用力迫法构造的一个非标准的算术模型

Skolem建立了形式算式的第一个非标准模型.A.Robinson在由紧致性定理和共点关系所获得的非标准模型中引进了标准的、内的和外的对象(集合、关系、函数等)的概念,并证明了:如果S是无穷的,则S中含有非标准的内对象.这是形式算术的一切非标准模型的共性吗?本文对这一问题作了否定回答,获得并证明了下述结果:主要定理.存在着形式算术的一个非标准模型,在其中有无穷多个不包含非标准元素的无穷内子集合.这就是说,这些无穷的内子集合纯粹是由有限的自然数所组成.我们的证明使用了 P.J.Cohen的力迫法.     

广义数学归纳法

数学归纳法的原理和使用方法是众所周知的。它在证明与自然数有关的命题时是一个强有力的工具。它的理论主要依赖于自然数的有序性,且此顺序满足最小数原理:每个非空自然数集中有一个最小者。然而,正是这种对自然数的依赖关系限制了它的使用范围。本文的主要目的是介绍数学归纳法的推广形式。我们将把它称为广义数学归纳法。其适用的范围将不仅仅是自然数集合,还可以是其他类型的集合。这种推广具体来讲,一是顺序概念的推     

基于数学形态学的版面分割

证明了由连通类＄及膨胀运算δ可构造新的连通类＄＾δ,讨论了＄与＄＾δ的关系,在引人极大连通子集的概念后给出了集合基于连通类的唯一分割,利用集合＄＾δ的分割与Ｘ的膨胀δ（Ｘ）基于＄的分割之间的对应关系,提出了一种葳地数学形态学的的版面分割方法。     

等价关系与数系的扩充

数集是数学研究的基础。从小学的自然数开始 ,数经过一次次的扩充 ,到高中的复数 ,每一次扩充实际上都是一次依据等价关系的集合的分类。本文从集合论的观点即集合的分类方法讨论了数系的扩充 ,对于更准确地理解数概念 ,是大有裨益的。     

Schur数推广及＂Schur-Pythagoras数＂研究

结合Schur数和勾股数组的特征,推广定义了一类新的临界数,称之为＂Schur-Pythagoras数＂,记作spn.它是最大的自然数,使得自然数集合T={1,2,...,spn}能被划分成n个子集合,在任意子集ST中,方程x2＋y2=z2无解.给出了sp2≥1104及sp2是有限数值还是无穷数值的未解问题的结果.     

无穷计数的艺术

本文从古老的对应技术出发引导出集合映射的概念,进而说明无穷计数基本原理,例举了一些可数与不可数的集合,揭示了无穷计数的奇妙性。     

浅议数与形

数(这里指从自然数到复数的各种数)和形(几何图形)都是数学的基本概念.在中学数学中,数是代数学的概念,其特点是用字母符号表示各种数量及数量关系.而形则是几何学的概念,是指点、线、面及由点、线、面构成的各种几何图形.     

数列及其极限的概念

本文讨论无穷项数列及数列极限的概念。文中“数列”一词是“无穷数列”的简称;凡提到“数”,统指“实数”。数列及其极限是高等数学最重要的概念之一。正确地理解和掌握数列及其极限的概念,对于学习高等数学课程是很重要的。一、数列的概念所谓自然数的顺序,是指全体自然数按逐次增大排列的顺序,即1,2,3,…,n,……。 {n}在此基础上,即可给出数列的定义如下:     

广义连续统假设的一致性与独立性及其意义

连续统假设问题,是当代数理逻辑中尚未解决的大难题。集合论的创始人Cantor于1878年对这个问题首先提出了一个猜测性的假设(并于1882年宣布他证明了这个问题,随后发现他的证明有错误)。1900年Hilbert在国际数学家会议上的著名讲演中,提出了数学领域中尚未解决的二十三个重大课题中,连续统假设问题被列为第一名,所以也称它为“希尔伯特第一问题”。所谓连续统问题,即连续线段或连续无尽直线上点集合的基数问题,亦即一切实数的集合的个数问题。     

Weierstrass 定理的加强及其应用

首先将Weierstrass定理加强为“闭区间[a,b]上的连续函数f（x）可以用有理系数多项式一致逼近”,然后建立起[a,b]上的连续函数f（x）与多项式级数之间的深刻联系,以这个多项式级数为工具,可以建立闭区间上的连续函数的集合到自然数序列的集合的一个单射,进而得到“闭区间[a,b]上的全体连续函数具有连续统的势”的著名结果。     

中学极重大根本错误:无穷数列必无末项——“一对一”常识推翻五千年科学“常识”:无最大自然数

由"一一配对"常识证明了:自识自然数5千年来科学界一直认定的"无最大自然数"是极重大根本错误,{n≥1}不一定是非0自然数集N+而有可能是其真子(扩)集;无穷级数都有末项;存在欧拉使用的无穷数。不识"更无理"无穷数的数学自相矛盾,其目光太短浅、视野太狭窄从而远不能满足实际的需要,其对"无穷"的认识有极其重大根本错误。指出数轴R内各已知数点x均有无穷多与之无限逼近的用而不知的无穷数点x+△x,故R的已知数x全体仅是R的沧海一粟。强调教科书的重大错误所造成的重大经济损失一点也不亚于经济建设中的重大错误所造成的经济损失。     

