判定含参量反常积分非一致收敛的方法研究

关于“数学分析”课程中涉及含参量积分一致收敛性的判别法,一般比较熟悉的有Cauchy准则、魏尔斯特拉斯M判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法等,而含参量反常积分非一致收敛判别方法的情况相对复杂一些,也不太容易被学生所理解。为此,本文从“数学分析”课程中含参量反常积分一致收敛的概念和性质出发,给出了几种判定证明方法,并结合具体实例加以分析。     

反常积分敛散性的一个新判别法

关于反常积分的敛散性判定问题的判别方法比较多,并且大部分都源于比较判别法,即要事先挑选出一个已知其敛散性的反常积分作为比较对象。然而,寻找到这样合适的比较对象却是很困难的。本文通过分析被积函数的自身性态,给出了关于反常积分敛散性的一种新的判别方法,并通过实例说明了其应用以及优越性。     

含参量x的无界反常积分

现行教材中对于含参量x的无界反常积分,仅仅给出了定义,对此进一步探究,给出了其一致收敛的判别法。     

非正常积分与正项级数的对数判别法

本文给出了判别无穷限反常积分与正项级数敛散性新的判别方法,利用它可判定其敛散性。     

Stolz公式的推广及应用

首先将Stolz公式推广到了函数极限的情况,由此得到了(∞)/(∞)型L′Hospital法则在分子并不趋于∞时法则仍成立的结论.拓展了(∞)/(∞)型L′Hospital法则的适用范围,通过实例指出了上述推广在解决某些分析数学方法的问题时所起的作用.     

关于∞/∞型的L′Hospital法则的一个改进

本文对现行的数学分析、微积分及其高等数学的教材中的∞/∞型的L′Hospital法则进行了一个改进,论证了该法则在无须考虑分子是否趋于∞的条件时,仍旧成立,利用了这个减弱了∞/∞型L′Hospital法则给出了一大类的极限问题的简单解法。     

正项级数敛散性的比较定理和判别法

为判别正项级数的敛散性,本文建立了它的一个理论基础——比较定理,并由此给出了一些较强的判别法。凡能用达郎伯尔(J.d′lembert)判别法、歌西(A.L.Cauchy)判别法、拉阿伯(J.L.Raabe)判别法和伯尔特昂(J.Bertrand)判别法判定敛散性的级数,用本文的方法必能判定,反之不然。     

Stolz公式的推广及应用

首先将Stolz公式推广到了函数极限的情况，由此得到了∞/∞型L′Hospital法则法则在分子并不趋于∞时法则仍成立的结论。拓展了∞/∞型L′Hospital法则的适用范围，通过实例指出了上述推广在解决某些分析数学方法的问题时所起的作用。     

无穷小比较的意义与应用

本文分析了无穷小比较的意义,以及无穷小比较在计算极限、判别级数和反常积分的敛散性中的应用。     

反常积分的计算

在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,问题之一是考虑无穷区间上的积分。本文讨论了反常积分的牛顿——莱布尼兹公式,换元积分法,以及收敛的判别方法。     

多元函数极限的L′Hospital法则

建立和证明了多元函数的Cauchy中值定理,然后,利用它将L′Hospital法则推广到多元函数上,得到若干结果。     

函数项级数一致收敛的积分判别法

在数值级数的收敛判别法中,正项级数的积分判别法解决了一类正项级数与无穷积分的收敛判别问题,在此基础上,本文进一步研究函数项级数一致收敛的积分判别法,并以此解决一类函数项级数与含参变量无穷积分的一致收敛判别问题。     

关于Directly-Riemann积分Dirichlet和Abel判别法的充要性

证明了Directly-Riemann积分Dirichlet判别法和Abel判别法的必要性,而Directly-Riemann积分Dirichlet判别法和Abel判别法充分性熊启才已有证明,由此说明这2个重要判别法不仅充分而且必要。     

瑕积分敛散性的判别方法

关于瑕积分敛散性的判别,通常的判别法比较单一,又由于判别法本身的局限性,使许多瑕积分的敛散性难以判定。选择合适的判别法对于无穷限瑕积分的敛散性来说显得非常重要,因此本文系统地总结了瑕积分敛散性的判别方法,可较好的解决瑕积分敛散性的问题。     

反常积分敛散性极限审敛法的等价定理

将无穷积分及无界函数积分的被积函数运用无穷小和无穷大比较的方法进行比较,得到了相应的反常积分敛散性极限审敛法的等价定理,并给予证明,从而可运用等价定理灵活的判断反常积分的敛散性.     

关于一类无穷积分的收敛判别问题的研究

积分区间无限且被积函数在积分区间上具有若干个瑕点的无穷积分()daf x x???是一种比较复杂的反常积分,f(x)在各瑕点附近的性态、瑕点的个数及其分布都影响该积分的敛散性。利用了积分的分解、转换和相关的积分估计,给出了一类具有可数多个瑕点的无穷积分收敛的一个判别方法。     

无穷级数新的积分判别法

利用有界变差函数的性质,建立了比Cauchy积分判别法更广泛的新的积分判别法;利用实分析中的Lebesgue逐项积分定理,推广了文献[7]中一个数项级数收敛性判别法.     

两类与等差数列有关的组合恒等式

巧妙地构造出一个多项式,利用著名的Lagrange插值公式和L′Hospital法则,得到了两类与等差数列有关的新颖而深刻的组合恒等式.     

反常积分敛散性极限审敛法的等价定理及其应用

将无穷积分及无界函数积分的被积函数运用无穷小和无穷大比较的方法进行比较,得到了相应的反常积分敛散性极限审敛法的等价定理,并给予证明,从而可运用等价定理灵活的判断反常积分的敛散性.     

计算含参量反常积分的一些特殊方法

计算含参量的反常积分时,常用的是两种方法：1）利用积分号下求积分的方法计算反常积分;2）利用积分号下求导方法计算反常积分,本文介绍另外几种求反常积分的方法．