尼可里斯基定理的拓廣

1.設f(t)是以2π為周期的函數,在區間[-π,π]上是L可積的,在一定點x若有正數α和M使 |f(x+h)-f(x)|≤M|h|~α (1)對於任何實數h成立,我們稱x是f(t)的一個Lip_Mα點,此時簡記f(t)∈Lip_M(x,α)。     

關於解析函數的一個極值性質

本文通過極值函數的造作,利用從屬原理来估計一族解析函數的模和它的係數,並且證明另一族解析函數的一個掩蔽定理。類似的問題,曾經被Z.Nehari所研究。本文所得的結果,可述如下: 定理1.設f(z)=αz+…在單位圓的內部|z|<1是正則的,並且|f(z)|<1。設由W=f(z)將|z|<1映照成黎曼面W(f),W(f)在W平面上的投影成一區域D_f。假如D_f有如下的境界點d:圓|W|<|d|被W(f)的一葉而只有一葉所遮蓋,     

解析函數的環

1、總說 設D是平面上的一個區域,假如對於D的每一個境界點存在D上的一個有界解析函數在此點是非常點,那末稱D是一個班勒維(Painlevè)區域。設B(D)是D上的有界解析函數的全體,依通常的加法及乘法B(D)形成一個環。Chevalley和Kakutani證明:當D与D′都是班勒維區域時,存在由B(D)到B(D′)的代數同構映照φ的充要條件是(i)存在將D′映照到D的單葉解析函數φ(x′)使當f∈B(D)     

關於核的因子分解

Ⅰ.引言§1.在這篇文章里,我們將引用下符號: AB=AB(x,y)=integral from n=a to b A(x,s)B(s,y)ds, (?)=(?)=integral from n=a to b A(x,s)B(y,s)ds, (?)=(?)=integral from n=a to bA(s,x)B(s,y)ds, (f,g)=integral from n=a to bf(x)g(x)dx,‖f‖~2=(f,f), Kψ(x)=integral from n=a to b K(y,x)ψ(y)dy。在(?)及(?)中,我們稱A為左因子,B為右因子抑^(?)及(?)是由於“A右乘以B”或“B左乘以A”得來的。此外,記(?)是一個(x,y)的函數,這個函數合有n個因子A_1(x,y),A_2(x,y),…,A_n(x,y),且認為它是由於從左至右逐次將前面運算所得的左因子右乘以緊接着後面的右因子經過(n-1)次運算得來的?(?)是由於以(?)为左因子右乘以右因子A_3(x,y)得來的。(?)是由於以(?)為左因子右乘以右因子A_4(x,y)得來的。依此類推,則A_1A_2A_3…A_(n-1)A_n(x,y)是由於以A_1A_2…A_(n-1)(x,y)為左因     

关于典型实照函数的一些性质

§1 引言 1-1.设區域B包含實軸上的一些區間I,f(z)是B中之一半純函數。設f(z)在這些區間I上取到實值,並且在其餘部分,(f(z))与(z)常常保持同號:即當(z)>0時,(f(z))>0; 當(z)>0時,(f(z))<0, 羅各辛斯基稱這種函數f(z)為區域B上的一個典型實照函數。戈魯辛研究這樣的函數族T_r:其中任一函數f(z)在單位圓|z|<1上是典型實照的正則函数,並且f(0)=0,f＇(0)=1。他證明了下面兩個定理:     

二阶线性常微分方程张力样条配置解的渐近表示及其外推

设u″(x)+p(x)u′(x)+q(x)u(x)=f(x) a≤x≤bu(a)=u_a u(b)=u_b (1)其中p(x),q(x)∈c~3[a,b],f(x)∈c~3[a,b],q(x)≤q_0<0或q(x)≥q_1>0,由常微分方程基本理论知存在唯一的u(x)∈c~5[a,b]满足(1).又设△是[a,b]的一个等距分划     

近於凸的奇函數

1.序言 對在圓|x|<1中的解析函數f(z),若在圓|z|<1中存在一個凸像函數φ(z),使f′(z)/φ′(z)有大於0的實部,我们说f(z)在圆|z|<1中,对于φ(z)为近于凸的函數。當f(Z)與φ(z)分别满足條件f(z)=-f(-z),φ(z)=-φ(-z)时,称     

