一道数学考研题的若干解法

正证明积分不等式是高等数学中一类常见的问题,在近代分析数学中起着极其重要的作用.证明不等式可以采用利用变限积分、微分中值定理、积分中值定理及重要不等式等多种方法,但具体的问题仍需具体分析[1].本文给出了2005年哈尔滨工业大学理学院数学系硕士研究生入学考试试题,并结合相关知识给出了7种解法.     

一个积分不等式的证明

运用初等方法给出了一个积分不等式的证明.     

利用定积分的几何意义证明不等式

利用定积分的几何意义,结合函数的单调性和定积分的计算,给出了某些不等式的证明.     

泰勒公式的简单应用

泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,它被广泛地应用于一些重要问题的计算与证明.本文主要介绍了泰勒公式在极限运算,中值问题,不等式,近似计算,广义积分,级数及高阶导数等方面的应用。     

非负函数积分均值的一个不等式性质

利用Hlder不等式证明有界闭区间上非负连续函数积分均值的一个不等式性质,将其推广到与函数整数次幂的积分有关的序列的单调性,并证明该序列的极限即为函数在积分区间上的最大值.     

关于一类新型控制型积分不等式及其应用

利用文[1]的主要结果，获得了一类新型的控制型积分不等式，作为它的应用，可以导出一些有趣的积分不等式。     

关于一个积分不等式的多种证明

利用积分中值定理、积分第一中值定理、积分第二中值定理等给出了积分不等式■(其中:函数f(x)在[a,b]上连续且单调增加)的多种证明方法.     

常用不等式

本校数学系副教授匡继昌编著的《常用不等式》一书已于1989年6月由湖南教育出版社出版。该书共分十章,即:基本不等式;初等不等式;特殊函数不等式;复数和解析不等式;行列式、矩阵不等式;序列和级数不等式;微分不等式;积分不等式;若干常用算子不等式;概率统计不等式等。书后还附有“不等式的常用证明方法30种”,“21个未解决的     

一个具有最佳常数因子的Hilbert型积分不等式

通过应用权函数的方法，建立一个新的Hilbert型积分不等式，并证明其常数因子为最佳值．作为应用，建立了等价形．     

凸函数在不等式证明中的应用

给出了Jensen不等式的一个简单易懂的证明.应用凸函数定义及性质证明了一些应用一般方法证明较难的不等式,为不等式的证明提供了简便的途径.     

有限和式的积分放缩及应用

本文给出有限和式sum from k=1 to nf(k)的积分放缩的若干结论,并讨论其在求极限、证明不等式和无穷级数收敛性等问题中的应用。     

一个新的有最佳常数因子的Hilbert 不等式

应用权系数方法,给出一个新的带有最佳常数的Hilbert 型积分不等式,并且给出它的等价形式,同时给出一些应用.     

构造函数法在高等数学中的应用

介绍了构造函数法在数学研究中的作用和地位,并通过实例研究分析了构造函数法在方程根的存在性和唯一性、不等式的证明、中间值的存在性以及定积分的计算等问题中的应用。     

一个新的有最佳常数因子的Hilbert不等式

应用权系数方法,给出一个新的带有最佳常数的Hilbert型积分不等式,并且给出它的等价形式,同时给出一些应用.     

关于格林算子和同伦算子的复合算子的双权Ponincaré范数不等式(英文)

基于格林算子的Lp有界性和微分形式的嵌入不等式,证明有界域Ω上关于格林算子和同伦算子的复合算子的Poincaré不等式;通过令u=d*v,得到作用于共轭A-调和张量的复合算子TG的Poincaré-型范数估计。借助于Hlder不等式和Ar(λ,Ω)-权性质的巧妙结合,给出Ar(λ,Ω)-双权的Poincaré-型积分不等式。     

信息论中几个重要不等式关系的讨论

信息论中许多不等式结论的证明都是利用对数不等式、对数和不等式、Jensen不等式、熵极值不等式进行证明的,对4个不等式的关系进行了讨论,并进行了严格的证明.     

Ostrowski不等式的推广

Ostrowski证明了后来被人们称为Ostrowski不等式的一个关于积分的重要的不等式.其后,许多作者对该不等式在被积函数的条件以及不等式对于某些特殊平均的误差估计的应用等方面进行了研究和推广.利用H lder积分不等式,建立了函数导数属于Lp空间的两个新的Os-trowski型不等式.结果推广了文[1]给出的不等式(2).     

下方图形

下方图形这一概念是为了说明非负函数可测的几何意义而引进的。它在证明某些积分定理中发挥了很大的功效。本文归纳、推导了下方图形的一些基本性质,并探讨它在证明一些积分定理上的应用。     

局部对称拟常曲率黎曼流形的紧致伪脐子流形

讨论局部对称拟常曲率黎曼流形中的紧致伪脐子流形,得到了这种子流形的一个．Simons-型积分不等式（定理1）和Yau-型积分不等式（定理2）．     

一类积分微分方程Robin边值问题的奇异摄动

本文研究奇摄动积分微分方程的Robin边值问题其中T是定义在C[0,1]上的一个积分算子。文中用微分不等式方法证明了解的存在性，构造出解的渐近展式并给出了余项的一致有效估计：最后把所得结果用于研究奇摄动四阶边值问题。