关于a（mod p）≤b（mod p）＋2

Erd s等于1987年曾证明了:对于正整数a,b,如果对所有素数p,a,b被p除所得余数分别为a(modp),b(modp),都有a(modp)≤b(modp),则a=b.本文研究对哪些正整数a,b,满足对所有素数p,恒有a(modp)≤b(modp) 2,并对1≤a≤7,确定了所有的b.     

关于a(mod p)≤b(mod p)+1

ERDO S等于1987年曾证明了:对于正整数a,b,如果对所有素数p,a,b被p除所得余数分别为a(m od p),b(m od p),都有a(m od p)≤b(m od p),则a=b.该文则研究对哪些正整数a,b,满足对所有素数p,恒有a(m od p)≤b(m od p) 1,对1≤a≤5,确定了所有的b.即当a=1时,b可取一切正整数;a=2时,b=2k,k=0,1,2,…;a=3时,b=2,3,4,9;a=4时,b=3,4;a=5时,b=4,5.     

费马数与伪素数

如果合数N满足2N≡2(modN),则称N为伪素数.本文运用数论中的一些简单结果,如任何费马合数都是伪素数以及费马小定理(若p为素数,a为整数,且(a,p)≡1,则ap-1≡1(modp))等,给出了N=FS1FS2…FSk为伪素数的充要条件:S1≤2S2-1且Sk≤2S1-1,这里S1＜S2＜…＜Sk,FS=22S+...     

关于(ap+1)/(a+1)的素因数

设a是大于1的正整,p是奇素数,A(a,p)=(ap 1)/(a 1)。文章证明了:当q=2p 1是素数时,如果a 1 0(modq)且(1/q)=-1,其中(a/q)是Legendre符号,则q是A(a,p)的素因数。     

广义Mersenne数的素因数

设a是大于1的正整数,p是奇素数,M(a,p)=(ap-1)/(a-1).该文证明了:当q=2p 1是素数时,如果(a/q)=1且a 1(modq),其中(a/q)是Legendre符号,则q必为M(a,p)的素因数.     

正整数被素数p整除的判别法

设p是素数且p≠2,5,|k|是满足10k≡1(mod p)成立的最小正整数,Mn=n∏i=010iai(0≤ai≤9,i=0,1,…,n,an≠0).运用数学归纳法证明了:若对?i=0,1,…,n-1,有bi+1=kci+ai+1,bi+1≡ci+1(mod p),其中c0=a0,|ci+1|≤p-1/2,则p|Mn...     

关于素数的Wolstenholme判别条件

设a是大于 1的正整数 ,p是适合p a的素数。本文证明了 :如果a满足a <8或者 2a- 1a p,则2ap - 1ap 1(mod (ap) 3)。     

两种形式的素数与挛生素数猜想

用模型论方法证明几乎一切形式为p2+4(p是素数)的数都是素数,几乎一切形式为2p+1(p是素数)的数也都是素数.并证明关于各种素数的挛生素数猜想.     

关于不定方程x~3+5~3=2Ry~2

设R=p1 p2 Q,Q=r i(n∈Z),ri-1(mod6)(1≤i≤n)为互异的奇素数,p1≡p2≡1(mod 6)为奇素数。运用初等方法得出了不定方程x 3+53=2Ry 2无正整数解的一个充分条件。     

关于广义Mersenne 数的素因数

设p是奇素数, a 是大于1的正整数,又设 X ( a, p ) = ( a^p- 1) / ( a- 1) , Y( a, p ) = ( a^p+ 1) / ( a+ 1) ,当 q= 2p+1 是素数时,如果( a/ q )= 1且 qa- 1,则 q 必为X( a, p )的素因数; 如果( a/ q )= - 1 且 qa + 1, 则 q 必为 Y( a, p )的素因数,其中( a/ q)是 Legendre 符号.