关于Pell方程x~2─2y~2＝1与y~2─Dz~2＝4的公解

本文研究Ｐｅｌｌ方程ｘ￣２─２ｙ￣２＝１与ｙ￣２─ＤＺ￣２＝４的公解的问题，完整地证明了当Ｄ无平方因子且至多含三个不同奇素因子时，除开（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１７，１２，２）．（Ｄ＝３５）；（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１９６０１，１３８６０．２６）．（Ｄ＝２９×４１×２３９）外无其它非平凡解．这个结果加强了Ｍａｈａｎｔｙ￣［１］和陈建华￣［２］的结论．     

关于不定方程组x2－22y2＝1与y2－Dz2＝1764的公解

利用Pell方程的解的性质及递归序列的方法,证明了不定方程组x2－22y2＝1与y2－Dz2＝1764有以下结果：当D＝2p1…ps,1≤s≤4(p1,…,ps为互异的奇素数)时,此方程组的整数解为(i)D≠2×77617时,仅有平凡解＝;(ii)D＝2×77617时,有非平凡解＝和平凡解＝.当D＝pm(m∈Z＋,p为任意素数)时,其整数解只有平凡解＝.     

关于丢番图方程x~3±p~（3n）＝Dy~2

对丢番图方程ｘ３±ｐ３ｎ＝Ｄｙ２，ｐ为给定的奇素数，ｐ＝３或ｐ≡５（ｍｏｄ１２），ｎ为自然数，Ｄ＞０，Ｄ无平方因子且不能被６ｋ＋１形的素数整除，现得到该方程非平凡解的关于ｎ的一个递推算法；并给出了ｐ＝３或５，ｎ＝１，２，３，４的全部非平凡解     

关于Pell方程x~2－2y~2＝1和y~2－Dz~2＝4的公解

本文证明了Ｐｅｌｌ方程ｘ２－２ｙ２＝１和ｙ２－Ｄｚ２＝４，当Ｄ＝２ｐ或２ｐｑ，其中ｐ，ｑ为互异奇素数时有唯一的非平凡解ｘ＝９９，ｙ＝７０，ｚ＝１２（Ｄ＝２ｐ且ｐ＝１７时）。     

关于不定方程组9x~2－7y~2＝2，32y~2－9z~2＝23

利用不定方程ｘ２－Ｄｙ２＝Ｃ（Ｄ∈Ｎ，Ｃ∈Ｚ－｛０｝）的整数解的结构，给出了不定方程组９ｘ２－７ｙ２＝２，３２ｙ２－９ｚ２＝２３的所有正整数解的一个表达式．由这个表达式，经过初等计算，可得到该不定方程组的正整数解     

关于不定方程组x2－6y2＝1与y2－Dz2＝4的公解

设p1,…,ps(1≤s≤4)是互异的奇素数.证明了当D＝2p1…ps,1≤s≤4时除开D为2×11×97外,不定方程组x2－6y2＝1与y2－Dz2＝4仅有平凡解(x,y,z)＝(±5,±2,0).     

关于丢番图方程x^2—Dy^4=1的一些注记

对于丢番图方程ｘ＾２－Ｄｙ＾４＝１（Ｄ〉０且不是平方数），本文得到了如下结论：①当Ｄ＝ｐ是素数，且ｐ≠３，１５（ｍｏｄ１６）时，方程除开Ｄ＝５有解（ｘ，ｙ）＝（９，２）外，无其他的正整数解；②当Ｄ＝ｐ是素数时，方程除开Ｄ＝３有两组解（ｘ，ｙ）＝（２，１），（７，２）外，最多有一组正整数解；③当Ｄ＝４ｐ且奇素数ｐ≠１ｍｏｄ１６）时，方程除开Ｄ＝２０有解（ｘ，ｙ）＝（１６１，６）外，无其他的正整数解；     

关于几个丢番图方程

本文证明了丢番图方程ｚ＾４－ｐｙ＾４＝及ｘ＾２－ｐｙ＾４＝４（ｐ为奇素数）无正整数解；在Ｄ〉０且不被１０Ｋ＋１形素因数整阶时，方程ｘ＾５－１＝Ｄｙ＾２在ｘ≠（ｍｏｄ２０）时反有正整数解Ｄ＝２，ｚ＝３，ｙ＝１１。     

