关于求模n的剩余环的子环、理想问题

在近世代数中经常会遇到求剩余环Z_n的子环、理想、最大理想的问题。本文所讨论的问题是把求Z_n的子环、理想、最大理想的问题归结为求剩余类加群Z_n的子群问题。一、关于模n的剩余类加群Zn的子群因为模n的剩余类加群Z_n是由[1]生成的循环群,而循环群的子群是完全清楚的,     

循环群中剩余类加群的讨论

在循环群的研究中,整数加群和剩余类加群占有重要位置,文中对剩余类加群从结构、运算规律、性质等方面加以讨论研究,给出两个重要结论,从而将循环群中所有有限循环群的研究归结到对剩余类加群的研究上,并且两类循环群间是同态关系.     

关于整环内有限乘法子群的一个定理

<正> 我们知道整数环内{-1,-1}形成乘群,而且是一循环群;有限域F的非零元全体形成一乘群,且也是循环群。这不是偶然的,实际上有:定理:整环R内有限乘法封闭子集G必是循环群。在证明此定理之前,我们先看下面几个引理。引理1:若a,b是群G中元,ab=ba o(a)=m o(b)=n(m,n)=1,则     

加群是循环群的n元环的同构分类

D.M.Bloom讨论过在同构意义下四元环的个数问题。他得到的结果是:互不同构的四元环共有11个,其中加群是循环群的四元环为3个。我们自然会问,互不同构的n元环有多少个?这是一个比较困难的问题。但是,当n元环的加群是循环群的时候,本文得到了如下结果: 定理 在同构意义下,加群是循环群的n元环的个数等于n的正因数的个数。 为了证明此定理,先给出下述符号和引理:     

关于U－循环环和双循环环

设Ｒ是有单位元的环．我们称Ｒ为循环环，如果加群（Ｒ，＋）是循环群；称Ｒ为Ｕ－循环群，如果Ｒ的全体单位作成的乘群Ｕ（Ｒ）是循环群；称Ｒ为双循环环，如果（Ｒ，＋）和Ｕ（Ｒ）都是循环群．本文利用（Ｒ，＋）与Ｕ（Ｒ）的一些性质讨论环Ｒ的性质和结构，所得主要结果如下：（１）若Ｒ是Ａｒｔｉｎ半单环，则Ｕ（Ｒ）是有限的当且仅当Ｒ是有限的．（２）域Ｆ是Ｕ－循环环当且仅当Ｆ是有限的．（３）若Ｒ是域Ｆ上所有ｎ阶上三角形矩阵作成的环，则Ｒ是Ｕ－循环环当且仅当ｎ＝２和Ｆ≌Ｚ２．（４）若Ｒ是无限环，则Ｒ是双循环环当且仅当Ｒ≌Ｚ．（５）设Ｒ是有限环且｜Ｒ｜＝ｎ＞１，则Ｒ是双循环环当且仅当Ｒ≌Ｚｎ，ｎ为２，４，ｐｋ，２ｐｋ，其中ｐ为任意奇素数，ｋ为任意正整数．     

关于U－循环环和双循环环

设Ｒ是有单位元的环．我们称Ｒ为循环环，如果加群（Ｒ，＋）是循环群；称Ｒ为Ｕ－循环群，如果Ｒ的全体单位作成的乘群Ｕ（Ｒ）是循环群；称Ｒ为双循环环，如果（Ｒ，＋）和Ｕ（Ｒ）都是循环群．本文利用（Ｒ，＋）与Ｕ（Ｒ）的一些性质讨论环Ｒ的性质和结构，所得主要结果如下：（１）若Ｒ是Ａｒｔｉｎ半单环，则Ｕ（Ｒ）是有限的当且仅当Ｒ是有限的．（２）域Ｆ是Ｕ－循环环当且仅当Ｆ是有限的．（３）若Ｒ是域Ｆ上所有ｎ阶上三角形矩阵作成的环，则Ｒ是Ｕ－循环环当且仅当ｎ＝２和Ｆ≌Ｚ２．（４）若Ｒ是无限环，则Ｒ是双循环环当且仅当Ｒ≌Ｚ．（５）设Ｒ是有限环且｜Ｒ｜＝ｎ＞１，则Ｒ是双循环环当且仅当Ｒ≌Ｚｎ，ｎ为２，４，ｐｋ，２ｐｋ，其中ｐ为任意奇素数，ｋ为任意正整数．     

幂零类是2的有限幂零群的轨道长度

为研究有限幂零群G忠实作用在一个可解群H上的轨道长度，假设有限幂零群G忠实不可约作用在一个初等交换q-群V上，则可得Z(G)是循环群，且对任意V中元v，中心化子CG(v)与Z(G)交一定等于1，考虑中心化子阶的情况。假设G是幂零类为2的有限群且Z(G)是循环群，若子群S 满足|S| 2>|G|，则S与中心Z(G)交不等于1。若G忠实不可约作用在初等交换q-群V上，证明了所有的最小轨道长度的平方大于等于群G的阶。     

关于Szász的一个定理

Szász证明了:群G为循环群的充要条件是其子群恒为G~([m])这样的(其中m为整数,G~([m])是G中所有元素的m方作成的子集生成的子群),本文给出Szász定理的一个初等证明。     

由一个加群构造的一类交换环

由一个加群G=(〈x〉 ,〈y〉) ,此处mx≠ 0 ,my≠ 0 ,对任意非零整数m ,构造出一类交换环Rm,m=1 ,2 ,3,… ,使得Rm 与Rn(m ≠n)不同构 ,且对任何m与n ,Rm 有无穷多个同构于Rn 的子环 .     

