非线性薛定谔方程的几种差分格式

在满足一定的初值、边值条件下,结合不同的差分格式对非线性薛定谔(NLS)方程进行数值求解.分别利用经典的向前差分算子、二阶中心差分算子、Crank-Nicolson方法和紧致差分算子构造向前Euler格式、Crank-Nicolson格式和紧致差分格式,并证明Crank-Nicolson格式和紧致差分格式精确保持离散质量守恒和能量守恒.利用数学软件MATLAB进行实验计算,结果表明:所构造的3种格式具有合理性及有效性.     

二维Crank-Nicholson差分格式及其稳定性

利用积分插值法,把二维Crank-Nicholson差分格式,由常系数推广到变系数情形.不仅导出了差分格式的截断误差,而且还应用能量估计法,详细论证了差分格式的绝对稳定性.该差分格式是一个精度高,稳定性好,便于应用的差分格式.     

李群在均匀正交网格下保持mKdV差分格式的不变性

利用李群方法研究了mKdV差分方程.得到了mKdV微分方程及差分格式的无穷小生成元的李代数.发现对称不仅保持mKdV微分方程的不变性,同时也保持了差分格式在均匀正交网格下的不变性.差分格式的保对称性有助于微分方程及其差分方程的定性研究.     

求解热传导方程的一族三层隐式差分格式

提出求解热传导方程的一族高精度三层九点隐式格式,格式的截断误差为O(τ2+h4).利用Fourier方法证明差分格式是绝对稳定的.并通过数值试验,比较差分格式的解和精确解,说明差分格式的有效性.     

对称正则长波方程的两层差分方法

提出对称正则长波方程的一种时间和空间均二阶精度的两层有限差分格式.利用离散能量法证明了差分格式的收敛性.通过数值实验,分析格式的守恒性,对比精确解和差分格式数值解,验证了该算法的可行性和有效性.     

求解一维变系数椭圆型方程边值问题的RBF-FD格式

利用径向基插值函数的Lagrange形式,给出在三等距节点的中心节点处逼近被插函数的有限差分公式及最佳参数值,然后针对一维变系数椭圆型方程建立一种具有四阶精度的RBF-FD差分格式.数值结果表明此差分格式明显优于二阶中心差分格式.     

二维变系数反应扩散方程的紧交替方向差分格式

研究二维抛物型方程的紧交替方向隐式差分格式.首先综合运用算子方法导出紧差分格式,并给出了差分格式截断误差的表达式;其次引进过渡层变量,给出了紧交替方向隐式差分格式算法;接着利用Fourier稳定性分析方法证明了差分格式的稳定性和收敛性,且收敛阶为O(T2+h4);最后给出了数值例子,数值结果和理论结果是吻合的.     

有限差分格式在偏微分方程初边值问题中的应用

利用Taylor级数推导了一元函数的差商公式,进而得到多元函数的偏差商公式,并构造出显式和隐式两种有限差分格式.根据不同的偏差商形式,把有限差分格式应用于偏微分方程的初边值问题中,通过不同差分格式的截断误差精度分析合理地选择出有效的差分方程.     

MEMS中一类非线性抛物型动力学方程的数值解

通过研究MEMS中薄膜偏转模型的数值解,观察电压大小变化对薄膜物理状态的影响.利用有限差分方法对模型中非线性抛物型动力学方程进行数值离散,建立了关于时间及空间精确度均为2阶的有限差分格式,并用能量不等式法证明了所给差分格式的收敛性及其无条件稳定性.最后数值试验表明,在本文差分格式下计算出来的电压数值解满足薄膜对应的物理状态,验证了所构造出的差分格式对于数值模拟的有效性.因此本文所建立的差分格式对于求解电压与失稳效应之间的关系问题是切实可行的.     

一类反常次扩散方程Neumann问题的有限差分格式及收敛性分析

利用一阶向前差商和空间二阶中心差商以及高阶线性多步法公式构造了反常次扩散方程Neumann问题的有限差分格式,借助Fourier分析方法对差分格式的稳定性进行了分析,并讨论了差分格式的误差和收敛性问题.     

