富里埃級数的蔡查罗絕对求和

§1.导言设f(x)～1/2α_0+sum from n=1 to ∞(α_ncos nx++b_nsin nx),帕蒂于[1]中证明了: 定理A.设f(x)是一个周期2π的可积周期函数。{λ_n}是一个凸的数列,它满足∑n~(-1)λ_n<∞。则当x_0是f(x)的勒贝格点时,级数1/2α_0λ_0+sum from n=1 to ∞λ_n(α_ncos nx_0+b_nsin nx_0)是     

谈一个极限问题

考虑α_1=2~(1/2),α_2=2~(1/2)~(α_1),…,α_(n+1)=2~(1/2)~(α_n),…。这个序列{α_n},容易证明是单调上升的有界序列,因而有极限,记为A。对α_(n+1)=2~(1/2)~(α_n),两边取极限,即有A=2~(1/2)~A,解得A=2。但一般地,如果序列的底数不是2~(1/2),而是x>0时,能否仍有收敛性呢?其极限是什么?下面谈谈这个问题。今讨论x>0时,α_1=x,α_(n+1)=x~(α_n),n=1,2,…,所成的序列{α_n}的极限问题。如果{α_n}收敛,并把这个极限记为A,即limα_n=A。因为α_(n+1)=x~(α_n),两边取极限得     

VFS收敛的Dini判别法

Walsh引进函数φ_0(x+1)=φ_0(x),φ_n(x)=φ_0(2~nx)。由此得到[0,1]上完全正交系{φ_n(x)}。这里φ_0(x)=1, φ_n(x)=φ_n_1(x)·φ_n_2(x)…φ_n_r(x), n=2~n1+2~n2+…+2~nr,而n_(i+1)相似文献   

多项式项级数的积分定理

在本文中给出两种方法来求:当n→∞时, J_n(ω)=integral from n=-1 to 1 ρ(x)((u_n(1)-u_n(x))/(1-x)~ω)dx的渐近表达式,这里u_n(x)为n次多项式,ρ(x)为适当选取的函数在开区间(-1,1)中连续并取正值,ω为适当的正实数。第一种方法利用多项式u_n(x)具有特殊形式的循环公式。第二种方法是:当u_n(x)具有洛巨里格表达式且ω的取值在适当的区间中时,可以求出(?)_n(ω)=integral from n=-1 to1 ρ(x)((u_n(x))/(1-x)~ω)dx,于是利用解析延拓法,当ω的取值在更大的区间中时,可以求出J_n(ω)。利用第二种方法证明了下述定理: 设α≥-1/2且α≥β>-1。令f(x)=sum from n=0 to ∞c_nP_n~((α,β))(x),这里P_n~((α,β))(x)表示雅谷比多项式,如果c_n终规为正,且sum from n=0 to ∞c_nP_n~((α,β))(1)=0, 则按照λ=1或1<λ<2,integral from n=0 to 1 ((f(x)/(1-x)~λ))dx存在的充要条件分别是Σc_nn~αlogn收敛或Σc_nn~(α 2(λ-1))收敛。利用本定理即可推出:作者在函数项级数的积分一文中所证明的关于勒襄特级数及切比晓夫级数的两定理。     

二维系统的渐近解法

研究方程组(dx)/(dt)=y+εP(x,y,ε),(dy)/(dt)=-g(x)+εQ(x,y,ε), (1)其中ε为小参数。令V(x)=integral from 0 to x g(u)du。假设g(x),V(x),P(x,y,ε)和Q(x,y,ε)满足下列条件:(i)g(x)、P(x,y,ε)和Q(x,y,ε)有所需的各阶导数,g(0)=P(0,0,ε)=Q(0,0,ε)=0;(ii)存在四个数,β_2<β_1≤0≤α_1<α_2,使V(α_1)=V(β_1),V(α_2)=V(β_2);当x∈(α_1,α_2)     

绝对正则序列强大数律的收敛速度

r·v·序列强大数律的收敛速度问题曾被许多作者讨论过。最近Berbee在[1]中研究了有界非平稳绝对正则序列{η_i,i≥1}强大数律的收敛速度,他在混合速度:sun from n≥1(n~(p-2)β_n<∞(1))的条件下(β_n是混合函数,定义是§1)证得了 对ε>0 sun from n≥1(n~(αp-2)P(_k≤n~mαx|S_k|≥εn~α))<∞(其中(1/2)<α≤l,αp≥1,p≥1)这一结果与i·i·d·情形下相应的结果一致,因而是理想的。本文用精细的分组方法对无界情形证得了相应的结果,同时还讨论了足标为随机数时的情形。     

有限区间上的分数阶扩散-波方程的解

考虑如下的分数阶扩散 波方程:Dαtu(t,x) = a2Dβxu(t,x),　t >0,0< x < l,0<α≤2,0<β≤2,u(0,t) =0, u(l,t) =θ(t),　t≥0,u(0,x) =φ(x),　0≤x≤ l(如果0<α≤1),ut(0,x) =0,　0≤x≤ l(如果1<α≤2).其中Dαt 和Dβx 分别为关于时间t 和空间x 的α次、β次 Caputo分数次算子, θ(t)为给定的函数. 利用 Dαt 和 Dβx 的变换, 给出该问题的解的表达式.     

