一类具有n~2—n阶细焦点的平面n(偶数)次系统

对于右端为n次多项式的二阶微分自治系统,实域中的细焦点、细鞍点以及复域中的细临界型奇点其最高精细度M(n)?为多少,在文献[1]中就n=3提出了上述问题,并证明了M(3)≥7。文献[2]中则给出了E_3由中心点分枝出7个极限环的实例。对M(n)的估计显然与Hilbert第16问题密切相关,但对n≥4的情况几乎还没有结果。本文对任一偶数n,     

一类三次系统的奇点量公式和可积性条件,M(3)≥7

为了统一地处理实平面微分自治系统的焦点量和鞍点量,文献[1]中引进并讨论了复自治微分系统的奇点量。一个至今尚未解决的问题是:右端为三次多项式的二阶微分自治系统,实域中的细焦点、细鞍点以及复域中的细临界型奇点其最高精细度为多少(M(3)=?)。由文献[2]与[3]中的结果可得M(3)≥5。本文讨论系统     

二次系统(Ⅲ)δ=-m的极限环(一)

考虑二次系统(Ⅲ)_(δ=-m,l=0)■不失一般性,其中巳取b=-1.本文假定n>1. 系统(1)最多存在四个奇点.当-2<δ<0时,O(0,0)为不稳定焦点,N(0,1/n)为鞍点.O与N均位于直线y=ax+1的下侧.当时(例如|δ|<<1),     

Noether环的降链条件

设R是带有单位元的结合环,我们用_R表示R左酉模的范畴。设σ是_R上一个挠根(其定义及性质见文献[1,2],注意文献[2]中称挠根为幂等核函子)。说一个模M是σ-挠的,如果σ(M)=M;说M是σ-挠自由的,如果σ(M)=0。说模M的子模N是M的σ-稠密子模,如果M/N是σ-挠的;说N是M的σ-闭子模,如果M/N是σ-挠自由的。     

非线性定常系统极限环的存在与唯一性

1.设a,l、m、n、b为实数,对于非线性定常系统 dx/dt=ax-y+lx~2+mxy+ny~2 dy/dt=x+bxy (1) 得到定理1 若a=0,且l-b=0或m~2-4n(n+b)≥0,则系统(1)在整个平面上不可能有极限环。定理2 当真a≠0,但l=0或l-b=0时,系统(1)可分别在两奇点O(0,0)、N(0,1/n)外围出现极限环,但不能同时存在,如存在必唯一。定理3 若n=0或n+b=0成立,则当a≠0时,系统(1)可存在包含原点O的极限环,但最多一个。     

mod_pΛ中无短链的有限表示型自入射代数存在Hall多项式

在文献[1]中,Ringel定义了Finitary环A上的Hall代数(?)(A).它是以{u_[M]}[M]为基的自由Abel群,其中[M]表示有限A模M的同构类,(?)(A)的定义如下:u_[N_1]×u_[N_2]=sum from [M] ((F_(N_1)~M)×(N_2)×u_[M])由于A是Finitary环,上式右端是有限和.这里F_(N_1N_2)~M是M的适合L（?）N_2且M/L（?）N_1的子模L的个数.Hall代数(?)(A)是有单位元1=u_[0]的结合环.为简便,总假定A是有限域k上的有限维代数.所有的有限A模构成的子范畴记为mod-A.由文献[1～3]可知,Dynkin型或仿射型遗传代数的Hall代数与相应的Kac-Moody Lie代数及其量子包络代数均有深刻的内在联系,而Hall多项式在1处的赋值恰好给出了对应Lie代数的结构系数.在文献[2]中Ringel猜测:任意有限表示型k-代数总存在Hall多项式.Ringel证明了表示直向代数有Hall多项式.Guo等人证明了mod-A中没有短圈的代数A有Hall多项式.在这篇短文中,我们证明了mod_pA中没有短链的有限表示型自入射代数A存在Hall多项式.     

