3N＋1猜想中的通常迭代与伸长迭代

讨论了通常适代与伸长适代的异同，得到了以下2个结果：①同高连续数对在2种迭代下的不变性；②数对n和n 2^κ的轨迹序列和奇偶矢量之间的关系可使自然数的研究转化为对其奇偶矢量的研究。     

3N+1猜想中的通常迭代与伸长迭代

讨论了通常迭代与伸长迭代的异同,得到了以下2个结果①同高连续数对在2种迭代下的不变性;②数对n和n+2k的轨迹序列和奇偶矢量之间的关系可使自然数的研究转化为对其奇偶矢量的研究.     

3 N+1猜想中的伸长迭代

提出了伸长迭代的概念;给出了该迭代下的某些结果,其中包括：a.关于数集与奇偶矢量集的对应问题;b．关于l-tuple的不变性;c．n的项公式的证明;d．关于3N＋1猜想的等价命题;e．关于系数停止次数tc(n）的性质等。     

Collatz猜想中通常迭代下数集与奇偶矢量集间的一一映射

讨论了自然数与奇偶矢量间的关系，证明了数集Mk={1,2,3,…，2^k}与长为k的子奇偶矢量vk={x0,x1,x2,…xk-1}的集合间存在一一映射，并由此得到：设V表示所有奇偶矢量v={x0,x1,x2,…}的集合，则映射σ：N→V是一一映射。     

同高连续数对的无限性

指出Collatz猜想中，某此连续的整数串具有相同的高，专门研究了同高连续数对，提出了它是通过利用一个算法从数的奇偶矢量重建数的轨迹来实现的。研究发现：同高连续数对在自然数中有无限多对，这上以前研究Collatz猜想未注意到的。     

3N+1猜想与3N+3k猜想的等价性及相关性质

将数论中3N＋1猜想推广为3N＋3^k猜想．得到了3N＋1猜想与3N＋3^k猜想的等价性．得到有关3N＋3猜想的一些性质．3N＋1猜想的推广、3N＋3猜想的一些性质的建立对于研究4K＋3型奇数在3N＋3猜想压缩迭代中起到简化作用,同时也为3N＋1猜想的研究提供了新思路．     

3N+1猜想的压缩迭代及ta(n)与 tc(n)的关系

提出了3N 1猜想的压缩迭代，给出了该迭代下的某些结果，这些结果是：关于3N 1猜想的3个等价命题；叙拉古阶序列；n的项公式及证明；关于系数停止次数tc(n)与足够停止次数ta(n)相等的两个定理，3N 1猜想的压缩迭代的提出对该问题进一步研究将发挥重要作用。     

3x+ 1 猜想的等价集

本文定义了３ｘ＋１猜想的等价集,并给出３ｘ＋１猜想的一个等价命题,构造出渐近密度可以任意小的３ｘ＋１猜想等价集。     

关于“3x＋1”问题的研究

本文分析了“３ｘ＋１”问题中存在的结构，进而指出了除ｘ＝１之外，“３ｘ＋１”问题不存在循环。     

3N+1猜想中周期数的研究

给出了关于3N 1猜想中周期数存在的一个必要条件：S^l(mxi)=nxi,并在此基础上推广为S^l(σbxi=n^b 1xi,且给出周期数x1的具体表达式x1=r1／(1-3^l／2^k)。证明了圈长为2和3的周期数不存在。     

3N+1猜想中tc(n)与ta(n)的相等性

讨论了3N 1猜想中n的系数停止次数tc(n)和足够停止次数tc(n)的相等性。证明了当d=∑i=1^k=1xi(n)不是很大时tc(n)和ta(n)是相等的。由此有理由猜想，当d不满足界定条件时，也有tc(n)=ta(n)。     

3N+1猜想的投资学模型

3N+1猜想是有着70多年历史的数学问题,已入选“10000个科学难题”(数学卷).3N+1猜想的描述非常简单:对任意自然数n,若n为偶数,则除以2;若n为奇数,则乘3加1,经反复迭代最终总得到1.将给定自然数n看作第O期的初始资本,而将第t次迭代的结果看作第t期末的资本,从而建立3 N+1函数迭代过程中函数值变化的投资模型.从投资学的角度看,3N+1猜想的本质在于3N+1函数迭代过程中长期资本是否相对于初始资本n衰减,而其根本困难在于确定3 N+1函数迭代过程中取值为奇数的概率.在研究3N+1函数迭代过程的动态行为的基础上,进一步运用投资模型证明3N+1猜想成立的必要条件为3N+1函数迭代轨迹中奇数的概率小于ln2/ln3,此条件在一定程度上也是充分的.该投资模型也适用于3N+1猜想的各种推广.     

3N+1猜想中同汇性研究和超级压缩迭代

给出了关于3N 1猜想中的同汇概念,建立了相关的几个定义及定理,这些定理的建立在对研究奇数2a 1(a∈Nd)的压缩迭代时可以转化为研究奇数a的首席叙拉古阶,从而在研究这一类奇数的压缩迭代时起到简化作用．另外对3a(a∈Nd)型奇数,构造出与3a同汇的无穷数列．并给出超级压缩迭代概念及超级压缩迭代下的x的项公式。     

Collatz问题中同高连续数所占比例的变化趋势

本文对Collatz问题中同高连续数的密度分布和长度进行了研究,精确地计算出了区间[1,2~(24))内属于同高连续数的整数个数.研究发现,区间[1,2~N)内同高连续数的密度随N的增大而增大;纠正了Garner的推断和预测;找出了[1,2~(30))内最长的同高连续数;并提出了两个猜想.     

关于否定“3n＋1”猜想的一个证明

按照“3n＋l”法则,利用“4m＋3”迭代,提出了一个构建一个无限单调增值序列的方法,从而否定了“3n＋1”猜想。