也谈正确理解哥德尔不完全性定理——与陈慕泽先生商榷

就陈慕泽先生对《禁止使用自指代命题》关于哥德尔不完全性定理的质疑提出的批驳做出回应。认为陈先生回避要害,无视作者对哥德尔证明中双重标准之矛盾的分析和揭露,其批驳存在自相矛盾、循环论证和转移辩题的问题。还专门采用陈先生的符号,对哥德尔定理结论1和2的证明进行分析和批判,再次解释哥德尔定理的结论可以完全正确,但应该理解成:哥德尔所构造的不可判定公式违反逻辑,必须禁止在无矛盾的形式系统中使用。同时,还分析了现有主流学派对哥德尔定理结论的种种误解,提出重建逻辑学公理系统的主张。     

对哥德尔不完全性定理的质疑

[目的]考察Gdel不完全性定理证明的有效性及存在性问题。[方法]以"逻辑先后律"思维原则作为剖析工具,揭示相关观点和论证的错误。[结果]①与Gdel原证法本质上相同的形式化证明,均存在歧义谬误。②关于对哥德尔证明的解释,其错误是,真意指判断句,不可证意指被判断句,即二者并非意指同一命题。[结论]①与Gdel原证法本质上相同的形式化证明,都是无效的;在这类证明的基础上,该定理的相关推论的证明也都是无效的。②既是真的又是不可证的命题是不存在的。③Gdel不完全性定理不可能成立,该定理的相关推论也不可能成立。     

说谎者悖论的排除和哥德尔定理的质疑

说谎者悖论是一个佯悖。它之所以被称为悖论,是因为推理者混淆了思维的层次,构造了自指代命题并进行代换才导致矛盾。把"自指代命题"从"自指命题"中区分出来,指出前者违反同一律,作代换还可能违反矛盾律,主张禁止使用自指代命题。还指出哥德尔所构造的自指代命题存在矛盾的双重标准,它的证法采用了双重标准,是错误的。哥德尔定理的结论中的"不可判定"命题,现在有3种不同的错误解释:是非不可分辨的命题(三值)、是非可分辨(二值)但不确定的命题、是非都不可证的任意命题,它们都不是哥德尔的证法所支持的结论。还指出它不会导致"真理丧失说"和"数学丧失了确定性",但还应充分肯定哥德尔的历史功绩。     

哥德尔不完全性定理的证明过程有误

简述了哥德尔第一不完全性定理和哥德尔第二不完全性定理,通过论证证明哥德尔的两个不完全性定理的证明过程有误。     

不完全性定理对人类思想的影响

哥德尔不完全性定理是数理逻辑中的一个定理,1931年奥地利逻辑、数学家克尔特·哥德尔(Kun Godel)发现并证明.这个定理彻底粉碎了希尔伯特的形式主义理想,从根本上澄清了作为一个整体的数学不可形式化的本质.而且哥德尔定理产生的影响已远远超出数学的范围,他从根本上改变了我们对"真理"的认识和对世界的认识,不了解哥德尔就不了解人类已达到的智力水平与人类智力奋斗的历程,也就无法了解我们这个世界在思想观念上已经发生或正在发生的深刻变化.     

以哥德尔不完全性定理认识偶数哥德巴赫猜想

哥德尔不完全性定理第一次破天荒地分清了数学中“真”与“可证”是两个完全不同的概念,揭示了形式化方法不可避免的局限性。对于偶数哥德巴赫猜想这一未决的数学难题,可以跳出形式化方法的局限性,以一种新的思维去认识它。     

哥德尔自指命题与悖论

"可证"的算子用法与谓词用法是严格区分概念层次的结果。"可证"的算子用法是从命题外部来理解"可证"的,而它的谓词用法则是从命题内部来理解的。哥德尔自指命题是否导致悖论,关键在于如何理解"可证"概念。如果把"可证"理解为语句算子,那么哥德尔自指命题就不会导致悖论。否则,如果把它理解为谓词,那么哥德尔自指命题就会导致悖论。     

关于一阶逻辑范式定理的几个等值式的一个注记

以（→，∽）为连词完全集的一阶逻辑前不范式定理是由４个等值式得到的。对于４个等值式，本文得到了它们之间的一个基本关系；同时，利用不带等词的一阶系统Ｋ中的两个定理来证明了４个等值式是两两等价的。     

解读"奇点定理"

本文针对"奇点定理"证明过程中存在的时间概念、数理逻辑和前提条件等方面的悖谬,在逐次解析的基础上,符合逻辑地论证了奇点定理证明的有关时间开始与终结的结论是不能成立的:因为既然不存在脱离物质的时间,也就不存在脱离物质的时间的开始与终结,所以"奇点"也就不能看作时间的开始与终结,"奇点定理"更不能证明时间的开始与终结.因此,只有物质的存在与非存在才能看作时间的开始与终结,也只有物质的存在与非存在才能表述(或证明)其时间的开始与终结.这就是本文要表达的时间观点.     