交换线性紧致环上的多项式环

本文中的R表示含单位元的交换结合环,模指酉模,未定义的概念和符号见文献[1]和[2].称R为co-Noether环(Vamos),如果每个有限cogenerated R-模均为Artin模(线性紧致模).M(?)ller定理陈述为环R具有Morita对偶当且仅当R为线性紧致的V(?)mos环(见文献[2]的定理4.3及定理4.5).Anh在文献[4]中证明了线性紧致环具有Morita对偶(见文献[2]的定理6.8),从而线性紧致环为V(?)mos环.关于线性紧致模及Morita对偶的概念及性质(见文献[2]第一章).本文证明了线性紧致环R为Noether环当且仅当R上的多项式环R[x]是co-Noether环(V(?)mos环).由此,我们给出一个例子对Faith在文献[3]中提出的3个公开问题给予否定的回答.设M为R-模,M[x~(-1)]为由所有形如     

平面三次微分系统多重Hopf分枝的环性:M(3)≥7

近年来,英国数学家M.G.Lloyd等三人,中国奥地利访问学者D.M.Wang和刘一戎等先后给出不同的例子证明,平面三次多项式微分系统至少存在六个小振幅极限环,即由原点产生的多重Hopf分支的环性(Bautin意义下)值M(3)≥6。 我们研究具有中心型奇点的N次多项式系统的一次非线性unfolding系统(n>     

n=3的Hilbert第十六问题:H(3)≥11

用H(n)记平面n次多项式微分系统的极限环最大个数。用C_(?)~k表示套在一起的一串k个包含重数和为m的多个奇点的极限环,用“ ”号分开同一串极限环内包含的包住不同奇点的极限环,并简记C_(?)~k C_(?)~k=2C_(?)~k等。例,是指一个包围九个奇点的极限环大圈包住两串包围三个奇     

交换环上一类特殊模的同调维数

文献[1]中证明:在一个交换环上单模平坦,当且仅当它内射,这个结果在文献[2]中有所推广,本文使用不同的技巧推广文献[2]中的主要定理.本文假定所有的环都是具有单位元的交换元,并且采用文献[3]中的符号.本文的主要结果如下:定理 设R是一个交换环,A是一个交换诺特环,(?):R→A是一个环同态.N是     

临界情况下Heteroclinic环的稳定性

设系绕全一P(x,y),夕~Q(:,y),p、夕〔c‘有一孤立的Heteroelini。环s‘.,,乎,,由。个初等鞍点o,(x,,,,)及”条Hetero-。linic轨道s,i(x~甲‘s(t),,~沙‘,(t))组成.设系统在O,处的特征值为1户>。>‘:,‘厂一器 几一几IAZ…i。。定性理论的一个问题是判定奇环梦.’的稳定性.对。~l,A.A.A甘及因HOB在。~di,(P,Q)}‘x.。,的情况下解决了此问题.几.A.qepKac对。)l,证明若孟>l(相似文献   

Steinberg群的分解

令A是含1结合环,St_n(A)为A上维数n的steinberg群,稳定Steinberg群St(A)是St_n(A)在自然方式下的正向极限(参阅文献[1,2]),一些作者研究了St(A)和St_n(A)的元素的各种正规形式(见文献[3—7]),其中Sharpe给出一个分解St(A)=LPLU。不幸的是,Sharpe的分解对于任何维数的非稳定Steinberg群不成立,即使A是整数环或多于3个元素的域的情形也是如此。     

磁场下K_4[Fe(CN)_6]·3H_2O的穆斯堡尔谱

用~57Co/Pd单线放射源,在室温下测得了K_4[Fe-(CN)_6]·3H_2O在外磁场中的M(?)ssbauer谱。实验中吸收体K_4[Fe(CN)_6]·3H_2O(A. R. 级)被置于磁场方向与r射线垂直的外磁场中。 K_4[Fe(CN)_6]·3H_2O中的Fe~(2 )处于O_h对称性的配体场中,其电子构型为t_(2g)~6e_g~0因而晶体场和价电子对电场梯度的贡献均为零,在没有外加磁场的情况下,其M(?)ssbauer谱呈单线吸收。     

