最大度为4的平面图的平方染色

证明了若G为最大度Δ(G)≤4且不含4,5,6-圈的平面图,则χ(G2)≤Δ(G)+7.     

外平面图的平方图的点荫度

图G的平方图G2是以V(G)作为它的点集,两个点在G2中相邻当且仅当它们在G中的距离至多为2.证明了：若G是一个最大度Δ6的外平面图,则G2的点荫度va(G2)=「Δ+12?;特别地,一棵树T的平方图T2的点荫度va(T2)=「Δ+12?.     

外部平面图的平方图的染色

图G的平方图，记作G^2，是一个以原图的顶点集为顶点集，若原图中两点的距离不大于2则连以边所成的图．本文确定了圈的平方图的色数．对于外部平面图，得到以下结论：设G是一个最大度为△(G)的简单连通外部平面图，G≠C5．则x(G^2)≤△(G) 2．     

2-连通外部平面图的平方图的列表染色

图G的平方图,记作G2,是一个以原图的顶点集作为顶点集,若原图中两点的距离不大于2则连以边所成的图.图G的列表染色数,记作lχ(G),定义为最小的自然数k,使得满足:对任一顶点给定k种颜色的列表,且染色时每个顶点的颜色只能从自身的颜色列表中选择时,总存在G顶点的一个正常染色.设G是一个最大度为Δ(G)的2-连通外部平面图,则lχ(G2)≤Δ(G)+2.     

特殊平面图的线性二荫度

线性k-森林是指一个图G,它的每个连通分支是长至多为k的路．图G的线性k-荫度是指使得G可以边划分成m个线性k-森林的最小整数m,用lak（G）表示．本文探讨特殊平面图的线性二荫度,得到的结论有：1）每个3-圈不重边的平面图G,有la2（G）≤[△（G）／2]＋10;2）每个3-圈不重点的平面图G,有la2（G）≤[△（G）／2]＋7;3）每点至多关联[△（G）／2]个3-面的平面图G,有la2（G）≤[△（G）／2]＋10．     

平面图的全染色

给定一个图G,G的全k染色是指至多用k种颜色,对G的顶点和边同时进行染色,使得相邻的两个元素染不同颜色。对△(G)8,且每点至多关联2个3-圈的平面图,有τ(G)=△(G)+1。     

某些平面图的最小折数

讨论了4类4-正则平面图的最小折数纵横扩张。     

不含相交4-圈的平面图的线性2-荫度

设G是不含相交4-圈的平面图.证明了若G是连通图且最小度δ(G)≥2,则G包含一条边xy使得d(x)+d(y)≤9或一个2-交错圈.由这一结果得到G的线性2-荫度la_2(G)≤「Δ/2┐+6.     

不含相交5-圈的平面图的线性2-荫度

设G是不含相交5-圈的平面图,证明了如果G是连通的并且δ(G)≥2,则G包含一条边xy,使得d(x)+d(y)≤10或者一个2-交错圈。由这个结果可以得到G的线性2-荫度la₂(G)≤「Δ/2+5,改进了不含5-圈的平面图的线性2-荫度的已知上界。     

临界极大外平面图

给出了临界极大外平面图以及最大度临界极大外平面图的定义，并讨论了它们的性质，为研究极大外平面图的四染色提供了一种新方法。     

最大度是6的平面图是第一类图的一个充分条件

用x'(G)表示G的边染色数.对于最大度是△的可平面图G,如果X'(G)=△,称G为第一类图;如果x'(G)=△+1,称G为第二类图.运用Dischrge方法证明:最大度是6且不含7圈的可平面图G是第一类图.     

最大度是5的可平面图的边染色

对于最大度是Δ的可平面图G,如果χ′(G)=Δ,称G为第一类图;如果χ′(G)=Δ+1,称G为第二类图.χ′(G)表示G的边染色数.1965年,Vizing举例说明Δ=5的可平面图中既有第一类图,也有第二类图.作者运用Discharge方法证明最大度是5且不包含有弦的4-圈和有弦的5-圈,或不包含有弦的4-圈和有弦的6-圈的可平面图是第一类图.     

最大度为5的可平面图是第一类的充分条件

最大度是5的可平面图,既有第一类,也有第二类。该文运用Discharge方法以及临界图的一些重要性质证明,每个最大度为5且不含三圈或不含四圈或不含五圈的简单平面图的边色数等于5,即这样的平面图是第一类的。文中还给出了最大度为5的平面图分类的一个特征刻画。     

最大度是4的可平面图是第一类图的充分条件

运用Discharge方法证明:最大度是4,且满足下列条件之一的可平面图G是第一类的.(1)G中不含长度为4至9的圈;(2)G中不含4-圈和5-圈,且任意两个3-面不关联于同一个顶点;(3)G中不含长度在5和8之间的圈,且任意两个3-圈,任意两个4-圈不关联于同一个顶点;(4)围长不小于4,G中不含有弦的8-圈,且任意两个4-面不关联于同一个顶点.     

最大度是5的可平面图是第一类的充分条件

运用Discharge方法以及临界图的一些重要性质证明了:每个最大度为5且不含四圈五圈的简单平面图的边色数等于5,即这样的平面图是第一类的。给出了最大度为5的平面图分类的一个特征刻画。     

最大度是6不含相邻k-圈的可平面图的边染色

运用Discharge方法和临界图性质证明了,最大度是6且任意两个长度至多是6的k-圈不相邻的可平面图是第一类图.     

最大度为6且不含5-圈或6-圈的平面图可8-全染色

G,G的k 全染色是指用k种颜色给G的点和边进行染色,使G的任意邻接点或邻接边均染不同的颜色,且G的任一点与该点的任一关联边均染不同的颜色．证明了最大度为6且不含5 圈或6 圈的平面图是可8 全染色的．     

第一类平面图的一个充分条件

对于最大度为5的平面图,既有第一类,也有第二类.运用Discharge方法以及临界图的一些重要性质证明了:每个最大度为5且不含相交三角形的简单平面图的边色数等于5,即这样的平面图是第一类的.因此,给出了最大度为5的平面图分类的一个特征刻画.     

对偶图中的H圈与平图的4着色

阐明了对偶图中的H圈与平图的2棵对偶树的相互依存关系,阐述了平图的4着色与2棵对偶树之间的相互依存关系。平图的顶点4着色以及2棵对偶树的分解决定了对偶图中的H圈,对偶图中的H圈也决定了平图的顶点4着色及2棵对偶树的分解。平图H圈决定了对偶图的2棵对偶树的分解及顶点4着色,对偶图的2棵对偶树的分解及对偶图的顶点4着色决定了平图的H圈的分解。2棵对偶树的2着色等价于平图的顶点4着色,内区与外区的分界线恰好是H圈。提出了多面体平图的H圈的构造步骤和多面体平图的顶点4着色步骤。介绍了12面体平图中30个H圈的构造,对偶图中对偶树的分解、以及对偶树的4着色。解决了任意平图中的H圈的分解方法和计数方法,为解决任意平图中的生成树的构造和计数问题奠定了基础。     

最大度为7的平面图全染色

假设图G是最大度为7的平面图。 利用权转移的方法证明了,如果图G中弦5-圈和弦6-圈不相邻,那么图G的全色数是Δ+1。