三类方程在微积分中若干典型应用

讨论以代数方程、微分方程、函数方法、差分方程为工具,解决微积分中的各类常见问题的典型方法,内容包括极限、定积分、重积分、变限积分、级数的展开与求和,辅助函数的构造等各方面的常见题型。在[1]中我们讨论了代数方程,微分方程的应用,在此我们将着重讨论函数方程,差分方程及微分方程在更广泛的问题中的典型应用。     

压缩映射原理的几个应用

本文介绍Banach空间的压缩映射原理的应用,它有助于证明微分方程、代数方程、积分方程等问题中许多关于存在唯一性的定理。本文给出了它在隐函数存在性,微分方程解的存在唯一性,求方程的近似解和求数列的极限几个方面的重要应用,使初学者对压缩映射原理有更进一步的了解。     

积分微分KP层次方程的精确行波解

对KP层次方程进行积分变换和行波变换得到常微分方程,利用扩展试验方程法把求解常微分方程的问题转化为求解代数方程组的问题,根据不同情况得到了KP层次方程的钟状解、三角函数解、双曲函数解和椭圆函数解的精确表达式,这些解的显示表达式是首次求出的.这种方法对于求解非线性偏微分方程十分有效并且能够得到许多新的精确解.     

Legendre多小波数值求解Fredhoim积分-微分方程

利用定义在[0,1）上的连续Legendre多小波数值求解线性Fredholm积分一微分方程．剁用Legendre多小波逼近理论将积分一微分方程离散化为代数方程组．最后用数值算例与CAS小波理论以及Legendre小波理论比较,结果表明特别是当方程的解是线性函数时,Legendre多小波方法表现出更高的精度和有效性．     

椭圆型方程哈密顿本征解的完备性

椭圆型偏微分方程导向哈密顿对偶方程而分离变量,将导致哈密顿算子矩阵的本征值问题.以端部影响函数为核的积分方程的本征解为基底,采用有限维半解析法,再导出对偶微分方程,及其Riccati代数方程,给出半无限区段的最小总势能.采用哈密顿型的本征解展开法求解之.将有限维的结果取极限,从而证明偏微分方程本征向量函数的完备性定理.     

蜂窝夹芯板的理论研究

讨论了蜂窝夹芯板的基本方程,把互相耦合的含３个未知广义位移函数的３个二阶偏微分方程的联立方程组,通过引进微分算子化成形式上的代数方程组的方法,简化成只含１个中间位移函数的六阶偏微分方程式。使有关蜂窝夹芯板弯曲变形计算大大简化。     

完整保守力学系HL函数表示的运动微分方程

本文给出完整保守力学系统用Ｈ函数和Ｌ函数联合表示的运动微分方程讨论该方程的运动积分和方程的不变性。     

完整保守力学系HL函数表示的运动微分方程

给出完整保守力学系统用Ｈ函数和Ｌ函数联合表示的运动微分方程，讨论该方程的运动积分和方程的不变性。     

一类常微分方程边值问题的Green函数讨论

把常微分方程边值问题转化为积分方程,有个很重要的方法就是利用格林函数来求解.讨论了一类二阶线性常微分方程的边值问题,求出它在不同边值条件下的格林函数,从而给出这类方程格林函数的一般求解方法及其应用.     

基于Mehler公式的等效相关系数求解技术

首先基于等效相关系数的传统二维积分方程,引入二维相关标准正态密度函数的Mehler级数展开公式,然后导出了等效相关系数的无穷次代数方程及其收敛特性,实现了积分方程向代数方程的转变,进一步完善了Nataf变换理论.同时,通过方程截断近似的方式给出了求解等效相关系数的迭代方法.由于避免了二维相关标准正态密度函数的积分和利用了代数方程系数的可重复性及一维积分特性,本文方法具有广泛的适用范围,且兼顾了计算的精度和效率.最后,通过算例验证了方法的有效性和精确性.     

