希尔伯特规划到数学的地图

希尔伯特规划的原初目的是为无穷数学辩护,然而为哥德尔不完全性定理所挫。反推数学的根本目标是为数学命题找寻能够证明它的下限公理,而其中相当一部分工作可以看作为对希尔伯特规划的部分实现。本文在梳理有关工作的基础上试图为希尔伯特规划提供一个新的视角,即在绕开哲学负担之后,希尔伯特规划或许可以推进为为数学绘制地图。     

论萨普对科学理论句法观的误解

通常将萨普的表述作为对科学理论句法观的标准理解,但对比卡尔纳普的原始表述,表明萨普的表述中存在诸多误解:一是认为句法观仅限于以一阶语言来重构科学理论,未指出句法观已将类型论与数学都囊括于其基本演算中;二是未指明"经验定律"就是重构后的科学理论"公理系统"中的"定理";三是对观察子演算及其形式语义的引入,误解了卡尔纳普在句法观中提出的经验语义解释及模型概念的本义。     

“天人合一”的数学语境诠释

"天人合一"理解分歧的症结在于缺乏对"天"的无限性的诠释。数学语境的独到之处在于能描述这个不可观测的、大而无外、小而无内的"天"的无限性。借用线性几何系统构建了数学语境下"天人合一"的"天",是N维(N→∞)的多维宇宙空间,指出"天"是一切的投影源,N-1维及以下是其投影的相。"天人合一"的"人"是"大我","合一"代表一种境界或一种趋势:对于圣人来说,"天"和"人"本来是一体的,不必再去"合";对于一般人来说是指人效法天地,"合一"表示一种趋势,在数学语境下可表达为■。     

论数学真理的相对独立性

要唯物而辩证地认识数学的本质,不仅要了解它与实际紧密联系的一面,即数学真理的客观性的一面,而且也必须看到它对于客观世界的相对独立性的一面。下面,我们来对这个问题作一些初步的分析。数学的这个特征已在最简单的数的概念中体现出来了。自然数的概念是反映集合的性质的,但在理论算术中,它被看成是满足某些性质(公理)的任意集合的元素,而这个集合的具体内容在自然数的定义中     

数学哲学中的直觉主义观点

上世纪末、本世纪初开始的比较自觉的数学哲学研究,主要是针对数学可靠性和严格性的根据这样一个问题。历史唯物论认为数学来源于人类的实践活动;但是作为一个眼前的对象,数学首先呈现为逻辑与直觉的一个综合体。例如欧几里得的《原本》,很明显,公理、