关于循环群的子群的探讨(英文)

群是抽象代数最基础的一个概念,而循环群是群论中最简单、最特殊的群。循环群的学习对群、环、域的进一步研究有着重要的意义。着重讨论了循环群子群所具有的性质,及子群与子群间的内在联系,并归纳和推导出循环群的交与并的重要结论。     

群环Z_n[i]G关于增广理想的平凡扩张的零因子图的性质

该文主要研究了群环Z_n[i]G关于增广理想Δ(G)的平凡扩张的零因子图的性质,分别给出了环Z_n[i]G■Δ(G)的零因子图的围长,平面性和直径的完全刻画,其中Z_n[i]是模n高斯整数环,G是素数阶循环群.     

一类环面的Kfihler度量

首先构造了利用无限循环群作用所形成的一类环面,此循环群异于环面的常见构造群;然后构造了此类环面的整体向量场;最后构造了此类环面的复结构和与此复结构相融的K(a)hler度量,并利用此度量表示,Loewner环不等式和Loewner环收缩缺陷不等式给出了所构造环面中部分环面面积的下界.     

一类环面的Kfihler度量

首先构造了利用无限循环群作用所形成的一类环面,此循环群异于环面的常见构造群；然后构造了此类环面的整体向量场；最后构造了此类环面的复结构和与此复结构相融的K(a)hler度量,并利用此度量表示,Loewner环不等式和Loewner环收缩缺陷不等式给出了所构造环面中部分环面面积的下界.     

某类群之增广理想及其增广商群的基底

令H是任意非Abel有限群G的完全正规子群,记△n(G)为整群环ZG的n次增广理想,Qn(G)为增广商群△n(G)/△n 1(G).当G/H为循环群或基本p-群时,给出了△n(G)的一组基底,确定其增广商群Qn(G)的结构.     

4次对称群S_4的子群个数及其证明

使用Lagrange定理及n次对称群的基本概念证明了4次对称群存在且只存在30个子群,并给出了每个子 群．其中,除去两个平凡的子群,另有9个2阶循环群;4个3阶循环群;3个4阶循环群;4个Klein4元群;4个S3(在 同构意义之下);3个8阶子群以及1个12阶子群．     

线性齐次型上的周期作用

对于一个给定的整系数线性齐次型,考虑整数环上一般线性群中一个线性变换对该线性齐次型的系数的作用。特别地,由定义在数字半群上的线性齐次型的角度出发给出了一个充分条件,如果一般线性群中一个有限周期线性变换满足该条件则存在一个与之共轭线性变换,使得该共轭线性变换生成的循环群作用于一个容许型后所得一族型都是容许型。此外,还给出了一般线性群中一个线性变换相对某个型是有限周期作用的充要条件。     

变换可用多项式表示的环

本文在一般环上引入了多项式(实为多项式左函数的简称)的概念,用此讨论了变换可用多项式表示的环。所得结论有:变换可用多项示的域必为有限域;一般言之,变换可用多项式表示的环是除环,且特征一定是p(素数);若进一步限制多项式表示的形式为a_0 a_1x,那么变换用多项式表示的环就是有限域。群可与该群集合上的若干变换所成的群同构,一个有单位元的环也与该环集合上的若干变换(一般指环的加群的某些自同态)构成的环同构它们都是用集合上的变换去描述该代数系的。本文是在限定环的集合上的变换都具有某种特殊形式的条件下,讨论这种环的性质和结构。以下讨论的环R,总假定为非零环,即环R 至少含有两个元。     

有限循环群的若干特征性质

本文的主要内容是,利用初等数论的一个已知结论证明有限循环群的一个特征性质:n元群G为循环群фG中若有S阶元素,则恰有ф(S)个S阶元素。这就是文中的6°。而后,利用这一特征性质,证明有限循环群的四个性质都是其特征性质,即文中的7°,8°,9°,10°。本文还综述有限循环群的其他特征性质。本文中运用了初等数论的某些知识,大量运用了群的元素的阶的一些性质,我们假定这些结论都是已知的。     

关于Fuzzy理想

[3]给出了fuzzy子环和fuzzy理想的定义。本文对两类特殊环的fuzzy理想的性质作一点初步探讨。R是环,A是R上的fuzzy子集,称A为R上的fuzzy右(左)理想,若(1)A是R上的fuzzy子加群,(2)μ_A(yx)≥μ_A(y)[μ_A(xy)≥μ_A(y)]     

Hamilton群环

每一个子群(子圈)都是正规子群(子圈)的(不可换)群(圈)叫做Hami lton群(圈),记作H-群(圈),它们的结构分别在〔3〕、〔4〕中解决了.每一子代数都是理想(左理想)的代数叫做H(左H)一代数.刘绍学教授在〔1〕、〔2〕中完全刻化了H-Joran代数,H(左H)-交错代数的结构.每一个子环都是理想的环叫做Hamilton环记作H-环,它的结构已讨论的较多了(参看:谢帮杰:“抽象代数”书后参考文献〔35〕-〔39〕).本文,研究Hamilton群环.设R是有1的结合环.G是群,用R(G)表示R,G的群环.