有限域上的特征多项式与最小多项式

<正> 设F 是有限域,K 是F 的有限扩域。[K∶F]=m。K 中任一元α的最小多项式是指一个首项系数为1,最低次多项式f(x),使f(α)=0。所谓α的特征多项式g(x)是把α看成F 上的线性空间k 中的左乘线性性变换的特征多项式。本文给出α~t 的特征多项式与最小多项式的求法。     

不定方程x2+my2=z2在多项式环中的正本原解

利用不定方程本原解的概念,多项式环的有关性质,研究了不定方程x2 my2=z2在多项式环R[x]中的本原解,得到了在多项式环R[x]中,任意首项系数为正数的多项式f(x),必有R[x]中首项系数为正数的多项式g(x),h(x),使得f(x)=g(x)2 m·h(x)2,其中m为正整数.     

可上三角化的多项式映射

设F=X H:Kn→Kn为特征0的域k上的多项式映射,当F=(x1 h1,…,xn hn),hi(x)=xi (ai1x1 … ainxn)3,i=1,…,n时,称F为三次线性多项式映射.通过矩阵A=[aij:i,j=1,…,n]的幂零性质,研究了上述三次线性多项式的上三角化问题,证明在秩为3时A是强幂零的,而在秩为4时不是强幂零的,从而在秩为4时,多项式映射F并不总是可上三角化.为进一步了解强幂零性质,最后讨论了与强幂零性质有紧密联系的一些猜想和性质.     

基于BA及Af（x）矩阵的多项式性质研究

将矩阵引进了多项式讨论，给出了多项式的系数矩阵、（左）右乘矩阵BA、多项式矩阵Af（x）的概念，并基于这些矩阵探讨了多项式的性质．     

矩阵多项式的特征矩阵的初等因子组

本文给出完全域F上矩阵多项式h（A）的特征多项式fh（A）（λ）及其特征矩阵λE-h（A）的初等因子组.这里A∈Mn（F）,h（X）∈F[x].     

一类分圆多项式的系数

利用将多项式分项相除的分圆多项式系数的简洁算法,证明了当33qr(x)的系数中.当r-q≡0(mod3)时,F3qr(x)的系数中没有-2出现,当r+q≡0(mod3)时;F3qr(x)的系数中没有2出现.       

关于矩阵的一些结果

在矩阵论中,我们知道:对任-n阶方阵X,Frobenius证明了,有一个最小多项式存在,它由特徵多项式Det(Ix-X)除以特徵矩阵F(x)=Ix-X的n-1阶子式的最大公因式得出;每一个以X为根的多项式都被这个最小多项式所除尽。     

一类对称三对角矩阵的特征多项式

本给出了一类特珠的三对角矩阵特征多项式的递推公式及其特征多项式序列中各多项式系数之间的递推关系式．证明了该序列的正交性以及此类三对角矩阵特征多项式的整除性质。     

对称多项式

<正> 一对称多项式是多元多项式中常见的一种。对称多项式的来源之一以及它的应用的一个重要方面,是一元多项式根的研究。因此我们从一元多项式的根与系数的关系开始。设f(x)=X~n+a_1X~(n-1)+…+a_n(1)是 F[X]中的一个多项式。如果 f(x)在 F 中有 n 个根 X_1,X_2,…X_n,那么 f(x)就可     

一类对称三对角矩阵的特征多项式

本文给出了一类特殊的对称三对角矩阵特征多项式的递推公式及其特征多项式序列中各多项式系数之间的递推关系式，证明了该序列的正交性以及此类三对角矩阵特征多项式的整除性质。     

一类对称三对角矩阵的特征多项式

本文给出了一类特殊的对称三对角矩阵特征多项式的递推公式及其特征多项式序列中各多项式系数之间的递推关系式。证明了该序列的正交性以及此类三对角矩阵特征多项式的整除性质。     

二次多项式的平方取值

设 F 为任意特征不为2的域,f(x)=αx~2-βx+r 是 F 上二次多项式。令 F=Fu{∞},並令 f(∞)=α。对任意 a∈F,我们定义了变换τ_a:■变换τ_a 保持“f(x)为平方”这性质不变.利用这组变换,(1)当 F 为有限域,我们确定了集合 H={x∈F|f(x)∈F~(*2)}及 S={f(x)∈F~(*2)|x∈F},並计算了它们元素的个数;(2)当 F 为有理数域,我们讨论了整系数二元二次型 f(x,y)取平方值问题.考虑方程 f(x,y)=z~2。如它有一整数解,则必有无限多不等价的解,所有的解都可通过变换τ_a 简单地得到:(3)当 F 为实数域,我们得到一族条件不等式.     

