关于不定方程x2-3y4=222

运用递归数列,同余式和平方剩余证明了不定方程x^2-3y^4=222仅有正整数解（x,y）=（15,1）。     

关于不定方程x2-3y4=118

本文利用一种初等的证明方法,即递归数列,同余式和平方剩余的方法,对一个不定方程x^2-3y^4=118的正整数解进行了研究．最后得出该不定方程x^2-3y^4=118至少含有3个正整数解（x,y）=（11,1）,（19,3）,（650851,613）．     

关于不定方程x2-3y4=166

利用一种初等的证明方法,对一个不定方程x2-3y4=166的正整数解进行了研究。证明过程中仅涉及到初等的数论知识,即运用递归数列、同余式和平方剩余的方法。首先利用Pell方程的解的性质把不定方程x2-3y4=166的解转化为由两个非结合类给出,然后再进一步利用相关知识使得问题简化为两种相对简单的情况,对其每一种情况都利用递归数列,同余式和平方剩余的相关知识对其是否有正整数解进行证明,如果有正整数解则进行求解。最后得出该不定方程x2-3y4=166仅有正整数解(x,y)=(13,1),(293,13)。     

关于不定方程x^2-3y^4=97

运用递归数列,同余式和平方剩余证明了不定方程x^2-3y^4=97仅有正整数解（x,y）=（10,1）。     

关于不定方程x2-3y4=286

利用一种初等的证明方法,对不定方程x2-3y4=286的正整数解进行了研究.证明过程中仅涉及到初等的数论知识,就是运用递归数列,同余式和平方剩余的方法.首先利用Pell方程的解的性质把不定方程x2-3y4=286的解转化为由4个非结合类给出;对其每一种情况都利用递归数列,同余式和平方剩余的相关知识对其是否有正整数解进行证明,如果有正整数解并进行求解;最后得出该不定方程x2-3y4=286仅有正整数解(x,y)=(17,1),(23,3).     

关于不定方程x3+1=38y2

利用递归数列和同余式证明了不定方程x³+1=38y²,仅有整数解(x,y)=(-1,0),(31,±28).     

关于不定方程x3-1=193y2

关于不定方程x³-1=Dy²(其中D为素数且D≡1(mod 6))的求解是数论中仍未解决的重要问题之一。利用同余式、Pell方程整数解的性质及递归数列等初等数论方法对D=193的情形进行了研究,得到了不定方程x³-1=193y²仅有整数解(x,y)=(1,0)。     

关于不定方程x2－2y4＝M(M＝17,41,73,89,97)

运用递归序列、同余式以及平方剩余的有关性质,证明了：1)不定方程x2－2y4＝17仅有正整数解(x,y)＝(7,2)和(23,4);2)不定方程x2－2y4＝89仅有正整数解(x,y)＝(11,2)和(91,8);3)不定方程x2－2y4＝41(73,97)没有正整数解.     

关于不定方程x^4—pqy^2=1

设ｐ、ｑ是不同的奇素数，ｐ≡３（ｍｏｄ４），本文证明了当ｑ＝５或１３时，不定方程ｘ＾４－ｐｑｙ＾２＝１仅在ｐ＝３时有正整数解，其唯一的正整数解为（ｘ，ｙ）＝（２，１）或（ｘ，ｙ）＝（５，４）。根据此结果和已有的大量结果可以确定不定方程ｘ＾４－Ｄｙ＾２＝１在１〈Ｄ〈１００的范围之内的全部正整数解。     

不定方程x2-2l(22h-1+δ)y2=1与y2-Dz2=4h的公解

设p₁,…,p_r为不同的奇素数,h,l,u,v都是正整数,δ∈{±1}以及x₁=4^hl+δ.证明了：当D=2p₁…p_r(1≤r≤4)时除2(4x₁²-3)(4x₁²-1)(2x₁²-1)=Du²或2(2x₁²-1)=Dv²外,不定方程x²-2l(2^2h-1l+δ)y²=1与y²-Dz²=4^h均仅有平凡解(x,y,z)=(±(4^hl+δ),±2^h,0).     

关于不定方程x^2-5y^4=89

运用递归序列、同余式和平方剩余方法,对一个不定方程,x^2-5y^4=89,的正整数解进行了研究,证明了不定方程,x^2-5y^4=89,仅有正整数解,（x,y）=（13,2）,（37,4）.     

关于不定方程x3+27=26y2

利用递归数列、同余式和平方剩余证明了不定方程x3 27=26y2仅有整数解(-3,0),(-1,±1),(719,±3781).     

不定方程x3±4913=34y2的整数解

运用同余式的性质研究了不定方程x³±4 913=34y²的整数解问题,并得到了不定方程x³+4 913=34y²仅有正整数解(x,y)=(17,17),(391,1 326),不定方程x³-4 913=34y²仅有整数解(x,y)=(17,0)的结果。研究结果为解决x³±a³=Dy²这类不定方程的整数解问题奠定了一定的基础。     

不定方程x3±2197=26y2的整数解

主要利用同余式性质和佩尔方程解的性质等初等数论的方法,证明了不定方程x³+2 197=26y²仅有正整数解(x,y)=(13,13),(299,1 014),不定方程x³-2 197=26y²仅有整数解(x,y)=(13,0)。从而丰富了不定方程x³±a³=Dy²整数解的研究内容。     

不定方程13x2-11y2=2和48y2-13z2=35的公解

Gel’fond-Baker方法是20世纪超越数论的重要成就之一,该方法在不定方程求解方面具有广泛应用。运用Gel’fond-Baker方法,证明了不定方程13x²-11y²=2和48y²-13z²=35仅有公共解(x,y,z)=(±1,±1,±1),(±551,±599,±1 151)。这改进了之前的结果■。     

不定方程x3±133=y2的整数解

利用Pell方程的解的基本性质、同余理念、因式分解等相关知识,证明了不定方程x³-13³=y²仅有整数解(x,y)=(13,0),不定方程x³+13³=y²仅有整数解(x,y)=(-13,0)。     

不定方程x2-k(k+1)y2=1与y2-Dz2=4的公解

设p₁,…,p_r是不同的奇素数,x₁=2k+1,u,v均为正整数.该文证明了当D=2p₁…p_r(1≤r≤4)时,除开2(4x₁²-3)(4x₁²-1)(2x₁²-1)=Du²或2(2x₁²-1)=Dv²外,不定方程组x²-k(k+1)y²=1与y²-Dz²=4仅有平凡解(x,y,z)=(±(2k+1),±2,0).     

关于不定方程x2-7y4＝93

不定方程x2-Dy4＝C(其中D,C为给定的整数,且D＞0为非平方数)曾引起许多人的兴趣,Cohn,Tzanakis,黎进香等都对此类方程进行过研究.本文讨论了不定方程x2-7y4＝93正整数解的情况.所用方法是先用Pell方程将x2-7y4＝93的可能整数解进行分类,使其包含在几个式子里面,然后对这几个式子取模,借助于平方剩余的理论缩小解的范围,同时还利用了一些初等的证明方法,如递推序列,同余式.最后证明了不定方程x2-7y4＝93仅有正整数解(x,y)=(10,1),(130,7).     

关于不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=14y(y+1)(y+2)(y+3)

运用递归数列、pell方程、同余式及平方(非)剩余等方法,证明了不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=14y(y+1)(y+2)(y+3)仅有正整数解(5,3).