关于丢番图方程x￣3±125＝Dy￣2

给出了方程ｘ￣３±１２５＝Ｄｙ￣２的全部非平凡整数解．其中Ｄ＞０，无平方因子，且不能被３或６ｌ＋１型的素数整除．     

关于不定方程组9x^2—7y^2=2,32y^2—9Z^2=23

利用不定方程ｘ＾２－Ｄｙ＾２＝Ｃ（Ｄ∈Ｎ，Ｃ∈Ｚ－｛０｝）的整数解的结构，给出了不定方程组９ｘ＾２－７ｙ＾２＝２，３２ｙ＾２－９ｚ＾２＝２３的所有正整数解的一个表达式，由这个表达式，经过初等计算，可得到该不定方程组的正整数解。     

关于不定方程组5x~2－3y~2＝2，16y~2－5z~2＝11

研究了不定方程组５ｘ２－３ｙ２＝２，１６ｙ２－５ｚ２＝１１，给出了求此不定方程组正整数解的一种方法     

关于Pell方程x2－6y2＝1与y2－Dz2＝4的公解

该文证明了：1) 若p1，…，ps是不同的奇素数，则当D＝p1…ps(1≤s≤3)时除开D为11,11×89×109,11×97×4801外，方程组G：x2－6y2＝1与y2－Dz2＝4仅有平凡解(x，y，z)＝(±5，±2,0)；2)若D是无平方因子正整数，则当D为偶数且D没有适合p≡1(mod 24)以及p≡7(mod 24)的素因数p，则方程组G仅有平凡解(x，y，z)＝(±5，±2,0).     

关于Pell方程x2－2y2＝1与y2－Dz2＝4的公解

设p1,…,ps是不同的奇素数,证明了当D=2p1…ps,1≤s≤6时,除了D为2×17,2×3×5×7×11×17及2×17×113×239×337×577×665857外,不定方程组仅有平凡解(x,y,z)=(±3,±2,0).     

阶为平方数的单群个数

阶为平方数的有限单群在最大素因子小于１０４００时仅有１２个，由此推出Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ方程ｐ２－２ｑ２＝－１在ｐ，ｑ均为素数且小于１０４００时，仅有下列四个解：（ｐ，ｑ）＝（７，５），（４１，２９），（６３０１８０３８２０１，４４５６０４８２１４９），（１９１７５００２９４２６８８０３２９２８５９９，１３５５８７７４６１００４６７１１７８０７０１）．     

关于不定方程组5x^2—3Y^2=2,16y^2—5z^2=11

研究了不定方程组５ｘ＾２－３ｙ＾２＝２，１６ｙ＾２－５ｚ＾２＝１１给出了求此不定方程组正整数解的一种方法。     

关于Pell方程组x2-2y2=1,y2-Dz2=4

设p,q,r_i均为相异奇素数,且p≡1(mod8),q≡3(mod8),r_i≡5或7(mod8).证明了Pell方程组x~2-2y~2=1,y~2-Dz~2=4当D=2pqr_i时,除了D=34时仅有非平凡解z=±12外,其他情形仅有平凡解z=0。     

也谈不定方程组x2-2y2=1,y2-Dz2=4

设D=2k∏i=1pil∏j=1qj，其中，诸pi和qj是互异的奇素数，pi≡5或7（mod8),qi≡3(mod8），l≤3。本文证明了不定方程组x^2-2y^2=1，y^2-Dy^2=4仅有平凡解z=0。     

关于丢番图方程x~3±729＝Dy~2

给出了方程ｘ３±７２９＝Ｄｙ２的全部非平凡整数解。其中Ｄ＞０，无平方因子，且不能被６ｋ＋１型的素数整除。     

关于不定方程x^4—pqy^2=1

设ｐ、ｑ是不同的奇素数，ｐ≡３（ｍｏｄ４），本文证明了当ｑ＝５或１３时，不定方程ｘ＾４－ｐｑｙ＾２＝１仅在ｐ＝３时有正整数解，其唯一的正整数解为（ｘ，ｙ）＝（２，１）或（ｘ，ｙ）＝（５，４）。根据此结果和已有的大量结果可以确定不定方程ｘ＾４－Ｄｙ＾２＝１在１〈Ｄ〈１００的范围之内的全部正整数解。     

关于不定方程组x^2—7y^2=2,z^2—32y^2=—23的正整数解的上界

运用Ｂａｋｅｒ方法讨论了不定方程组ｘ＾２－７ｙ＾２＝２，ｚ＾２－３２ｙ＾２＝－２３的正整数解的上界。