关于不定方程x~3-1=3pqy~2的整数解研究

设pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为奇素数.关于不定方程x3-1=3s∏i=1piy2(s≥2)的初等解法至今仍未解决.主要利用Pell方程的解的性质、递归序列、同余式、平方剩余等证明了p≡q≡1(mod 6)为奇素数,pq≡7(mod 12),(p/q)=1时,不定方程x3-1=3pqy2仅有平凡解(x,y)=(1,0).     

丢番图方程x~3-1=3Py~2的整数解

设P=∏si=1p_i(s≥2),p_i≡1(mod 6)(1≤i≤s)为奇素数.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列证明了P=pq,p≡13(mod 24)为奇素数,q=12s~2+1(s∈Z~+,2■s)为奇素数,(p/q)=-1时,丢番图方程x~3-1=3Py~2仅有平凡解(x,y)=(1,0).     

关于丢番图方程x3＋1＝3pqy2的整数解

设P=3i∏pi(s≥2),其中pi=1(mod 6)(i=1,2,…,s)为奇素数.关于丢番图方程x3+1=Py2的初等解法至今仍未解决.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质以及递归序列证明了:当p≡q≡1(mod6)为奇素数,pq≡7(mod 24),(p/q)=-1时,丢番图方程x3+1=3pqy2仅有平凡解(x,y)=(-1,0).     

关于不定方程x3-1=73qy2的整数解

设D=∏si=1pi(s≥2),pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为不同的奇素数.关于不定方程x3-1=Dy2的初等解法至今仍未解决.利用同余式、二次剩余、递归序列、Pell方程的解的性质,证明了q≡1,19(mod 24)为奇素数,(q/73)=-1时,不定方程x3-1=73qy2仅有整数解(x,y)=(1,0).     

关于Diophantine方程x~3±1=6pqy~2的整数解

主要利用同余式、Pell方程的解的性质、递归序列、平方剩余等理论得出了如下结果:(1)p≡q≡1(mod 6)为奇素数,(p/q)=-1,pq≡19(mod 24),或p≡1(mod 24),q≡13(mod 24)时,Diophantine方程x~3-1=6pqy~2仅有平凡解(x,y)=(1,0);(2)p≡q≡1(mod6)为奇素数,(p/q)=-1,且pq≡7(mod 24),或p≡1(mod 24),q≡13(mod2 4)时,Diophantine方程x~3+1=6pqy~2仅有平凡解(x,y)=(-1,0).     

关于不定方程x~3±1=6pqDy~2的整数解

设Q=6p_1…p_sr_1…r_n(s,n∈Z_+),其中p_j≡1(mod 6)(j=1,2,…,s)为奇素数,r_i≡5(mod 6)(i=1,2,…,n)为奇素数.关于不定方程x3±1=Qy2的初等解法至今仍未解决.利用同余式、Legendre符号的性质、递归序列、Pell方程解的性质证明了:当D=r_1…r_n(n∈Z+),r_i≡5(mod 6)(i=1,2,…,n)为奇素数,p≡q≡1(mod 6)为奇素数,(p/q)=-1时,不定方程x~3±1=6pqDy~2仅有平凡解的两个充分条件.     

关于丢番图方程x~4+Dy~4=z~2

设p为奇素数.利用同余性质及Fermat的无穷递降法,证明了:D=p3,p≡3,7(mod 16);或D=-p3,p≡9,13(mod 16);或D=2p3,p≡3,5(mod 8);或D=4p3,p≡3,7(mod 16)时,方程x4+Dy4=z2,gcd(x,y)=1均无正整数解.同时给出D=3时方程的全部正整数解.     

关于Diophantine方程x~3±1=2pqry~2

设p,q,r为奇素数,p≡13 mod 24,q≡19 mod 24,(p/q)=-1.利用同余式、平方剩余、递归序列、Legendre符号的性质、Pell方程解的性质等证明了:(A)若r≡5 mod 12,则方程G:x3-1=2pqry2仅有平凡解(x,y)=(1,0);若r≡11 mod 12,则方程G最多有2组正整数解.(B)若r≡11 mod 12,则方程H:x3+1=2pqry2仅有平凡解(x,y)=(-1,0);若r≡5 mod 12且(pq/r)=-1,则方程H最多有2组正整数解.     

Diophantine方程x~3+5~3=2pqy~2的整数解

设p≡13(mod 24)为奇素数,q≡19(mod 24)为奇素数.运用同余的性质、Legendre符号的性质等得出了Diophantine方程x~3+5~3=2pqy~2无正整数解的一个充分条件.     