关于自然数的理论

数的概念是数学的基本概念之一。从数学发展史来看，数的概念是由于人类生产、生活的实际需要和为了解决数学本身所提出的问题而逐步形成并加以扩展的。首先产生自然数，然后逐渐产生零、正分数、负数、整数。有理数、实数、复数等概念。从科学的数系建立过程看，也是首先从自然数集出发扩展出整数集，然后依次扩展成有理数集、实数集。复数集。因此，无论是从数学史还是从科学数系的角度看，自然数集都是考虑问题的出发点。可以毫不夸张地说，自然数是整个中学数学的基础。本文打算从科学数系的角度，对自然数理论进行较详细的阐述。自然数…     

50字推翻五千年科学“常识”:无最大自然数

极其简单明了地证明了无穷集G的真扩集{a}∪G必比G多一个元素a。从而仅用50个字符就推翻了5千多年"常识":数学内无最大自然数;仅用50字符就推翻了5千年"无最小正数";仅用10字符就推翻了百年集论。指出:变量与变量之间也是有大小数量关系的,y(x)>(<)x中两变量的变域必不相等!不能将现在数学以内的数与以外的数混为一谈。揭示:所有已知自然数组成的N仅为自然数宇宙中的一颗星球!书上x轴是无穷长直线段且有最小正数点;已知正数全体仅为正数宇宙中的一颗星球!     

孪生素数猜想的证明

采用数学归纳法证明了一类缺项同余式方程组恒无解。若这一类缺项同余式方程组恒无解则孪生素数猜想成立,即自然数域中存在无穷多对孪生素数,孪生素数猜想是成立的。     

一种超限数的定义

这里给出一种超限数(无穷大数)的定义,借以说明大于实数的数的存在(无穷大数的存在),设N_0~(**)料为自然数集的基数,取N_0个位置如下:N即如数轴上正整数(自然数)点所在的位置:     

浅谈(0,1)内的有理数与自然数一样多

对一个集合,我们通常会关心其包含的事物即包含的元素的多少。对于任意两个有限集合,可以用类似一把钥匙开一把锁的方法,比较它们所含元素的个数。对于两个无穷集合,可以用旅游团的住宿问题作为例子,用给房客编号和客房调整的方法来比较说明它们所含元素的个数。在以上讨论的基础上,利用集合的基数,我们论证得到结论:(0,1)内的有理数与自然数"一样多"。     

大学数学中的无穷观

讨论数学中的无穷概念的学习与理解,使大学数学教育更有利于大学生建立科学的数学无穷观,提高大学生的数学素质.     

浅谈“认识有限与无穷”

“无穷”的概念一引入数学就带来许多“烦恼”,尽管它也同样带来了成功。首先使人迷惑的是,人的常识在处理“无穷”集合时显得那样狭窄,那样无能为力。先举一简单例子:在集合论中有理数是可数的,亦说可列。所以,对于一个任意给定的数ε>0,无论其多么小,我们总能找到一个测度(这里也可以理解为总长度)不大于ε的集合,将其完全覆盖。比如给ε=1/10.我们先将有理数排成一无穷列,其中每一个有理数都已编上了序号,     

不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误

可数集的各元都必可有自然数“配偶”这一特点使自识正整数5千年来一直“深埋地下”的最大自然数及无穷多无穷大自然数一下子“破土而出”推翻百年“标准实数完备”论，显示已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球。从而揭示中、小学课本有一系列重大错误：搞错变量的变域而将部分误为全部（继而推出病态的“部分可=全部”）；误以为“有首项的无穷数列必无末项”使级数论有常识性与概念性错误而使小学课本违反起码数学常识地断定0．99…=1；…。     

对职前数学教师关于集合概念理解的调查研究

集合理论是整个数学大厦的基础,论文通过问卷测试发现职前数学教师对于集合概念的理解并不理想:仅有65.9%的职前数学教师能够回答正确集合的定义;缺少描述法表征集合是不少职前数学教师的通病;89.2%的职前数学教师把集合的等价与集合的相等混为一谈;62.5%的职前数学教师对于有限集合的定义理解不深;69.9%的职前数学教师并没有理解全集的实质;仅有14.8%的职前数学教师理解了补集的概念;84.1%的职前数学教师不知道区间是集合的事实。职前数学教师教育课程体系应该进行调整,开设一些可以宏观理解整个数学体系的课程;职前数学教师教育者应该重视日常教学,使教学过程更具有效性;职前数学教师应当掌握基础数学教育中的核心概念,理解不同数学概念之间的关联。