共轭置换子群与有限群的可解性

 利用共轭置换子群的概念来研究有限群的可解性问题,获得了一个群为可解群的若干新刻画.特别,得到了:① 若M<·G,且M的极大子群均在G中共轭置换,则G可解;② 设群G无截断PSL2(7),M<·G,且|G:M|=pα,若M的2-极大子群均在G中共轭置换,则G可解.     

与极小非超可解群有关的群的不可约表示

本文讨论有限群在特征为0的代数闭域K上的表示。群G的表示φ称为单项表示,如果φ是G的某个子群的一次表示的诱导表示。如果G的每一个不可约表示都是单项表示,则称G是M一群。本文在§1用指标方法证明了有关群G的不可约表示由子群的不可约表示所诱导的两个定理。然后在§2证明了:极小非超可解群是M-群;可解外超可解群是M-群;若群G是abel正规子群与极小非超可解群的半直积,则G是M-群。     

有限群可解的若干充分条件

证明了有限可解群的若干性质:若有限群G的非正规非交换极大子群皆共轭,则G是可解群;若有限群G中非正规子群的共轭类个数不超过极大子群的共轭类个数,则G是可解群;设G是有限群,若G的非幂零极大子群的指数为素数或素数的平方,则G是可解群.     

超可解群的两个充分条件

设G是一个可解群,如果F（G）的每一个Sylow子群的极大子群均在G中条件置换,则G为超可解群;设G是一个可解群,H是G的一个正规子群,使得G／H为超可解群,如果F（H）的每一个Sylow子群的极大子群均在G中完全条件置换,则G为超可解群．     

关于极小子群的中心化子

子群的中心化子对群的结构有很强的控制作用。称有限群G为PNC群，如果G的每个极小子群X均满足CG（X）＝NG（X）。首先证明了PNC群是介于幂零群与2－闭群之间的一类可解群。其次，考虑极小子群的中心化子与群的可解性的关系，给出了群可解性的若干充分条件。     

极大子群指数为素数幂有限群

讨论了含指数为素数幂的可解、超可解或者幂零的极大子群的有限群的结构.得到了这类群为可解群或超可解群的一些充分条件;设M是G的一个幂零极大子群,如果｜G∶M｜=p^a（p素数）,那么G为可解群.     

次正规嵌入子群与有限群的p-超可解性

设H是群G的p-可解正规子群使得G/H为p-超可解.1)若H的Sylowp-子群P的极大子群皆在G中次正规嵌入,则G是p-超可解群;2)若F_p(H)包含O_(p′)(H)的极大子群都在G中次正规嵌入,则G是p-超可解群.     

超可解群的一些充分条件

主要讨论了群G的Sylow子群及其他子群的弱拟正规性对群的影响,从而得到原群G超可解的几个充分条件的定理:1)群G有指数为素数的可解正规子群H,若H的每个Sylow子群的极大子群在G中弱拟正规,则G超可解;2)群G有指数为素数的正规子群H,若H的Sylow子群及Sylow子群的2-极大子群皆在G内弱拟正规,则G超可解;3)设G=AB,A超可解,B是P-群,p=max π(G),若B与A的极大子群可交换且A弱拟正规于G,则G超可解;4)M为G的幂零极大子群,若M及其极大子群皆在G中弱拟正规,则G超可解.     

■-可补子群对有限群结构的影响

利用■-可补子群研究p-超可解群,得到了两个主要结果:1)令G是p-可解的且p G,则G是p-超可解的当且仅当Fp(G)中包含Op′(G)的所有极大子群在G中■-可补,这里■是所有p-超可解群组成的群类;2)令G是p-可解的且p G,则G是p-超可解的当且仅当Fp(G)的非循环Sylowp-子群的极大子群在G中■-可补,这里■是包含所有p-超可解群组成的群类.     

有限群的Fitting子群对群结构的影响

通过讨论有限群的Fitting子群的极小子群的π－拟正规性,利用有限群的正规群列及多种有限论的方法和技巧,得到了一个有限的可解群成为超可解的充分条件。即：设G是一个有限可解群,H为G的正规子群,若Fitting（H）的每一极小子群的H阶循环子群在G中的π－拟正规,则G是超可解群。群G的子群H称为π－拟正规的,如果它与G的每一Sylow子群可交换。此结果是Buckley定理及多个相关结论的推广。     

