关于H．W．Hethcote的一个猜想

H．W．Hethcote对SβSIEp(t)Iq(t)S型的不具免疫功能的传染病模型提出了猜想：当非零平衡态存在时，该平衡态是局部渐近稳定的。本文证明：在参数σ－α的平面内，其中：α＝β∫0^∞p(t)dt,σ=β∫0^∞q(t)dt的平面内除去区城U＝｛（σ，α），α＞σ，α＋1＞（σ－1）^2｝，猜想正确。     

关于Hethcote的一个猜想（Ⅲ）

讨论传染病以不具免疫功能的传染病模型特殊形式的机械在封闭种群中流行的数学模型，指出该模型的非零平衡态的特征方程对某些特定的函数ｑ（ｔ）和参数ω可以具有纯虚数特征根，且这个纯虚根是单根。     

关于Hethcote的一个猜想(Ⅲ)模型SβSIEωq(t)S的特征方程

讨论传染病以　机制在封闭种群中流行的数学模型，指出该模型的非零平衡态的特征方程对某些特定的函数ｑ（ｔ）和参数ω可以具有纯虚数特征根，且这个纯虚根是单根．     

关于Tijdeman猜想（I）

设p≡5（mod6)是素数，D是无平方因子且不被p和6k 1形素数整除的正整数，运用初等数论方法，获得了丢番图方程x^3 y^3=pDz^2在D＝1，2，3，6时全部整数解的通解公式及其解的深刻性质，从而推进了广义Fermat猜想与Tijdeman猜想的研究进展。     

关于H.Silverman猜想的反例

H. Silverman考虑了Szego定理的一般情形,提出下列猜想:设 f(z)是单位圆U={|z|<1}内的解析、单叶凸函数,{a■是f(z)在z=0的Talor展式的系数序列,a_0=0,a_1=1,若{a_■=0是{a_n}的任一子序列(有限或无限),则由{a_(nj)}■所组成的Talor展式在{|z|<1/4}内为凸像,在{1=1<1/2}内为星像。本文指出该猜想不成立。     

关于Tijdeman猜想(Ⅱ)

1989年Tijdeman猜想设a,b,c是互素的正整数,m,n,r是大于1的正整数,则方程ax m+by n=cz r在1/m+1/n+1/r<1时仅有有限多组整数解;本文利用数论方法及Fermat无穷递降法,证明了丢番图方程x 8+my 4=z 2在m=±p,±2p,±4p,±8p及素数p满足一定条件下无正整数解,完善了Mordell等人的结果;并且获得了方程x 4-2py 4=z 2和x 4+8py 4=z 2的无穷多组正整数解的通解公式,从而获得了Tijdeman猜想与广义Fermat猜想的研究进展.     

关于Lucas猜想的一个注记

若p为奇素数,且p≠1(mod8)时,本文给出了丢番图方程x(x 1)(2x 1)=2p^ky^2n的所有正整数解,并给出了Lucas猜想的一个简单证明。     

关于Je''''smanowicz猜想的一个注记

本文用初等方法证明了如下结论：设ｓ＝３ｎ，ｎ≡１、３、５（ｍｏｆ８），ｔ≡２（ｍｏｄ４），且ｓ、ｔ均不含有４ｋ＋１形素因子，则Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ方程（其中ｓ＞ｔ＞０，（ｓ，ｔ）＝１，ｓ＋ｔ≡１（ｍｏｄ２））在ｙ＞１时仅有正整数解ｘ＝ｙ＝ｚ＝２。     

关于Je'smanowicz猜想的一个注记

本文用初等方法证明了如下结论;设s=3n,n≡1、3、5(mod8),t≡2(mod4),且 s、t均不含有4K 1形素因子,刚Diophantus方程 (s~2-t~2)~x (2st)~y=(s~2 t~2)~z (1)(其中s>t>0,(s,t)=1,s t≡l(mod2)在y>1时,仅有正整数解x=y=z=2。     

关于Je‘smanowica猜想的一个注记

本文用初等方法证明了如下结论：设ｓ＝３ｎ，ｎ≡１、３、５（ｍｏｄ８），ｔ≡２（ｍｏｄ４），且ｓ、ｔ均不含有４ｋ＋１形素因子，则Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ方程（ｓ＾２－ｔ＾２）＋（２ｓｔ）＾ｙ＝（ｓ＾２＋ｔ＾２）＾２（其中ｓ〉ｔ〉０，（ｓ，ｔ）＝１，ｓ＋ｔ≡１（ｍｏｄ２））在ｙ〉１时仅有正整数解ｘ＝ｙ＝ｚ＝２。     

关于素数的一个猜想

对于正整数n，设pn是第n个素数。本文证明了：不等式（√pn-logpn＋1）/（√pn＋1＋logpn）≥（√3-log5）/（√5-log3）对于任何正整数n都成立。     

关于Yorke的一个猜想

本文证明了由Ｙｏｒｋｅ等人提出的猜想是成立的。同时本文给出反例，说明ＪｕＲａｎｇ Ｙａｎ关于同一问题所给的证明是错误的。     

关于阶乘的Simmons猜想

设p是奇素数,证明了当p>3时,方程x!=yp+1-y没有正整数解(x,y).     

关于优美指数的一个猜想

证明了64不是优美指数．这一结果否定了有关优美指数的一个猜想．     

关于Minkowski猜想的一个结果

本文证明了Minkowski猜想对于n阶有理数矩阵是成立的。     

关于Fibonacci多边形的一个猜想

Filronacci数有许多美妙的性质，与Fibonacci数有关的一些问题也往往引人入胜[1][2][3]．本文书给出Fibonacci多边形的定义，并在此定义下证明Fibonacci多边形的一种特殊性质，最后提出关于Fibonacci多边形的一个猜想以及与其有关的若干问题。     

关于Moore的一个猜想

就整数ａ、ｂ的一般取值全面讨论了Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ多项式序列Ｆ０（ｘ）＝ａ，Ｆ１（ｘ）＝ｘ＋ｂ，Ｆｎ（ｘ）＝ｘＦｎ－１（ｘ）＋Ｆｎ－２（ｘ）（ｎ≥２）的最大实根的渐近性质，否定了Ｇ．Ａ．Ｍｏｏｒｅ关于一般Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ多项式序列的最大实根的渐近性质仅依赖于迭代关系Ｆｎ（ｘ）＝ｘＦｎ－１（ｘ）＋Ｆｎ－２（ｘ）而与初始条件Ｆ０（ｘ）、Ｆ１（ｘ）无关的猜想．     

关于传染病模型中的非线性积分方程的非负周期解

在本文中,我们用计算不动点指数的方法来研究发生在传染病流行模型中的一个非线性积分方程x(t)=integral from t-τ(t) to t f(s,x(s))ds的正周期解,文中所提供的方法,除了能更简便地得到最近文献[1],[2],[3]中的大部分存在性结果外,还得到了许多上述文献中没有的存在性和多解结果,其中特别得到了一个三解定理。