求函数多重零点的高阶迭代

求函数f(x)的多重零点,用一般求单零点的方法(例如Newton法、弦截法)往往收敛缓慢、计算效能低,甚至迭代不收敛,为此我们考虑求多重零点的迭代方法. 设α是函数f(x)的m重零点,记u(x)=f(x)/f′(x),(1)则α是u(x)的单零点.求单零点的迭代法用到u(x)上就可导出求f(x)的多重零点的迭代法.例如,对u(x)使用Newton迭代法就导出求f(x)多重零点的二阶迭代函数     

快速弦位叠代法的收敛性及其误差估计

定义用叠代法求介方程f(x)=0称为“快速弦位叠代法”. 定理设函数f(x)在[a,b]上单调连续,并在[a,b]的两端点有相反符号,设f(x)满足i)一价差商f(x_n,x_(n-1))=λn,|λn|≥a>0, ii)二阶差商则叠代(1)收敛于方程f(x)=0的介. 设其中l=BKγ<2.     

光滑函数类中一族具大范围收敛的高阶迭代法

本文仅要求函数f(x)∈ C~2(R~1)和f(x)∈C~3(R~1),R~1=(-∞,+∞),就分别建立了大范围收敛的迭代公式族.它们对f(x)的实单零点敛阶分别为2和3,对f(x)的多重实零点收敛阶均是1;当迭代公式中的参数a取特别值2,k/(k-1),1和0时,就分别得到著名的Euler方法,Laguerre方法,徐-Ostrowski平方根法和Halley方法的两种修正格式,它们对f(z)∈C~2(R~1)和f(x)∈C~3(R~1)均分别具大范围收敛性,此外,满足Fourier条件f(x)f~n(x)>0的单调收敛性Newton程序是本文特例.     

Newton法与Chebyshev法联合迭代程序

设f(x)是实变量的实单位函数,且在零点a的邻域有若干阶连续导数。[1]给出了Halley法     

对一业不定积分定义域的讨论

指出求函数的不定积分或原函数时 ,要注意定义范围。并给出一个重要命题 ,即 :若 f(x)在 [a,b]上连续 ,且 F(x)是 f(x)在 (a,b)上的一个原函数 ,则 F(x)在 [a,b]上的连续延拓是 f (x)在 [a,b]上的原函数     

对一类不定积分定义域的讨论

指出求函数的不定积分或原函数时,要注意定义范围.并给出一个重要命题,即:若f(x)在[a,b]上连续,且F(x)是f(x)在(a,b)上的一个原函数,则F(x)在[a,b]上的连续延拓是f(x)在[a,b]上的原函数.     

牛顿—莱布尼兹公式的一个推广

本文将证明牛顿—莱布尼兹公式对于 schwarz 导数亦成立。设函数 f(x)定义在[a,b]上,若对于 x∈(a、b)(?)(f(x+h)-f(x-h))/(2h)存在,则该极限值为 f(x)在点 x 的 schwarz 导数。记作 f~s(x)引理1 设 f(x)是[a,b]上的连续函数,f~s(x)在(a、b)上存在,若 f(b)>(<)f(a),则存在点,c∈(a,b),使得:f~s(c)≥0(≤0)引理2 设 f(x)在[a,b]上连续,f~s(x)在(a,b)上存在,f(a)=f(b)=0,则存在点 x_1,a相似文献   

一点迭代法的收敛定理

设方程 x=f(x) (1) 有实根,则当|f′(x)|≤δ<1时,迭代序列 x_(n 1)=f(x_n) (2) 收敛,且收敛于方程(1)的实根(见[1]第二章)。但若|f′(x)|>1,则(2)发散,迭代失效。为了使迭代法在这种情况下仍可进行,我们对造代序列(2)略加修改,使其收敛,且收敛于(1)的根。定理1—定理4是我们为此目的而提出的收敛定理。其中条件“f″(x)保持符号”仅仅为了保证根的唯一性。因此可用“方程x=f(x)在(a、b)上有唯一实根”的较弱条件替代。     

富里埃级数的蔡查罗求和

1.假如f(x)∈L[0,2π],且在[0,2π]的子区间[a,b]上是连续的,那末我们写着f(x)∈L[0,2π]·C[a,b], ω_2(f,δ;a,b)= sup |f(x+h)+f(x-h)-2f(x)|.关于这类函数的富里埃级数f(x)～a_0/2+sum form n=1 to ∞(1/n)(a_n COS nx+b_n sin nx),Flett,Sunouchi等作者讨论了蔡查罗局部逼近问题。本文的目的是在详尽地讨论这个局部逼近问题,指出局部性与整体性的差别,并且解决了局部饱和问题。我们建立两个定理。定理1.设f(x)∈L[0,2π],ω_2(f, δ;a,b)=O(δ~β),f(x)的富里埃系数a_n,b_n=O(n~(a-β)).则(i)当0<β<1时,在[α+2ε,b-2ε]中均匀地成立着σ_n~α(f;x)-f(x)=O(n~(-β));(ii)当β=1时,f′(x)在[a,b]中是有界的话,在[a+2ε,b-2ε」中均匀地成立着     

用导数判别函数的一致连续性

一、引理引理1 若函数f(x)在闭区间[a,b]连续,则f(x)在[a,b]上一致连续.引理2 若函数f(x)在[a,b]及[b,c]都一致连续,则f(x)在[a,c]上一致连续.注改[b,c]为[b, ∞)时,结论也成立.引理3 设函数f(x)在开区间(a,b)连续,则f(x)在(a,b)一致连续的充分必要条件是f(a 0)、f(b-0)都存在且为有限值.证明见[1]之正文及相应习题.二、主要结论定理1 若函数f(x)在区间I(I可开、半开、有限或无限,下同)可导,且f’(x)在I有界,则函数f(x)在I一致连续.     