关于右导数的一点注記

在学习欣欽的“公用事业理論的数学方法”一书的第一部分时,我們发现其中的导数实际上应該是右导数。在該书§10巴尔姆公式的一节中更牵涉到右导数的积分問題。为此我們对于初等微积分的內容作了一些如下的补充。引理1 若f(x)連續于[a,b],f(a)=f(b),且于[a,b]上右导数f+′(x)存在,則必存在x_1,x_2ε[a,b)使f′+(x_1)≥0;f′+(x_2)≤0。[証明] 由f(x)的連續性和f(a)=f(b),可知f(x)在[a,b)上达到最小值与最大值,分別令它們为f(x_1)与f(x_2),x_1,x_2ε[a,b)。此时不难看出成立着     

牛顿—莱布尼兹公式的一个推广

本文将证明牛顿—莱布尼兹公式对于 schwarz 导数亦成立。设函数 f(x)定义在[a,b]上,若对于 x∈(a、b)(?)(f(x+h)-f(x-h))/(2h)存在,则该极限值为 f(x)在点 x 的 schwarz 导数。记作 f~s(x)引理1 设 f(x)是[a,b]上的连续函数,f~s(x)在(a、b)上存在,若 f(b)>(<)f(a),则存在点,c∈(a,b),使得:f~s(c)≥0(≤0)引理2 设 f(x)在[a,b]上连续,f~s(x)在(a,b)上存在,f(a)=f(b)=0,则存在点 x_1,a相似文献   

關於典型實照函數的一些估計

1.設函數f(z)在含有一段實軸的區域G中是正則的,f(z)在實軸上取實值,在區域G的其他部份,滿足下面的條件: 當(?)(z)>0時,(?)(f(Z))>0; 當(?)(z)<0時,(?)(f(z))<0。(1)稱這種函數f(Z)為區域G上的一個典型實照函數。設區域G為單位圓|z|<1,在|z|<1上的一切典型實照函數f(z)適合條件f(0)=0,f′(0)=1的全體成一函數族T_r。戈魯淨證明:對於T_r中任一函數f(z),必有單調增加的實函數a(θ),(0≤θ≤π),適合於     

应用拉格朗日中值定理证函数不等式

如果函数y=f(x),在[a,b] 内连续,在区间(a,b)内可微,则有 f(b)-f(a)/b-a=f′(ξ) 其中ξ∈(a,b),b>a这时设y=f′(ξ)是[a,b]上的有界函数,则有如下结论:(1)若f′(ξ)≥m f(b)-f(a)≥(b-a)m(2)若f′(ξ)≤m f(b)-f(a)≤(b-a)m(3)若n≤f(ξ)≤m n(b-a)≤f(b)-f(a)≤m(b-a)     

积分第一中值定理的一个简明的证明

本学报1979年第2期刊登了绍文同志《关于积分第一中值定理》一篇文篇,作者给出了定理的证明。本文就C∈(a,b)的问题再给出一个较为简明的证明,并给一个例子,说明连续的条件是必要的,即若f(x)在〔a,b〕上不连续时,则结论不再成立。这个定理是这样叙述的: 积分第一中值定理设在区间〔a,b〕上f(x)与g(x)都可积,且g(x)不变号,m≤f(x)≤M,则存在μ,m≤μ≤M,使下式成立 integral from n=a to b(f(x)g(x)dx)=μintegral from n=a to b(g(x)dx) (1)如果f(x)在〔a,b〕上连续,则可进一步证明,存在C∈(a,b),使 (?) (2) 为了叙述上的完整起见,把前一部分的证明也写上。证明:先证前一部分。由f(x)与g(x)在区间〔a,b〕上的可积性知(1)式左端的积分是存     