一类对称三对角矩阵的特征多项式

本文给出了一类特殊的对称三对角矩阵特征多项式的递推公式及其特征多项式序列中含多项式系数之间的递推关系式．证明了该序列的正交性以及此奥三对角矩阵特征多项式的整除性质．     

二次多项式的平方取值

设 F 为任意特征不为2的域,f(x)=αx~2-βx+r 是 F 上二次多项式。令=F∪{∞},并令 f(∞)=α。对任意 a∈?),我们定义了变换τ_a∶.变换τ_a 保持“f(x)为平方”这性质不变.利用这组变换,(1)当 F 为有限域,我们确定了集合 H={x∈F|f(x)∈F~(*2)}及 S={f(x)∈F~(*2)|x∈F},并计算了它们元素的个数;(2)当 F 为有理数域,我们讨论了整系数二元二次型 f(x,y)取平方值问题.考虑方程 f(x,y)=z~2.如它有一整数解,则必有无限多不等价的解,所有的解都可通过变换τ_a 简单地得到:(3)当 F 为实数域,我们得到一族条件不等式.     

最大线性正形置换及其性质

根据最大线性正形置换可以用于密码体制中非线性置换的构造，利用有限域上的多项式理论以及矩阵理论，研究了最大线性正形置换T的性质．给出了T的幂仍就是最大线性正形置换的充分条件，证明了T的特征多项式为F2上的本原多项式，进一步证明了F2^n为T的不可约空间．     

关于二阶常系数非齐次线性方程的一个说明

二阶常系数非齐次线性方程 y″ Py′ qy=e~(αx)〔P_1(x)cosβx P_2(x)sinβx〕 (1)的特解 y*=x~ke~(αx)〔R_1(x)cosβx R_2(x)sinβx〕 (2)中多项式R_1(x)、R_2(x)的次数,有关微分方程的教材中指出,它等于多项式P_1(x)、P_2(x)中较高次数(设为m),而K是特征多项式F(λ)=λ~2 Pλ q中含重根α iβ的次数(即K=0或K=1)。本文的目的是:说明R_1(x)、R_2(x)不一定都是m次以及在什么条件它们不同时是m次。     

特征为2的有限域上一类正形置换多项式的非存在性

研究了特征为2的有限域上一类正形置换多项式的非存在性.利用乘积多项式中次数的分布规律和整数的m进制表示的有关技巧,证明了在有限域F2n上不存在次数为2d-1的正形置换多项式的充分条件是:n(mod d)≡0,1,或者当n(mod d)≡r(1＜r＜d,1＜ d＜log2n)时,这个多项式的2r-1次项的系数为0.进一步,给出了在有限域F2n上次数为2d的多项式是正形置换多项式的必要条件是:当n(mod d)≡0,1时,这个多项式的2d-1次项的系数必为0;或者当n(mod d)≡r(1相似文献   

某些矩阵方程

设f(x)为任意域F上n级矩阵A的可分和不可约的特征多项式.对于给定的g(x)∈F|x|,我们给出g(B)=A有解B∈Mn(F)充分必要条件为存在v∈F(u)(F的扩域)使得f(u)=0且f(g(v))=0.进一步,我们给出了有关多项式g(x)=:x2 ax b,x3 ax2 bx c,xm-a和xq-x a(q为F的特征)的上矩阵方程有解的等价条件.     

有限域上的置换多项式

设Fpm为有限域,其中P为素数,m为正整数.如果多项式f(x)∈Fpm[x]是Fpm→Fpm的一个双射,则我们称f(x)是Fpm的一个置换多项式.本文通过对有限域F2m上的形如(xpk-x+δ)s+L(x)的置换多项式进行研究,得出了一些特征为2的有限域F2m上类似上述形式的置换多项式.     

多项式代数上的微分理想

设k[x]是特征为零的域k上的一元多项式环.研究了k[x]上带权的非零单项式微分算子对应的微分理想的性质,利用矩阵求最大公因式的方法,确定了由一个多项式生成的微分理想作为通常意义上的理想时的生成元.