曲面在4-流形中的嵌入(Ⅱ)

本文是文献[1]的续篇,因此符号与定理编号均与文献[1]一脉相承。 一、二维球面的嵌人(续) 下面的定理是关于殆定流形M中一个本原类x∈H_2(M)之可表示性的,此处x~2=0。取     

S_p(4,K)的单模的扩张(Ⅱ)

设G=S_p(4,K),K是特征数p>0的代数闭域。在文献[1]中笔者对奇素数p完全确定了单G-模的扩张,本文讨论P=2的情形。由于对某些λ∈X_1(T),Ext_(G_1)~1(L(λ),L(λ))可以不等于零,相应的讨论要比奇素数p的情形复杂一些。除非另外说明,我们仍使用文献[1]的记号。     

关于Hensel赋值环

设L|K是代数扩张,B是L的Hensel赋值环,问在什么条件下,A=B∩K也是Hensel的?1942年Kaplansky和Schilling提出这个问题,并对一阶的情形给出了一个充分条件。1966年代执中对有限阶的情形给出了一个充分条件,1967年Ribenboim对一阶的情形改进了文献[1]的结果,1968年Endler对一阶的情形又改进了文献[3]的结果,并给出了另     

关于算子方程A=A~*C

H是复Hilbert空间,B(H)是H上有界线性算子全体,C是复数域。对任何A,A~(-1)∈B(H),文献[1]中称算子C=A~(*-1)A为A的极·积算子,文献[1]对C作了较多研究,文献[2]中以极·积算子为工具,给出H上算子方程λA~2+μA~(*2)=αA~*A+βAA~*(λ,μ,α,β∈C)可解性的研究,并写出了它的全部解。文献[2]中主要用到当C为正常算子时,方程C=A~(*-1)A可解的充要条件以及它的全部解的表达式(见文献[1]定理5)。这就很自然地促使人们研究     

关于调和同态的一个Bernstein型定理

设φ:M→N是Riemann流形间的光滑映照。如果φ将N上调和函数芽拉回到M上的调和函数芽,则称φ为调和同态。调和同态等价于水平弱共形调和映照。研究调和同态的文章已越来越多,尤其在低维流形情形(参见文献[3～7])。在文献[4]中,Baird和Wood证得:(ⅰ)任何从三维球面(S~3,g_(can))到一Riemann曲面N~2的非常值调和同态必为Hopf纤维化π:S~3→S~2与一个弱共形映照的复合。特别地,N~2=S~2。(ⅱ)任何从R~3到N~2的非常值调和同态是正交投影R~3→R~2与一个弱共形映照的复合。本文希望将此结果推广到高维,我们有     

modpΛ中无短链的有限表示型自入射代数存在Hall多项式

<正>在文献[1]中,Ringel定义了Finitary环A上的Hall代数(?)(A).它是以{u_[M]}_[M]为基的自由Abel群,其中[M]表示有限A模M的同构类,(?)(A)的定义如下     

高度近似最佳2-3树

2-3树是一种很重要的平衡搜索树。文献[1]中叙述了2-3树(也叫3-2树)的定义(在每个内点上存放一个或两个关键字,且分别具有两个或三个儿子点;所有外点在同一层上)。显然,具有N个关键字的2-3树,其高度h在log_3(N 1)≤h≤log_2(N 1)之间。在这种树上的最坏搜索时间是O(h)。文献[1]中还给出了对它的O(h)时间的插入算法。通过该插入算法插入每个随机关键字而生成的2-3树叫动态自由2-3树。文献[2]研究了N→∞时这