函数列一致收敛性定理

1 函数列一致收敛性定理定理1 若函数列f_n(x)在[a,b]上同等连续,且对于任一x∈[a,b],有f_n(x)→f(x)(n→∞),则f_n(x)在[a,b]一致收敛于f(x)。     

函数不动点在数学解题中的一些应用

本文以实验来说明函数不动点在数学解题中的一些应用与技巧 ,供读者参考。　　一、函数不动点用于求函数解析式例 1　若 F ( x ) =ax+b ( a≠ 1) ,则 F ( x )的不动点是 b1- a,函数 F ( x)的几次迭代函数的解析式可以用 F( x)的不动点表示为 :Fc… ( F( x) )… )n个 F=an( x- b1- a) +b1- a证明 :用数学归纳法证明如下 :当 n=1时 ,F ( x ) =a( x- b1- a) +b1- a=ax+b,结论正确。设当 n=k时结论成立 ,即Fc… ( F( x ) )… )k个 F=ak( x- b1- a) +b1- a。则当 n=k+1时 ,Fc… ( F ( x) )… )k+1个 F=a· Fc… ( F ( x) )… )1个 F+b=a[a…     

二阶线性常微分方程张力样条配置解的渐近表示及其外推

设u″(x)+p(x)u′(x)+q(x)u(x)=f(x) a≤x≤bu(a)=u_a u(b)=u_b (1)其中p(x),q(x)∈c~3[a,b],f(x)∈c~3[a,b],q(x)≤q_0<0或q(x)≥q_1>0,由常微分方程基本理论知存在唯一的u(x)∈c~5[a,b]满足(1).又设△是[a,b]的一个等距分划     

用SOR法解区间线性方程组收敛的充分条件

本文用[·]表示区间量,区间矩阵(向量)是实的且为n阶(维)。其他符号含义见[1]。 设[A]=([αij])为区间阵且[αii]不含有0,[b]与[x]为区间向量,作[A]=[D]+[L]+[U],其中[D]=diag[A],[L]和[U]分别为严格下和严格上三角阵,则方程组[A][x]=[b]的SOR法迭代公式为:其中 定义 设　　　,若δ>0,则称[A]为严格对角占优阵。 定理 设[A]为严格对角占优阵,令则当 α<ω<β时,(1)式对任意初值[x(0z)]都收敛于唯一解[x*],且[x*] 当ω=1时,(1)式即为Gauss-Seidel迭代。 推论　 设 [A]为严格对角占优阵,则对任意初值[x(0)],Gauss-Seidel迭代收敛于唯…     

关于“中间点”的渐近性的一个注记

第一积分中值定理设f(x)在[a,b)上连续,g(x)在[a,b)上可积且不变号,则存在ξ∈(a,b)使得(1)文[1]讨论了(1)中的“中闻点”ξ当b→a~+时的渐近性,即下述下理1.定理1 若f(x)与g(x)在[a,b]上连续,且g(x)在(a,b)上不变号,f+(a)(f+(a)表示f在a点的右导数,下同)存在且不等于零,g(a)≠0,则对于(1)中的ξ有     

关于Iyengar不等式

利用函数f(x)在积分区间[a,b]端点的函数值及各阶导数值,对函数f(x)在[a,b]上的定积分进行估计,进而得到若干积分不等式.主要结果如下:若函数f(x)是[a,b]上n+1次可微函数,且|f(n+1)(x)|≤M(M＞0),则|∫baf(x)dx-x∑k=0(b-a)k+1/2k+1(k+1)![f(k)(a)+(-1)kf(b)]|≤1/2n+1(n+2)!M(b-a)n+2     

浅析广义积分inttegral from n=+ to ∞(f(x)dx)收敛的必要条件

广义积分收敛的必要条件具体地说为:若函数f(x)在[a,b]上黎曼可积,则f(x)在[a,b]上有界且几乎处处连续,而当f(x)的无限广义积分收敛时,则f(x)在其广义积分收敛的区域内几乎处处连续但不一定有界。若无穷级数收敛,则其一般项必收敛于0,而当f(x)的无限广义积分收敛时,f(x)却不一定收敛于0(当x趋于无穷大时),要使f(x)收敛于0(x→∞),还需附加一定的条件。     

关于积分变上限函数列一致收敛性的讨论

本文讨论了积分变上限函数列Fn(x)=φn∫(x)af(t)dt及Fn(x)=φ(∫x)afn(t)dt的一致收敛性。得出了当{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于可积函数f(x)时,如果φ(x)有界;或{φn(x)}在[a,b]上一致收敛于φ(x),且φ(x),f(x)有界,那么{Fn(x)}在[a,b]上一致收敛的结论。     

浅析广义积分∫+∞af(x)dx收敛的必要条件

广义积分收敛的必要条件具体地说为:若函数f(x) 在[a,b]上黎曼可积,则f(x) 在[a,b]上有界且几乎处处连续,而当f(x) 的无限广义积分收敛时,则f(x) 在其广义积分收敛的区域内几乎处处连续但不一定有界.若无穷级数收敛,则其一般项必收敛于0 ,而当 f(x) 的无限广义积分收敛时,f(x) 却不一定收敛于0(当x趋于无穷大时),要使 f(x) 收敛于0(x→∞) ,还需附加一定的条件.     

哥西定理之推廣

本文主要系构造一辅助函数,从而将哥西中值定理推广到n个函数。茲先讨论三个函数的情形。定理1 设函数f(x),φ(x),ψ(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间[a,b]上可微,则一定有这样—点c(a相似文献