一类包含Smarandache LCM函数与广义欧拉函数的方程

利用伪Smarandache函数、Smarandache LCM函数以及广义欧拉函数的基本性质,运用初等数论的方法与技巧,讨论当e={3,4}时,数论函数方程Z(n²)=φ_e(SL(n))的可解性.     

一类包含完美数的欧拉函数方程的可解性

欧拉函数方程是一类重要的丢番图方程.本研究利用欧拉函数的性质与初等数论的方法,讨论含完美数的三元变系数欧拉函数方程 φ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)-k,(k=6,28)的可解性,并证明:当k=6时,该方程共有51组正整数解;当k=28时,该方程共有25组正整数解.     

方程φ5(n)=2(ω(n))的可解性

为将Lehmer同余式的模从素数的平方推广到任意整数的平方,Cai等(CAI T X, FU X D, ZHOU X. Acta Aritmetica, 2007,130(3):203-214.)定义了广义欧拉函数φ_e(n),给出了e=3,4,6时广义欧拉函数φ_e(n)的计算公式.最近Zhu等(ZHU C Z, LIAO Q Y. arXiv:2105.10870v1,2021.)确定了e=5时φ_e(n)的准确计算公式.利用初等的方法和技巧,研究方程φ₅(n)=2⁽ω(n))的可解性,确定其全部正整数解.     

关于一类欧拉函数方程的正整数解

设φ(n)为欧拉函数。本文研究欧拉函数方程φ(abc)=Kφ(a)φ(b)+Nφ(c)的可解性问题,其中N是偶数.利用初等方法给出方程在K=2,N=8时的全部正整数解。     

方程φe(n)=2 tω(n)的可解性

利用广义欧拉函数的性质和初等的方法与技巧,研究e∈{2,3,4,6}时,方程φ_e(n)=2~(tω(n))的可解性,给出其部分正整数解.     

一个包含Smarandache函数的方程的可解性及正整数解

主要目的是研究函数∑d|n-s(d)=φ(n)的可解性,并给出该方程的所有正整数解.其中∑d|n表示对n的所有正因子求和.     

一个数论函数方程的可解性

通过广义欧拉函数和不同素因子计数函数的性质,研究来一个含有数论函数方程的可解性,给出了方程的全部正整数解.     

方程φe(n)=ptω(n)(e=2,3,4,6)的可解性

利用广义欧拉函数的性质和初等的方法与技巧,研究e∈{2,3,4,6}时,方程φe(n)=p tω(n)(p为奇素数)的可解性,给出其部分正整数解及无解的几个充分条件.     

三元变系数混合型欧拉函数方程φ(abc)=3φ(a)φ(b)+4φ(c)的可解性

研究了三元变系数混合型欧拉函数方程φ(abc)=3φ(a)φ(b)+4φ(c)的可解性问题,利用初等数论的有关内容及计算方法,得出了该方程的所有共计87组正整数解。该计算方法有助于解决同类型方程的可解性问题。     

一类包含伪Smarandache函数与欧拉函数的方程

利用初等方法以及伪Smarandache函数和Euler函数的性质,讨论了一个数论函数方程Z(n~2)=φ(n~2)的可解性,证明了该方程仅有正整数解n=1.     

关于Smarandache LCM函数的方程S(SL(n~(14,36)))=φ_2(n)的可解性

令S(n)为Smarandache函数,SL(n)为SmarandacheLCM函数,φ_2(n)为广义欧拉函数。讨论方程S(SL(n~(14)))=φ_2(n)和S(SL(n~(36)))=φ_2(n)可解性,利用初等方法并结合函数φ_2(n)与函数S(n)的性质,给出了这两个方程的所有正整数解。     

关于方程■的可解性

利用伪Smarandache函数、Smarandache LCM函数和广义Euler函数的基本性质,结合初等的方法和技巧,讨论了当e=1,2,3,4时,不定方程Z(SL(n))=φ_e(n)的可解性,并给出了该方程的所有正整数解．     

数论函数方程tφ(n)+φ2(n)=S(SL(nk))的正整数解

设t∈N,n∈Z⁺,其中N和Z⁺分别是所有非负整数集合和所有正整数集合,利用欧拉函数φ(n)、广义欧拉函数φ₂(n)、Smarandache LCM函数SL(n)和Smarandache函数S(n)的性质以及初等数论的方法,得到了方程tφ(n)+φ₂(n)=S(SL(n¹³))只在t=0、1、2、3、4、5、7、10、13、15时有正整数解n及方程tφ(n)+φ₂(n)=S(SL(n¹⁸))只在t=0、1、3、6、7、9、14、18、19时有正整数解n,并给出了这两个方程的所有正整数解n。     

数论函数方程■的可解性

令φ₂(x)为广义欧拉函数,S(x)为Smarandache函数,SL(x)为Smarandache LCM函数,利用初等数论的方法及数论函数方程的性质,给出丢番图方程■的全部解为：(k,x)=(22,2),(42,3),(20,4),(20,5), (7,6), (4,10), (5,15).     

广义Euler函数方程φ6(n)=2ω(n)的解

设n是一正整数,讨论了广义Euler函数方程φ_6(n)=2~(ω(n))的可解性,基于初等方法获得了其所有的16个解.