单叶函数的开始多项式的一些性质

1.引言。设n是一整数,函數w=f(z)=z+sum from v=1 to ∞ [C_(vn+1)~(n)z~(vn+1)]在單位圆E_z,z|<1,上是正則的單葉函數。它映照E_x於D_f,區域D_f具有這樣的性質:當w_0∈D_f時,e~(i(2kπ/n))W_0∈D_f,k=0,1,2,…,n-1。這種函數f(z)的全體成一族S_n,簡寫S_1=S。若D_f以原點W=0為星形中心,就是說當W_0∈D_f時,線段0W_0整個地落在區域D_f中,則称f(z)是一個星像函数,記其全體所成之族为S_n~*,簡寫S_1~*=S~*。星像函數的特徵是     

关于“中间点”的渐近性的一个注记

第一积分中值定理设f(x)在[a,b)上连续,g(x)在[a,b)上可积且不变号,则存在ξ∈(a,b)使得(1)文[1]讨论了(1)中的“中闻点”ξ当b→a~+时的渐近性,即下述下理1.定理1 若f(x)与g(x)在[a,b]上连续,且g(x)在(a,b)上不变号,f+(a)(f+(a)表示f在a点的右导数,下同)存在且不等于零,g(a)≠0,则对于(1)中的ξ有     

關於星像函數和凸象函數之不入像的點

1.設函數w=f(z)=z+α_2z~2+…在單位圓|z|<1中是正則的,單葉的這種函數的全體記做S。當函數f(z)∈S時,單位圓|z|<1經過w=f(z)映照後得到w平面上的區域D_f。設w_v,v=1,2,…,n是w-平面上不屬於D_f而适合於關係arg w_(v+1)/w=2π/n,v=1,2,…,n,(w_(n+1)=w_1)的n個點,設     

分担值和全纯函数族的正规性

应用Zalcman引理研究了与导数有分担值的全纯函数族的正规族,把分担值减弱为单项分担值,得到了如下的结论:设F是区域D内的一族全纯函数,a,b是非零有穷复数,若对于每个f(z)∈F,若F满足:(1)f(z)=0=f′(z)=a,f′(z)=a=f′′(z)=b则F在D内正规;(2)k≥2为一整数,b为一正数f(z)=0=f′(z)=a,f′(z)=a=f(k)(z)≤b则F在D内正规.     

一类非连续模糊系统与模糊Henstock积分

利用模糊Henstock积分理论,讨论了一类非连续模糊微分方程初值问题 x′(t)= f(t, x(t)), x(a)= x0解的存在性.这里不需要 f:[a,b]×E1E1是连续的.     

用导数判别函数的一致连续性

一、引理引理1 若函数f(x)在闭区间[a,b]连续,则f(x)在[a,b]上一致连续.引理2 若函数f(x)在[a,b]及[b,c]都一致连续,则f(x)在[a,c]上一致连续.注改[b,c]为[b, ∞)时,结论也成立.引理3 设函数f(x)在开区间(a,b)连续,则f(x)在(a,b)一致连续的充分必要条件是f(a 0)、f(b-0)都存在且为有限值.证明见[1]之正文及相应习题.二、主要结论定理1 若函数f(x)在区间I(I可开、半开、有限或无限,下同)可导,且f’(x)在I有界,则函数f(x)在I一致连续.     

周期函数关于三角多项式的最良迫近

Ⅰ.總說 1.1. 設C_(2π)是以2π為週期的連續函數的全體,下面所提到的f都是屬於C_(2π)。用t_n(x)表示n階的三角多項式,記||f||=max|f(x)|,E_n(f)=min||f-t_m||。 設Δ_h~k f(x)=syn frin i=0 to k(-1)~(k-i)(k i)f(x+ih), 稱ω_k(δ,f)=max||Δ_h~k f(x)||是函數f之K階的連續性模數。 對於區間(0,π)中的正值函數α(δ)与β(δ),假如有正數m和M使     

关于非线性双曲型方程Cauchy问题

本文继续引用上、下解方法,讨论如下非线性双曲型方程Cauchy问题: u_(xy)=f(x,y,μ,μ_x,μ_y) (x,y)∈Q V(x,y)∈C:u_x=σ′(x),u_y=τ′(y),u=σ(x)+τ(y) (1.1) 其中:Q={(x,y)∈R~2:x∈[a,b],u(x)≤y≤μ(a)}。(0≤a相似文献