向前向后法证明一阶逻辑的几个定理

向前向后方法是模型论及其应用研究中的一个很重要的工具．一阶逻辑的内插定理和保持定理确定了符合某些条件的公式的存在性,经典模型论中对这些的证明较为繁难．文中使用向前向后方法,对有限语言下一阶逻辑的内插定理和保持定理等几个定理,给出一种简洁的证明．     

一阶逻辑完备性定理的新代数证明

给出了一阶逻辑完备性定理的一个新的代数证明，这个证明不使用依赖于Boole代数表示定理的γ-解释，但使用关于Q-滤子△↓的△↓-解释，也需要用到选择公理，另外指出了已有代数证明的不足之处，并作了修正。     

基于经典和Riesz导数的分数阶广义Birkhoff系统的Noether定理

为了研究分数阶模型下Birkhoff系统的对称性与守恒量之间的内在联系,该文提出并证明含经典和Riesz导数(包括Riesz-Riemann-Liouville导数和Riesz-Caputo导数)的分数阶广义Birkhoff系统的Noether定理。基于经典和Riesz导数的分数阶广义Pfaff-Birkhoff原理,导出相应的分数阶广义Birkhoff方程。分析系统的Noether对称性与守恒量,采用时间重新参数化方法证明分数阶Noether定理,并利用"传递公式"给出了分数阶守恒量的显形式。最后给出一个算例以说明其应用。     

形式演绎系统的完全性定理

<正> 设k是用不带等词的可数一阶语言L表述的形式演绎系统,作为形式系统,k是纯粹的语法对象,其中的推演(deduction)出现为无意义的仅仅遵循一定语法规则的公式演算形态,但在本质上,k是逻辑演绎系统,应该满足逻辑语义学的要求:k的公理模式提供的公理应是逻辑有效的,k的推演规则应是保真的,k中的推演应是演绎另一方面,演绎理论也不可能绝对孤立地构造自身的系统,它与归纳理论也有不可分割的联系,本文主要目的就是基于这种关系与联系改进Henkin对Godel完全性定理的证明。     

L(Q)逻辑的完全理论

对一种附加量词L(Q)逻辑的一些模型论性质进行了讨论 ,用构造性证明方法证明了完全理论T和模型完全的一些等价条件 ,还给出了完全理论T的一种判定定理 ,为今后对L(Q)逻辑模型论做进一步研究提供了理论基础     

基本的一阶时态逻辑的一个完备性定理

仅以基本公理作为逻辑公理的一阶时态逻辑的形式系统,称为基本的一阶时态逻辑的形式系统。基本的一阶时态逻辑有模态逻辑和时态逻辑的一个发展。本文的目的是:为基本的一阶时态逻辑建立一个完备性定理。     

Desargues定理及其逆定理的应用推广

Desargues定理及其逆定理揭示了在两个三点形(初等几何中称为三角形)中存在着一种很重要的位置关系,因此,在证明初等几何中一些有关"点共线"或"线共点"的定理或命题时,常常用到它们.在应用Desargues定理(或其逆定理)时,其关键就在于正确确定两个满足定理条件且符合所证命题结论的三点形来.当然,这两个三点形有时并不是唯一的一对,可根据实际情况灵活地加以选用.     

Perko定理B的一个几何証明

在本注记,我们给出Perko定理B的一个几何证明,它简化了Perko的解析证明,Perko的定理B是: 定理令L(α_■)为半完全多项式族(modP=o)     

不完全偏好意义下的极大元定理及其应用

由Brezis和Browder得到的非线性泛函分析序集一般原理及其推广已经被广泛应用到许多科学领域。然而，上述定理中的序集必须要求满足反对称性，而在理论数学、应用数学，特别是在经济学等许多领域中，一些序结构并不满足反对称性。为解决上述问题，我们首先提出了不要求反对称性的不完全偏好，在此基础上我们获得了许多不完全偏好意义下的极大元定理。作为应用，我们改进了由Brezis和Browder得到的非线性泛函分析序集一般原理及其许多推广，并给出了一个最小值定理，此定理推广了Weierstrass定理。     

分析学中几个定理证明的严密性

Zermelo选择公理的提出对近代数学的发展和逻辑的严密性起了很大的推动作用,而且它几乎渗透到每一个数学分支。分析学中一些定理及命题的证明都要以它为依据,例如,它使得下面几个定理的证明成为可能。     

谈拉普拉斯定理及其应用

拉普拉斯定理在行列式按行（列）展开定理的基础上可以更快地降阶计算行列式,在某些行列式计算和证明中比较方便。本文首先介绍了拉普拉斯定理,然后给出了定理的几个应用。