黎曼引理的推广

在研究Fourier级数的收敛性时,用到这样一个结论。黎曼引理若f(x)在〔a,b〕上可积,则(?)其证明可见〔1〕、〔2〕。本文将首先利用同〔1〕类似的方法证明更为广泛的结论(定理1、定理2),其次对瑕义积分的情况,也给出了类似的结论(定理3)。定理1 若g(x,y)在R:a≤x≤b,y_0-η相似文献   

判断函数组线性无关的一个充要条件

在常微分方程的高阶方程求解过程中,为判断一解能否为其通解,常需讨论一组解函数的线性相关性.函数组的线性相关性是这样定义的:定义:设函数x_1(t),x_2(t),…x_n(t)是定义在区间〔a,b〕上,如果存在不全为零的常数λ_1,λ_2,…λ_n,使得(?)t∈〔a,b〕有:λ_1x_1(t) λ_2x_2(t) … λ_nx_n(t)=0则称x_1(t),x_2(t),…x_(t)在区间〔a,b〕上线性相关;否则,就称它们在〔a,b〕上线性无关.     

关于第二积分中值定理

在数学分析中第二积分中值定理的基本形式是: 定理1 设f(x)在〔a,b〕(a〈b)上单调下降(即使广义的也可以),并且非负,则对〔a,b〕上的任意可积函数g(x),有integral from n=a to b (f(x)g(x)dx)=f(a) integral from n=a to b (g(x)dx) (1)其中ξ∈〔a,b〕。其证明可参见〔1〕、〔2〕、〔3〕。定理1仅告诉我们其中的ξ∈〔a,b〕,那么能否恰当地选取ξ,使之属于开的区间(a,b)呢?我们说,不一定!且看下面的例题。考虑〔0,(3/2)π〕上函数 f(x)=1与g(x)=cosx,显然它们满足定理1的条件,于是按照定理1,(1)式应该成立。然而     

2——距离空间中的平均非扩张映象不动点存在定理

1963年 G(?)hler 在文献〔1〕中引入2—距离空间,1976年 Isékj 等在〔2〕中首先讨论了2—距离空间中压缩映象不动点定理,之后许多作者对2—距离空间的映象不动点定理进行了讨论,将 Banach 空间中的映象不动点定理推广到2—距离空间中.本文讨论2—距离空间中的平均非扩张映象不动点,得到一些不动点存在定理,将〔4〕中重要结论定理1推广到2—距离空间中.定义 T 是2—距离空间(X,d)的自映象,若对一切 x,y∈X,和每个 a∈X,有     

带算BCK-代数及其同构定理

1966年Y.Imai和K.Iséki提出了如下的一类代数系: 定义设-为B(≠φ)的两元合成,若,且■O∈B,使对■a、b、c∈B,有BCK1.0 ≤a注;BCK 2.(a-b)-(a-c)≤c-b;BCK 3.a-(a-b)≤b,BCK 4.■;BCK 5.■,则称三元体(B,-,0)为一个BCK-代数(BCK algebra)(亦可参见〔2〕,〔3〕)。在不致发生混淆的情况下,我们把BCK代数(B,-,0)简记作BCK代数B。本文将在BCK代数中引进算子(这里指线性算子),从而建立带算BCK代数(BCKalgebra with operators)的概念。然后证明带算BCK代数的几个同构定理。     

集值映象对的公共不动点定理

本文证明了完备度量空间中集值映象对的公共不动点定理,从而改进并推广了中的诸结果.以下始终假定(X,d)是非空完备度量空间,并简记为 X.B(X)是由 X 的所有空有界子集组成的集合族.对于任意 A,B∈B(X),定义δ(A,B)=sup {d(a,b);a∈A,b∈B}.定义1.设映象 F:B(X)→B(X),对任意 A∈B(X),记 F A)=F(x),如果总有 F(A)∈B(X),则称 F 为 B(X)上的集(合)值映象.     