关于有限群的F_(sn)-子群

设F是一个群类.如果群G中存在一个正规子群T,使得HTG且(H∩T)HG/HG≤ZF∞(G/HG),则G的子群H称为G的Fsn-子群.利用Fsn-子群的概念得到Fsn-子群的性质以及可解群的一些新的判别准则,并对以前的结果进行推广.主要结论有:①设N是群G的非单位的正规子群,则N是可解群当且仅当G的每个不包含N的极大子群是G的Ssn-子群;②群G是可解群当且仅当G的每一个2-极大子群都是G的Ssn-子群;③设G是一个群,p是|G|的最小素因子,P是G的某个Sylowp-子群,则G是可解群当且仅当P的每个极大子群是G的Ssn-子群;④设G是一个群,p是|G|的最小素因子,P是G的某个Sylowp-子群.若G是A4-自由群且P的每个2-极大子群(如果存在)是G的Ssn-子群,则G是可解群.     

次正规子群与有限群的p-超可解性

设群G有p-可解正规子群H且满足G/H为p-超可解群。证明:1)若H的Sylow p-子群P的极大子群在G中次正规,则G是p-超可解;2)若Op′(H)的极大子群包含于F_p(H)中且在G中次正规,则G是p-超可解群。     

关于有限可解群的非零元素

设G是一个有限可解群.若使G的所有不可约特征标都取非零值,则称G中的元素g为G的非零元素.利用非零元的生成群及置换群等方法,证明了若G是幂零群被超可解群的扩张,则这个猜想对G成立.并且将这一结果与已知的群论结果结合,证明了可解群G若有一个特征标刚好在一个共轭类上取零,则猜想成立;及一些相关结论.同时还对这个猜想的极小反例的结构进行了描述.     

关于Frobenius群的注记

本文首先利用群在其不可约特征标集合以及共轭类集合上的作用之间的关系,证明了Frobenius群的一个特征标刻画;然后使用一类特殊的Frobenius群的结构,以及正规子群的特征标理论,证明了2个结论:(1)若可解群G的每个χ∈Irr_m(G)都是拟本原特征标,则G是交换群;(2)设G是M-群,G的导列长为l,则G是关于G~(l-1)的相对M-群。     

有限群的Fitting子群对群结构的影响

通过讨论有限群的Fitting子群的极小子群的π-拟正规性,利用有限群的正规群列及多种有限群论的方法和技巧,得到了一个有限的可解群成为超可解的充分条件.即设G是一个有限可解群,H为G的正规子群.若Fitting(H)的每一极小子群和H阶循环子群在G中π-拟正规,则G是超可解群.群G的子群H称为π-拟正规的,如果它与G的每一Sylow子群可交换.此结果是Buckley定理及多个相关结论的推广.     

共轭置换子群与有限群的可解性

利用共轭置换子群的概念来研究有限群的可解性问题,获得了一个群为可解群的若干新刻画.特别,得到了:①若M<·G,且M的极大子群均在G中共轭置换,则G可解;②设群G无截断PSL2(7),M<·G,且| G:M|=pa,若M的2-极大子群均在G中共轭置换,则G可解.     

有限群为超可解群的一个充要条件

本文证明了有限群为超可解群的一个充要条件,结果是:有限群G为超可解群当且仅当G有一个正规π-Hall子群N,且满足 (1)N是幂零群,G/N超可解, (2)存在素数P|N|,以及G的超可解子群K,使得[G:K]=p     

有限可解群的新刻画

在文献[3]的基础上,给出有限群极大子群的CI-截的3个性质,并得到有限群可解的3种新刻画:设G是有限群,如果G在Fs(G)中的极大子群的CI-截同构,则G可解;若p是|G|的一个素因子,对于群G的极大子群M∈Fps(G),M的CI-截的阶都是qarb,则G可解,其中q, r是两个不同于p的固定素数;设H是群G的S-拟正规子群,如果对于G的每个极大子群M,满足HM时,M的CI-截幂零,则H可解.     

X-可换子群与有限群的超可解性

利用X-可换子群的概念,得到了有限群超可解的2个充分条件:(1)设G是可解群,X是G的子集且包含G的极小子群和极大子群。如果G的每个极大子群和G的sylow子群的每个极大子群在G中X-可换,那么G是超可解群;(2)设K■G,X是G的子集且包含G的p-子群。如果每个不包含K的G的极大子群在G中X-可换,那么K是超可解群。     

弱c-正规子群与有限群的可解性

讨论了弱c-正规子群的性质,并利用其性质给出了一个群可解的一些充分条件.(1) 设H为群G的子群,若H的每一个Sylow-子群在G中弱c-正规,且[J]=paqb,则G为可解群;(2) 设H为G的偶数阶可解Hall子群,若H在G中弱c-正规,则G为可解群.