关于幂和问题的进一步研究

设n与k都是正整数,令S_k(n)=sum from m=1 to n m~k。由于组合数学的发展,近代数学家们对寻求S_k(n)的解析表达式这个有趣的问题又进行了大量的研究,并在他们的文章中提出或用不同的方法来处理这个问题,他们给出了最高次数为13的幂和公式,证明了S_k(n)是n的k 1次有理多项式。我们在文献[3,4]中也用了不同的方法来解决这个问题,给出了最高次数为     

关于等幂和问题

自然数前n项幂的和(以下简称“幂和”)是一个古老的问题,数学史上有许多记载,见Heinrich Drrie., 100 Great Problems of Elementary Mathematics—Their History and Solution.由于组合数学的发展,这个问题仍吸引着不少数学家的兴趣。例如:J. Bicrdan, J. L. Paul, S. L. Gupta, M. J. A. Sharkey, H. W. Gould, B. Turnet, H. J. Schultz, S.H. Scott等人利用组合数学的方法,求出了幂指数从1到13的幂和公式,但是这些公式较复杂不易计     

异工同曲--关于"算术平均"的三则小故事

提起平均的概念,大家并不陌生.数学中经常遇到各种平均,比如:若a,b是两个正数,有 算术平均:A=(a+b)/2,几何平均:G= ab,调和平均:H=2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b),力权平均:pa+qb,(p,q≥0,且p+q=1),幂平均:[(ar+b)/2]1/r,(r＞0),等等,当然上面的平均还可以推广到n个非负实数的情形.     

关于Chowla的一个猜想的注记

在1978年的国际数学家大会上,R.Ap(?)ry给出了ζ(3)sum from n=1 to ∞1/n~3是无理数的证明.为此,R.Ap(?)ry 定义了一个迭代数列a_n:a_n=1,a_1=5,n~3a_n-(34n~3-51n~2+27n-5)a(n-1)+(n-1)~3a_n-2=0,它满足a_n=sum k=0 to n (n/k)~2 (n+k/k)~2.这以后,很多人对Ap(?)ry 数a_n 进行了研究,并提出了一些猜想.姚琦证明了Chowla提出的关于a_n 的一个猜想:对一切素数p≥5,有a_p=5(modp~3).本文则证明了定理对于正整数l 及素数p≥5,有     

探究天体运行的数学法则:从牛顿到废加莱

在1900年国际数学家大会上,大数学家希尔伯特在他著名的演讲[1]中提出了23个困难的数学问题,这些问题在20世纪的数学发展中起了非常重要的作用.在同一演讲中,希尔伯特也提出了他所认为的完美数学问题的准则:问题要能被简明清晰地表达出来,而问题的解决又必须要有全新的思想方法才能够实现.为了说明他的观点,希尔伯特举了两个最典型的例子:第一个是费马大定理,即代数方程xn+y2=zn在n＞2时没有正整数解;第二个就是这篇文章所要介绍的N体问题及其特例——三体问题.     

关于Aurifeuillian分解的一个问题

设b>1是一个整数.对于某些b~n±1形式的数,Aurifeuille发现了特别的分解方法,称为Aurifeuillian分解.设p是奇素数,ξ=ξ_p表示p次本原单位根exp(2πi/p),(/)表示Jacobi符号.当p≡1(mod 4),N=(p~p-1)/(p-1)=p~(p-1)+p~(p-2)+…+p+1时,文献[2]给出了同余方程X~2≡p(mod N)的4个不同解±p~(p+1)/2,±sum from c=1to(p-1)(c/p)p~c.     

神奇的螺旋线

螺旋线螺旋线,顾名思义是一种貌似螺壳的曲线。在两千多年以前的古希腊的数学家阿基米德,就对螺旋线进行了研究。瑞士数学家雅谷·伯努利(1654—1705)对对数螺旋线进行了研究。17世纪解析几何的创立者笛卡儿首先绘出了螺旋线的解析式。更有趣的雅谷·伯努利在逝世前请人在他的墓     

数学家在他的"非典"时期

几乎所有灾难的发生都是由于我们没有老老实实地待在自己的屋子里. --帕斯卡 20世纪最伟大的数学成就被认为是"费马大定理"的证明,任何一个知道毕达哥拉斯定理的人都能理解这个定理的含义,简而言之,如同费马(P.de Fermat)本人所表述的,"不可能将一个高于二次的幂写成两个同次幂之和."费马如今被誉为"业余数学家之王".     

关于Diophantus方程a~x+b~z=c~z(Ⅱ)

Diophantus方程a~x+b~y=c~z(a,b,c是不同素数)可化为如下的两个Diophantus方程 p~x-q~y=2~z,p,q是不同的奇素数,(1) p~x+q~y=2~z,P,q是不同的奇素数。(2)在文献[1]中,我们给出了(2)式在max(p,q)<100时的全部非负整数解。本文将给     

一个Simons型Pinching常数的最佳值

设S~(n+p)(1)是n+p维单位球面,M~n为其具有非零平行平均曲率向量的紧致子流形,S为M~n的第二基本形式长度的平方.丘成桐曾证明,若(3+n~(1/2)-(p-1)~(-1))S≤n,则M~n为S~(n+p)(1)的一个n+1维全测地子流形的超曲面.莫小欢改进到若S≤n/((n-1)~(1/2)+1),则M~n是全脐的.许洪伟接着证明,如果S≤min{2n/(1+n~(1/2)),n/(2-(p-1)~(-1)},则M~n包含在一个全测地子流形S~(n+1)(1)之中.他也削弱了前二者的条件.     