带核函数的随机积分方程解的存在唯一性

在Bernt利用Picard迭代给出的随机积分方程解的存在唯一性定理基础上,通过定义本性有界可测函数作为核函数并对核函数的积分进行限制,给出了带核函数随机积分方程解的存在唯一性定理。     

含三角函数的一般形式对偶积分方程组的理论解

将Copson法推广、应用于一般形式的对偶积分方程组的求解。首先引入函数进行方程组变换,其次引入未知函数的积分变换实现退耦。应用Abel反演变换,使方程组正则化为Fredholm第二类积分方程组,并由此给出对偶积分方程组的一般性解。给出的解法和理论解,作为求解复杂的对偶积分方程组另一种有效的解法,可供求解复杂的数学、物理、力学中的混合边值问题参考。     

含循环对称裂纹的一维六方准晶平面应变第一基本问题

研究了一维六方准晶周期平面含循环对称裂纹的平面应变第一基本问题。运用复变函数方法把弹性平衡的求解归结为求解唯一可解的积分方程。利用问题的循环对称性,引入保角映射,简化积分方程求解。该问题的求解为推广经典的平面弹性复变方法解决新型(复合)材料的弹性问题提供一种新思路。     

奇异积分方程组与含参变未知函数的Riemann边值问题

提出多连通区域上含参变未知函数的Riemann边值问题,给出其可解性定理和解的表示式,然后使用上述结果,给出了一类含参变未知函数的奇异积分方程组的新的解法,获得了可解性定理和解的表示式.

Abstract：

Some classes of Riemann boundary value problems with a parametric unknown function in multiply con-nected domains are proposed, and their solutions are obtained. Then using the above results, a method for solving certain singular integral equations with a parametric unknown function is given, and the solution of the above singu-lar integral equations is obtained.     

无穷区间上二阶三点q-差分方程边值问题解的存在性

为了拓展非线性量子差分方程边值问题的基本理论,研究了一类无穷区间上非线性项含有一阶q-微分的二阶三点非线性q-差分方程边值问题解的存在性。首先,给出并证明了含有无穷限广义积分的二重q-积分的交换积分次序公式;其次,计算出了无穷区间上二阶三点线性q-差分方程边值问题的Green函数,并研究了Green函数的性质;再次,在抽象空间上构造积分算子,然后运用Leray-Schauder连续定理,获得了无穷区间上二阶三点非线性q-差分方程边值问题解的存在性结果;最后给出实例。实例验证表明所得结果是正确的。研究结果对量子微积分的发展及其在数学物理等领域的应用都有着重要的意义。     

关于一类函数图像描绘的思考

是高等数学中一类非常有用的函数,利用的图像描绘,展现该函数在微分方程、变上限定积分、导数应用、重积分、极限等各方面与高等数学的联系,并着重介绍了这类函数在正态分布的分布函数中的应用.     

函数列广义积分的极限定理及其应用

考虑函数列在广义积分下的极限问题,运用函数列的极限理论,在函数列一致有界和内闭一致收敛条件下,给出黎曼可积函数列积分的极限定理结果;在函数列广义积分一致收敛条件下,给出广义积分下函数列积分的极限定理结果,以及广义积分下的函数列积分的控制收敛定理.     

两对边简支单向变刚度矩形板的弯曲问题

本文通过做未知函数变换，将两对边简支单向变刚度矩形板在任意横向分布载荷作用下的弯曲问题归结为求解第二类的Ｖｏｌｔｅｒｒａ积分方程。对上述积分方程，建议了二次样条函数的近似解法，求得了问题的渐近解析解。为了检验方法的有效性并说明其应用，对线性变厚度的形做了数值计算，所得结果和精确解符合得很好。     

学习《高等数学》应注意的若干问题（一）——函数的极限

函数的极限是《高等数学》的基础,它引出了函数的连续、导数和定积分的概念,因此求解极限是一个非常重要的问题。本文先介绍了求函数（数列）极限的常见方法,再结合例题分析了在求极限过程中应注意的问题,最后简要说明了极限在高等数学其他章节中的应用。