平稳序列在任意区间上的极限分布

着重讨论了弱混合条件D(u_n,t_n),D’(u_n,t_n~(c))下,平稳序列在任意区间I_n上的第r个极值的极限分布.得到当I_n是含v_n个整数的区间时,即当v_n～θ_n.0<θ<1,对整数r≥1,有     

Cesàro平均的带权强求和

设f(x)∈L~P(Ω_n),1≤P≤2,δ>(n-1)(1/p-1/2),而σ_N~8(f)(x)表示f(x)在n维球面Ω_n上的Ces(?)ro平均.本文证明了(?)1/(N+1)sum from k=0 to N|σ_k~8(f)(x)-f(x)|~2a_k=0 a、e、x∈Ω_n其中权系数a_k>0满足1≤1/N+1(sum from k=0 to N)a_k≤A(A是一个绝对常数)     

Clifford分析中的一些边值问题

我们考虑以 e_A=e_(α1)…e_(?)(A={α_1,…,α_h}(?){1,2,…,n},1≤α_1<α_2<…<α_h≤n)为基底元素的实 Clifford 代数 A_n(R),其中 e_1=1,e_k~2=1(k=2,3,…,n),e_ke_m+e_me_k=0(k(?)m,k、m=2,…,n).并且用 V_n 表示由 e_1,…,e_n 所张成的 A_n(R)的子空间.V_n 中的元素为 x=sum from k=1 to n x_ke_k,An(R)中元素为 u=sum from A x_Ae_A.设 D 为 V(?)中的连通开集.在实 Clifford 分析中研究函数类     

对称定常微流边界层

利用Oleinik的经典线性化方法,讨论对称定常微流边界层方程{uu/x+vu/y=Udu/dx+[v(y)uy]/y (ru)/x+(rv)/y=0,满足边界条件:u(0,y)=0,u(0,x)=0,v(x,0)=v0(x),lim u(x,y)y→∞=U(x)解的适定性问题.其中,v(y)>0是粘性系数,满足一定的限制条件.     

直径为4的奇优美树

对于简单图G=, 如果存在一个映射f: V→{0,1,2,...,2E|-1}满足:对任意的u,v∈V,若u≠v,则f(u)≠f(v);max{f(v)|v∈V}=2|E|-1;对任意的e1,e2∈E,若e1≠e2,则g(e1)≠g(e2),此处g(e)=|f(u)-f(v)|,e=uv;{g(e)|e∈E}={1,3,5, ...,2|E|-1},则称G为奇优美图,f 称为G的奇优美标号.提出一个猜想:每棵树都是奇优美的,文章证明了直径为4的树都是奇优美的.     

Legendre方程的参数解

给出了Legendre方程通解即定理1.     

复超球上的Hilbert边值问题

本文给出了复超球上的Hileert问题的提法及相应问题的解法的可解条件,得到一定条件下的相应问题的解的具体形式。     

关于方程Sx（n）=Sy（3）的商榷

与第m个n角数Sm(n)相联系的方程Sx(n)=Sy(3),证明了：（1）当D＝n-2是非平方数,且u12-Dv12=-1有解（u1,v1)时,则该方程有无穷多组解。（2）当n-2是非平方数时,该方程或者无解或者有无穷多解,举例说明了结论（1）中u12-Dv12=-1有解的条件不是必要的,还指出文献[3]中的错误。     

关于方程S_x(n)=S_y(3)的商榷

与第m个n角数Sm(n)相联系的方程Sx(n) =Sy( 3) ,证明了 :( 1 )当D =n -2是非平方数 ,且u12 -Dv12 =-1有解 (u1,v1)时 ,则该方程有无穷多组解 .( 2 )当n-2是非平方数时 ,该方程或者无解或者有无穷多解 .举例说明了结论 ( 1 )中u12 -Dv12 =-1有解的条件不是必要的 .还指出了文献 [3]中的错误     

关于丢番图方程1+2x7y+2z5u7v=5w

设x,y,z,u,v,w为非负整数,用计算机辅助方法给出了指数丢番图方程1+2^x7^y+2^z5^u7^v=5^w的全部非负整数解：(x,y,z,u,v,w)=(1,0,1,0,0,1),(1,1,1,1,0,2),(2,0,2,1,0,2),(3,0,4,0,0,2),(4,0,3,0,0,2),(4,1,9,0,0,4),(5,1,4,2,0,4),(6,0,4,1,1,4),(9,0,4,0,1,4).     

二维定常的微流边界层解的存在性

证明了二维边界层uδu/δx＋vδu/δy=vδ2u/δy2-dp/dx和δu/δx＋δv/δy=0满足边界条件：内解的存在唯一性,其中：X是适当小的正数;     

三维多项式微分系统在z轴附近的极限环

考虑三维多项式微分系统x=-y(1+x)+ε(ax+F(x,y,z)),y=x(1+x)+ε(ay+c(x,y,z)),z=ε(cz+R(x,y,z))(F(0,0,z)=0,G(0,0,z)=0),利用一阶平均理论得到上面系统可以从x=-y(1+x),y=x(1+x),z=0的周期轨中分支出n2个极限环,最后用一个例子展示主要结果的简洁性和有效性.