关于累次积分的一条定理

在多元函数积分学中,讨论重积分与累次积分的关系是十分重要的。它给出了计算重积分的一个简便的、行之有效的方法。在勒贝格积分理论中,有一条著名的富比尼定理,这个定理可以叙述为: (1)设f(x,y)是矩形I=〔a,b〕×〔c,d〕上的勒贝格可积函数,则在〔a,b〕上除去一个零测度集以外,f(x,y)作为y的函数是勒贝格可积的,而且函数(?)在〔a,b〕上勒贝格可积(在上述零测度集上,φ(x)可任意定义),同时以下等式成立:     

关于方程■

柯召和孙琦在文〔1〕中研究了方程又l XKn ,=1他们给出了这个方程的一些解,并且证明了 定理方程 Kx; n Xi=22 i=1若有X‘>1(i=1,…,K)的整数解,则至少存在一个i(l了i若K) K子皆除尽n Xi j=1 j勺i 我们在这里将改进这一结果,而得到 定理。方程 K xZ n X.=Z i=l使X:的每一个素因(1) XKfl若有X:>1(i=1,…,K)的整数解,则最多只有一个i。(1、,i。/K),使X;。有与i=1i今i。素的因子、:。>1。 为了证明这个定理,需要引用A.Schin:。1的一个引理(见文〔2〕): 引理。若正整数a,,aZ,b:,b,,b,,满足方程 a,a,a,二b,b!b Zb,和条件(a,,b,b,)二(aZ,…     

自相似过程的遍历性及相关函数的性质

设{X(t),t≥0}是指数H(>0)型的自相似过程,给出了其相关函数的一些性质.并且当{X(t),t≥0}为均方连续的自相似过程时,给出了其均值和相关函数遍历性的定义,然后获得了它们的遍历性定理.     

Fuzzy关系方程A·X·B=C的解法

FuZzy区间方程A。X=B的解法设AOX二B,其中A二(“;;)。、,,b,、是已知区间,xi、是未知区间,X二(xs、):义。,B=(b、*)。义、分别是矩阵,a‘,是已知数,它们的元素均取值于I=〔。,1〕。B的具体形式是〔a::,吞,,〕……〔aJ,,夕,;〕、二(b、:)、义,=〔a。.:,召。;〕……〔a二”,夕。:     

向量值可测函数的连续性

本文给出了向量值可测函数等价类〔f〕的连续和弱连续的定义,并得到如下结果:如果〔f〕在〔a,b〕(?)R上(弱)连续,则必存在且唯一的g∈〔f〕使得g是〔a,b〕上的(弱)连续函数。以上定义及结论是A.C.Zaanen在文〔1〕中相应部分的推广。     

n阶非线性两点奇异边值问题单调正解的存在性

利用锥拉伸与压缩不动点定理,讨论n阶奇异边值问题{x(n)(t)+λα(t)f(t,x(t))=0,t∈(a,b),x(a)=x″(a)=…=x(n-1)(a)=0,x′(b)=0非减正解的存在性,其中λ>0是常数,α∈C((a,b),R+), f∈C([a,b]×(0,∞),R+),R+是正实数集,α(t)可以在t=a,b 处奇异,f(t,s)可以在s=0处奇异.     

积分第一中值定理的一个简明的证明

本学报1979年第2期刊登了绍文同志《关于积分第一中值定理》一篇文篇,作者给出了定理的证明。本文就C∈(a,b)的问题再给出一个较为简明的证明,并给一个例子,说明连续的条件是必要的,即若f(x)在〔a,b〕上不连续时,则结论不再成立。这个定理是这样叙述的: 积分第一中值定理设在区间〔a,b〕上f(x)与g(x)都可积,且g(x)不变号,m≤f(x)≤M,则存在μ,m≤μ≤M,使下式成立 integral from n=a to b(f(x)g(x)dx)=μintegral from n=a to b(g(x)dx) (1)如果f(x)在〔a,b〕上连续,则可进一步证明,存在C∈(a,b),使 (?) (2) 为了叙述上的完整起见,把前一部分的证明也写上。证明:先证前一部分。由f(x)与g(x)在区间〔a,b〕上的可积性知(1)式左端的积分是存     

