关于Pell方程组x~2-8y~2=1与y~2-Dz~2=1的解

设D=2p_1…p_s(1≤s≤4),p_1,…,p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数.利用奇偶分析、同余的性质、Pell方程的解的性质和递归序列等方法讨论了Pell方程组x~2-8y~2=1与y~2-Dz~2=1的解的情况.     

关于Pell方程组x~2-20y~2=1和y~2-Dz~2=4的解

利用同余、递归序列、奇偶分析及分解因子等求解方法,研究了当D=2p_1……p_s(1≤s≤4),p_1,……,p_s是互异的奇素数时,Pell方程组x~2-20y~2=1和y~2-Dz~2=4仅有正整数解(x,y,z)=(2889,646,36)(此时D=2×7×23)。     

关于不定方程组x~2-30y~2=1与y~2-Dz~2=4的公解

利用同余、递归序列、Pell方程的解的性质证明了:当D=p_1···p_s(1≤s≤3)其中p_1···p_s是互异旳奇素,不定方程组x~2-30y~2=1与y~2-Dz~2=4仅有正整数解D=483,(x,y,z)=(~241,44,~2).1?     

关于不定方程组x~2-14y~2=1与y~2-Dz~2=16的公解

设p_1,p_2,…,p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数,利用递归数列、Pell方程解的性质证明了当D=2p_1p_2…ps(1≤s≤4)时,不定方程组x~2-14y~2=1与y~2-Dz~2=16的整数解如下:当D=2×449时,方程组仅有解(x,y,z)=(±13 455,±3 596,±120)以及解(x,y,z)=(±15,±4,0);当D≠2×449时,方程组仅有解(x,y,z)=(±15,±4,0).     

关于不定方程组x~2-5y~2=1与y~2-Dz~2=16的公解

运用Pell方程的解的性质、递归序列和同余等初等方法讨论了当p_s(1≤s≤4)是互异的奇素数,D=2~tp_1~(a1)p_2~(a2)·p_3~(a3)p_4~(a4)(ai=0或1,1≤i≤4,t∈Z~+,且t≠2,4)时,不定方程组x~2-5y~2=1与y~2-Dz~2=16仅当D=2t×7×23(t=1,3,5,7)时有正整数解。     

关于不定方程组x~2-26y~2=1与y~2-Dz~2=100的公解

利用递归序列的方法及Pell方程解的性质证明了不定方程组x~2-26y~2=1与y2-Dz2=100的解的情况如下:ⅰ)当D=2p1…ps,1≤s≤4时,其中p1,…,ps(1≤s≤4)是互异的奇素数。除开D=2×7×743,方程组有非平凡解(x,y,z)=(±530 451,±104 030,±1 020)这一基本情况之外,仅有平凡解(x,y,z)=(±51,±10,0)。ⅱ)当D=2~n(n∈Z+)时,方程组只有平凡解(x,y,z)=(±51,±10,0)。     

关于Diophantine方程x~2-s(s+1)y~2=1与y~2-2~nz~2=4的公解

本文证明了当s,n∈Z~+时Diophantine方程x~2-s(s+1)y~2=1与y~2-2~nz~2=4除开s=2且n=1,3,5外仅有平凡解(x,y,z)=(±5,±2,0).     

关于不定方程组x~2-12y~2=1与y~2-Dz~2=4的公解

利用递归序列、Pell方程的解的性质,证明了D=2~n(n∈Z~+)时,不定方程x~2-12y~2=1与y~2-Dz~2=4只有平凡解(x,y,z)=(±7,±2,0)。     

关于不定方程x~2-6y~2=1与y~2-Dz~2=4的公解

利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序等,证明了D=2~n(n∈Z+)时,不定方程x~2-6y~2=1与y~2-Dz~2=4:(i)n=1时,有整数解(x,y,z)=(±485,±198,±140),(±5,±2,0);(ii)n=3时,有整数解(x,y,z)=(±485,±198,±70),(±5,±2,0);(iii)n=5时,有整数解(x,y,z)=(±485,±198,±35),(±5,±2,0);(iv)n≠1,3,5时,只有平凡解(x,y,z)=(±5,±2,0).     