欧式看跌期权定价问题的紧致有限差分格式

针对单个的Black-Scholes方程,提出一种紧致差分格式.首先,利用指数变换消去方程中的空间一阶导数;接着,在时间方向上采用CN格式,空间二阶导数采用四阶Padé逼近,构造精度为O(Δt~2+h~4)的紧致差分格式;然后,利用一种较为不同的离散能量法分析差分格式的稳定性和收敛性;最后,通过数值算例验证理论分析的有效性.     

三维泊松方程基于Richardson外推的高精度多重网格解法

基于三维泊松方程的四阶紧致差分格式,利用Richardson外推法、算子插值法和多重网格算法,使已有四阶紧致差分格式的计算精度整体提高二阶,精度达到六阶.数值实验验证六阶格式的精确性和多重网格方法的有效性,并与四阶紧致差分格式多重网格方法的计算结果进行比较.     

求解一阶线性双曲型偏微分方程组的一个差分格式

利用有限差分法,构造一个求解一阶线性双曲型偏微分方程组的高精度隐式差分格式.该格式的相容性和收敛性被证明.进一步,Fourier级数法分析表明该格式无条件稳定.另外,该隐式差分格式可以转化为显格式求解,较同类格式的计算量小.通过实例验证,该格式数值结果绘制的图形稳定、光滑、效果良好.     

二阶抛物方程的高精度差分格式

利用广义差分法构造二阶抛物方程的广义差分格式,讨论它的相容性、稳定性和收敛性．对经典差分格式、紧致差分格式、广义差分格式进行比较,并用数值例子验证理论结果     

两边空间-时间分数阶扩散方程的加权有限差分格式

对于空间-时间分数阶扩散方程的初边值问题提出了一种加权差分格式. 利用能量估计, 得到了差分格式的稳定性. 然后使用数学归纳法证明了在相同的条件下, 所提出的的格式是收敛的. 最后通过一个例子说明了所提出的格式是可靠的、有效的.     

一类高维非线性反应扩散方程有限差分格式的稳定性

 利用增量未知元方法,对一类高维非线性反应扩散方程,建立具有增量未知元的有限差分格式,并利用非线性Galerkin方法讨论该差分格式的稳定性。通过对该格式的稳定性分析,说明和古典差分格式的稳定性相比较,带有增量未知元的有限差分格式的稳定性得到了提高。     

Caputo分数阶反应-扩散方程的隐式差分逼近

分数阶微分方程在许多应用科学上比整数阶微分方程更能准确地模拟自然现象.本文考虑分数阶反应-扩散方程.将一阶的时间偏导数用Caputo分数阶导数替换,并给出了一个隐式的差分格式.利用能量方法给出此差分格式的稳定性与收敛性证明,最后用数值例子说明差分格式是有效的.     

连续型向上敲出巴黎期权定价隐式差分格式及其稳定性和收敛性分析

考虑连续型向上敲出巴黎期权定价问题.首先,针对该类型巴黎期权,给出一个时间1阶、空间2阶精度的隐式差分格式;其次,采用不等式放大方法和Fourier展开方法分别讨论差分格式的稳定性、可解性和收敛性;最后,利用差分格式分析连续型向上敲出巴黎期权的数值定价结果.     

求解广义Rosenau-Kawahara方程的一个守恒差分格式

对一类广义Rosenau-Kawahara方程的初边值问题进行数值研究,提出了一个两层非线性有限差分格式,合理模拟了问题的两个守恒性质,得到了差分解的先验估计和存在唯一性;利用能量方法分析了差分格式的二阶收敛性与无条件稳定性;最后,利用数值算例验证了差分格式的有效性.     

数值求解一维波动方程的四阶紧致差分方法

针对一维波动方程提出了一种有限差分方法.首先,采用泰勒级数展开公式和原方程代入的方法推导出了第一个时间层未知函数值的四阶紧致差分格式.然后,用四阶紧致差分公式近似空间导数项,采用中心差分格式截断误差余项修正的方法处理时间导数项,推导出了第二个时间层以后未知函数的四阶紧致差分格式.该方法时间和空间具有整体四阶精度.利用Fourier方法分析了所提格式的稳定性.由于本文格式在未知时间层仅涉及3个网格点,因此可采用追赶法求解离散化后所得到的线性方程组.最后,用数值算例验证了本文格式的精确性和稳定性.