再论积分第一中值定理的证明

本学报1979年第2期及1980年第3期分别载文论述了积分第一中值定理就“中值”c∈(a,b)的情形的证明,为适应教学需要,对此本文再较条理地整理如下。定理设函数f(x)在区间〔a,b〕上连续,函数g(x)在〔a,b〕上可积且不变号,则存在点c∈(a,6),使得     

关于Натансон的一个奇异积分定理的推广

HaTaHeoH(1944)曹征明:对Ba涯几e一flyeeeH的奇具枝分V·〔,;x〕一诺甥万去)::f(‘)005’”(导)d‘而言,若f(x)存在且有限,则 limV舟〔f;劣〕=f‘(劣). 今把敲定理推魔到ApHo乃八型的奇具精分上去,即有下列籍果: 定理.没1)函数甲(劣,t)在a提工提b,a蕊t蕊b上痊擅; 2)牲(劣,t)存在且于a蕊劣蕊b,a提t(b上速板; 3)于t磷x,i甲(劣,t)!相似文献   

抽象函数的中值定理

主要建立了如下的抽象函数中值定理:设f∈C[[a,b],E],g∈C[[a,b],R],且除去至多可数集F [a,b]外, t∈[a,b]\F,f′+(t)与g′+(t)皆存在且g′+(t)>0,则f(b)-f(a)g(b)-g(a)∈cof′+(t)g′+(t)t∈[a,b]\F.所得定理推广了已有的一些结果.     

关于菲赫金哥尔茨定理的改进

实变函数论中的菲赫金哥尔茨(?)定理是这样的: 若F〔f(x)〕对于所有绝对连续函数f(x)常为绝对连续函数,则F(x)满足李卜希兹条件。本文利用磨光函数的方法,使上述定理中f(x)的范围缩小为满足|f′(x)|≤1的函数,从而将菲赫金哥尔茨定理的条件大大减弱。随之可得出两个推论。现叙述如下: 定理若F〔f(x)〕对于所有满足|f′(x)|≤1的函数f(x)常为绝对连续函数,则F(y)(y∈〔a,b〕)满足李卜希兹条件。     

一类部分变换半群的Green关系

X为任意集且|X|≥5,E是X上的双等价关系,即E=(A×A)∪(B×B)∪Δ(X)其中A,B是X的真子集且|A|>1,|B|>1,Δ(X)={(x,x):x∈X}.PX表示集合X上的部分变换半群,令PE(X)={f∈PX:(a,b)∈E且a,b∈domf,(f(a),f(b))∈E},那么PE(X)是PX上的一个子半群.刻划了PE(X)的G reen关系.     

A~B上自然拓扑ω_μ的度量化

设A是一个集合,B是一个良序集,A.K.Steiner和E.F.Steiner于文〔1〕研究了A~B上的所谓自然拓扑N.对于每一x∈A~B以及α∈β,定义x(α)={y∈A~B、对于B的所有β≤α,y_β=xβ},那么A~B上的自然拓扑N定义为由基B={x(α):x∈A~B,a∈β}所产生的拓扑。显然当A为单点集或者B(表示良序集B的序型)为孤立数时,(A~B、N)为离散空间。又,(A~B、N)是正规空间.A.K.Steiner还研究了拓扑N的度量化问题,得到定理1(定理7,Steiner)如果B是可数良序集,则(A~B,N)可度量化。H.C.Reichel于文〔2〕专门研究了空间(A~B,N)的度量化问题,得到其可度量     

一类非自治三阶常微分方程周期解的存在性

本文研究了一类非自治三阶常微分方程x-a(t)x+b(t)x~2-c(t)x~3=0正周期解的存在性,其中a(t),b(t),c(t)是连续的T-周期函数,满足0a≤a(t)≤A, 0b≤b(t)≤B, 0c≤c(t)≤C,a,A,b,B,c,C是正常数.运用Mawhin延拓定理,本文证明了方程至少存在两个正T-周期解.