彭加勒的数学哲学思想

昂利·彭加勒(Henri Poinaré,1854—1912)是一位“无比伦比的数学家、敏锐的物理学家和思想深刻的哲学家”(G.达布的评价)。M.克莱因在谈到这位法国科学家的数学成就和影响时说:“彭加勒被认为是19世纪最后1/4和本世纪初期的领袖数学家,并且是对数学和它的应用具有全面知识的最后一个人”。的确,彭加勒在函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分方程、非欧几何、渐近级数、概率论等数学分支都有开创性的贡献,当代数学的不少领域都溯源于他。不仅如此,他对数学基础和数学哲学问题也兴味盎然,发表了许多富有启发性的见解,本文拟对此作一简要评介。     

现代概率论的奠基人——柯尔莫戈洛夫

柯尔莫戈洛夫(1903～1987)是一位杰出的数学家、教育家。他对数学领域的许多学科,特别是现代概率论的发展作出了重大贡献。在60多年的教师生涯中,培养了一大批优秀人才,功勋卓著。     

当今数学界最重要的问题是什么?

很多数学家都会说,他们正在致力于解决的课题是当今最重要的数学问题。但在这些尚未解决的问题中,有一个却显得卓尔不群,那就是著名的黎曼猜想。黎曼猜想自1859年由德国数学家弗里德里克·黎曼(FriedrichB.Riemann )提出以来,一直困惑着数学家。最近,随着数学家们开始以物理学的观点来思考这个问题,证明黎曼猜想的努力达到了新的高潮。黎曼猜想是黎曼在数论领域(数论是研究整数的数学分支)的唯一涉足。它阐述了一些关于素数的深刻理论。像2 ,3 ,5和7那样除了1和它本身以外再没有别的因子的数,似乎在数轴上毫无规律地出现。欧几里德证明了…     

数学天才的人文黑洞

娜萨(S.Nasar)女士写的<美丽心灵--一位诺贝尔奖得主生命中的天才、精神分裂症以及他的康复>这本书,主题应该说是非常严肃的:数学和数学家.但是,在歌颂数学天才的时候也泄露了人文黑洞,叫人遗憾.     

系统Z+∑_n-公式的替换公理模式的协调性结果

集合论公理系统的分层在数学基础研究中占有很重要的位置。在这方面,Quine、王浩和张锦文做了大量的工作。 Lévy对ZF公式进行了分层(Lévy分层)。设φ是一ZF公式,φ是∑_0(∏_0)公式当且仅当它是一受囿公式。一般地,一个ZF公式φ是∑_(n+1)(∏_(n+1))公式当且仅当它形如xψ     

辛勤耕耘五十载——记数学家程民德教授

今年是中国科学院学部委员、北京大学教授程民德先生的75岁寿辰,也是他投身数学事业50周年纪念。50年来,作为数学家与应用数学家,他在我国开拓了多元调和分析与多元三角逼近的研究方向,促进了我国模式识别与图像处理研究工作的开展;作为数学教育家,他桃李满天下,其中许多已是国际知名的学者,作为我国著名数学研究机构和多个数学学术团体的领导者,他为我国现代数学事业的发展作出了杰出的贡献。我们作为他的学生,谨以此文向他表示衷心的祝贺。     

现代分析学家哈代

现代分析学家戈弗雷·哈罗德·哈代(God-frey Harold Hardy),1877年2月7日生于英国的克兰莱夫(Cranleigh)小城,1947年12月1日卒于英国的剑桥.他是现代数学史上的著名数学家.他卓越、丰富的数学成果,和他诚挚待人、提携扶助青年英才的高尚精神,值得后世传颂.     

EV模型中参数M估计的渐近正态性

其中X为取值于R~P上的可观测随机向量,X为p维不可观测随机向量β_0为p×1未知参数向量,(ε,u~r)~r为p+1维球对称误差向量,即(ε,u~r)~r(?)RU_(p+1)(其中,R为非负随机变量,U_(p+1)为Ω_p={a:a∈R~(p+1),||a||=1}.上的均匀随机向量,R与U_(p+1)独立),σ~2=ER~2/p+1>0未知,且(ε,u~r)~r与x独立.模型(1)为线性EV(Error-in-Variables)模型,有着广泛的应用背景,如在经济、林业、建筑、生物、遥感等领域,见文献[1～5],目前对模型(1)的研究,主要是利用极大似然     

魏尔对物理学的贡献

魏尔是著名的数学家和物理学家,在他那一个时代里,他始终站在数学和物理学发展的前沿,并作出了重要贡献.本文是杨振宁教授于1985年在纪念魏尔诞生100周年大会上的演讲,作者将原稿交李炳安转本刊发表.     

ARCH(p)模型的严平稳遍历性和高阶矩

其中α_o>0,α_i≥0,i=1,2,…,p,{ε_t}是i.j.d随机序列,Eε_t=0,Eε_t~2=1.称模型(1)为ARCH(p)(Autoregressive conditional heteroscedasticity)模型.它由Engle首先引入并被广泛地用于计量经济建设,如通货膨胀率、兑换率、利率和股票价值(应用文献见J.of Econometrics,52(1992),1～311及其所引文献).但关于模型(1)的严平稳遍历性和高阶矩存在的条件,至今尚无满意的结果,而这些条件是时间序列统计推断的基础.Nelson对ARCH(1)给出了严平稳遍历的充要条件,他的结果无法推广到ARCH(p)的情形.Bougeral和Picard给出了ARCH(p)存在严平稳遍历解的充要条件,但他们在同一篇文章中又指出这一条件的验证是非