关于丢番图方程组x-1=3pqu~2,x~2+x+1=3v~2的整数解

设p,q是互异的奇素数,p≡q≡1(mod 6),本文主要利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序等证明了丢番图方程组x-1=3pqu2,x2+x+1=3v2除开p=7,q=181有非平凡解(x,u,v)=(60 817,±4,±35 113)外,仅有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1)。     

丢番图方程x~3±1=2pDy~2的整数解

设D=∏r+i(n∈Z),ri≡5 mod 6(1≤i≤n)为彼此不相同的奇素数,p≡1 mod 6为奇素数,关于丢番i=1图方程x3±1=2pDy2的初等解法至今仍未解决.运用Pell方程的解的性质、同余式、平方剩余、递归序列等讨论了丢番图方程x3±1=2pDy2的整数解的情况.     

关于Diophantine方程x~3+1=13qy~2的整数解

设D是无平方因子的正整数,D=∏s i=1pi(s≥2),pi≡1(mod 6)(1≤i≤s)为奇素数。关于Diophantine方程x3+1=Dy2的初等解法至今仍未解决。主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列,证明了q≡7(mod 12)为奇素数,且(q/13)=-1时,Diophantine方程x3+1=13qy2当q=7时有整数解(4 367,±30 252),(-1,0);当q≠7时仅有整数解(x,y)=(-1,0)。     

关于Diophantine方程组x+1=3pqu2,x2-x+1=3v2的整数解

设 p, q是互异的奇素数, p≡q≡1(mod6),主要利用递归序列、Pell方程和四次Diophantine方程解的性质证明了 Diophantine 方程组x+1=3pqu2,x2-x+1=3v2除开pq=7×13有非平凡解外,仅有平凡解。
     

方程x~3-1=2py~2有正整数解的判别条件

设p是适合p≡1(mod 6)的奇素数.根据二次Diophantine方程的性质,给出方程x3-1=2py2有正整数解(x,y)的新的判别条件.     

关于丢番图方程组x-1=3pqu2,x2+x+1=3v2 的整数解

设p,q是互异的奇素数,p≡q≡1(mod6),本文主要利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序等证明了丢番图方程组x-1=3pqu2,x2+x+1=3v2 除开p=7,q=181有非平凡解(x,u,v)=(60817,±4,±35113)外,仅有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1)。
     

关于丢番图方程x2±xy+y2=p(Ⅱ)

设是p为奇素数,该文证明了当p≡1(mod 6)时,对于给定的素数p,丢番图方程x2-xy+y2=p有且仅有2组适合x《y的正整数解.     

关于Diophantine方程x3+1=13qy2的整数解

设D 是无平方因子的正整数,D =∏si=1pi(s≥2),pi≡1(mod6)(1≤i≤s)为奇素数。关于Diophantine方程x3+1=Dy2的初等解法至今仍未解决。主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列,证明了q≡7(mod12)为奇素数,且q( )13=-1时,Diophantine方程x3+1=13qy2当q=7时有整数解(4367,±30252),(-1,0);当q≠7时仅有整数解(x,y)=(-1,0)。
     

关于Diophantine方程x~3±1=pqy~2

关于Diophantine方程x3±1=Dy2至今仍未解决.论文利用同余式、平方剩余、Pell方程解的性质、递归序列证明:(1)p≡1(mod 12)为素数,q=12s2+1(s是正奇数)为素数,(p q)=-1时,Diophantine方程x3±1=pqy2仅有整数解(x,y)=(1,0);(2)p≡1(mod 24)为素数,q=12s2+1(s是正奇数)为素数,(p q)=-1时,Diophantine方程x3±1=pqy2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于丢番图方程x~3±1=7qy~2的整数解

设D=7q,q≡1(mod6)为奇素数.关于Diophantine方程x3±1=7qy2的初等解法至今仍未解决.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列证明了(1)q=13,19,61时,丢番图方程x3-1=7qy2仅有整数解(x,y)=(1,0);(2)q=13,73,97时,丢番图方程x3+1=7qy2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于不定方程组x±1=6pqu~2,x~2■x+1=3υ~2的整数解

设p,q是互异的奇素数,p≡q≡1(mod 6),利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序等方法证明了不定方程组x-1=6pqu2,x2+x+1=3v2仅有平凡解(x,u,v)=(1,0,±1);而不定方程组x+1=6pqu2,x2-x+1=3v2仅有平凡解(x,u,v)=(-1,0,±1).