关于不定方程组x~2-12y~2=1与y~2-Dz~2=4的解

利用Pell方程解的性质、递归序列以及同余式等初等方法,证明了:不定方程组x~2-12y~2=1与y~2-Dz~2=4仅有正整数解D=2×97,(x,y,z)=(1351,390,28)。     

关于不定方程组{x~2-2y~2=1 2y~2-3z~2=4和{x~2-2y~2=1 2y~2-5z~2=7

对于不定方程组{x~2-2y~2=1 2y~2-3z~2=4和{x~2-2y~2=1 2y~2-5z~2=7证明了它们没有整数解.     

不定方程x2-72y2=1与y2-Dz2=4的公解

设P1,…,Ps是不同的奇素数,证明了：当D=2p1…Ps（1≤s≤4）时除开D为D=2×577外,不定方程组x2-72y2=1与y2-Dz2=4仅有平凡解（x,y,z)=（±17,±2,0)。     

不定方程x~2+4096=4y~(11)的整数解

运用同余理论、代数数论等方法,对不定方程x~2+D=4y~n在D=4096,n=11时的整数解问题进行了讨论。得到不定方程x~2+4096=4y~(11)仅有整数解(x,y)=(±64,2)。     

关于Pell方程组x^2-42y^2=1与y^2-Dz^2=4的公解

利用同余、递归序列、分解因子、奇偶分析等方法以及解的性质,研究了当D=2p 1…ps(1≤s≤4),其中p 1,…,ps是互异的奇素数时,Pell方程组x^2-42y^2=1与y^2-Dz^2=4的公解。得到除了D=2×337外,该方程组仅有平凡解(x,y,z)=(±13,±2,0)。     

不定方程组x~2-10y~2=1,y~2-Dz~2=4

设D是无平方因子的偶数且D=2Πki=1piΠlj=1qj,pi=3,11,13,17,19,23,29,31,37（mod40）,qj=3,7,11,19,23,31（mod40）,或qj=1,5,13,17,19,29,37（mod40）,l≤3,其中诸pi,qj是互异奇素数,本文证明了不定方程组x2-10y2=1,y2-Dz2=4仅有非凡解D=2,（x,y,z）=（19,6,4）。     

关于不定方程x~2+y~2=m

本文讨论不定方程x~2+y~2=m,m≡3(4)在二次域中求代数整数解的问题,并且给出了方程有解的充要条件,显然,对任一有理整数m,m≡3(4),都有分解m=m_1m_2.m_1仅含4k+1形式的素因子,m_2仅含4k+3形式的素因子.为简略计,文中均指这种分解.二次域用Q[D~(1/2)]表示,这里D是无平方因子的有理整数.     

关于不定方程x~3±27=37y~2的整数解

主要讨论了不定方程x~3±27=37y~2的整数解。证明了不定方程x3+27=37y2仅有整数解(x,y)=(-3,0);不定方程x3-27=37y2仅有整数解(x,y)=(3,0),(30,±27),(4,±1)。     

关于不定方程组x~2-8y~2=1,z~2-(a~2±2)y~2=?2的研究

设a为正整数。文章运用Baker方法以及Pell方程的有关理论,证明了不定方程组x~2-8y~2=1,z~2-(a~2±2)y~2=?2的正整数解(x,y,z)都满足y5~(2~(1666))~(a~(49)),同时给出了a=1时方程组的全部正整数解。     

关于Pell方程组x2-2y2=1,y2-Dz2=4

设p,q,r_i均为相异奇素数,且p≡1(mod8),q≡3(mod8),r_i≡5或7(mod8).证明了Pell方程组x~2-2y~2=1,y~2-Dz~2=4当D=2pqr_i时,除了D=34时仅有非平凡解z=±12外,其他情形仅有平凡解z=0。     

关于丢番图方程x~4±(pq 4)~(1/2)x~2y~2 y~4=z~2

Aubry在1911年曾断言:当|k|=(pq 4)~(1/2),p,q均为素数(即|k±2|均为素数)时。若0k≡3(mod8),则方程x~4=kx~2y~2 y~4=z~2无xy≠0之整数解。本文对这一断言给出了一个完整的。自给的证明,同时还进一步证明了对于k值之模8分类而言,Aubry的断言是不可改进的。