欧拉公式及其应用

本文用极限方法证明了欧拉公式e~(iθ)cosθ+isinθ,并指出了它的一些应用。 1748年,欧拉在其著作中陈述出公式:e~(iθ)=cosθ+isinθ(θ为任意实数,i为虚数单位),欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中,有着广泛的应用,它将定义和形式完全不同的指数函数与三角函数联系起来,为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁。     

Euler数的整除性及一些猜想

Euler数是从组合、数论的许多问题中提出来的,和著名的Bernoulli数、Genocehi数有一定的联系,在组合数学、解析数论、函数论以及理论物理学中占有重要的地位,有着深刻而广泛的应用.对Euler数的整除性的研究,一直是初等数论、组合数学的基础课题.运用二元二次型的类数公式,利用Yuan的思想,研究了当m为正奇数时Euler数Et的整除性,其中,t=2m/4」,获得了Et对模m的一些结果,推广了文献中的一些结论.作为定理的应用,得到了一些较大的Euler数E2n的素因子,对文献中的一些例子进行了补充,并提出了关于Euler数的若干问题和猜想.     

一类复Sine-Gordon型方程的孤粒子解

黄念宁同志在他的论文中,采用公式β=1/2θ_x-itg(θ/2)λ_x,得到了复Sine-Gordon方程组?,?的一个新解。此解在物理上是很有用的.在本文中,我们采用更一般的公式φ=1/2θ_x-ig(θ)λ_x(g(θ)任意),推广了黄念宁的结果.     

关于Hilbert不等式的一个改进(英文)

证明了重组数的经典Hilbert重不等式通过引入一个适当的形如π－θ／（θ＞0）的权函数可以把两个单独的和都得到改进。借助于Euler—Maclaurin求和公式得到了一个非常强的结果。     

締合勒让德函数的展开及公式P_l~m(cosθ)=(-1)~m(l+m)!/(l-m)!P_l~(-m)(cosθ)的直接証明

在量子力学中讨论有心力场时,一开始就要遇到球谐函数Y_l,m的归一化问题。解决的办法这一涉及要证明P_l~m(cosθ)=(-1)~ml[(l+m)!/(l-m)!]P_l~(-m)(cosθ)这一公式。由于P_l~m(cosθ)与P_l~(-m)(cosθ)完全用cosθ表示时,很难进行展开,因而不能将二者直接比较。故一般对上述公式的证明都不采用展开比较的办法。作者在教学中常遇到同学们希     

字符的Crofton几何识别法

本文应用积分几何于图象分析与识别之中,引进了Crofton整体参量和方向参量C(θ), C(θ)()D(θ)/J(θ)其中,D(θ)——广义方向直径(即方向投影总和),J(θ)为方向投影宽度,提出了一种称之为Crofton字符几何识别方案。此方案具有一系列的优点:不必“细化”,无须子模式匹配,不搞特征链,抗干扰能力强,易于电路实现。经小范围的初步实验(手写“0”～“9”),证实可行。与此同时获得了数字离散图象周长和Euler示性数的最佳计算公式,对于二值图象分析与识别具有特别重要的意义。     

对于一个求系列素数公式猜测的讨论

<正> 素数之分布状况,是数论中最有趣味且很重要的一个分支。其中之许多推测及定理,颇多均先由经验归纳得来。找出能求一系列素数的公式,更是其中有趣且很重要的一个难题。穆尔士(Mills)定理[1]给出了一个引人注目的,可用简单公式表出其函数值总代表素数的结果:存在一个实数θ,使[θ~(3n)“]对所有n(n=1,2,3,…n)都为素数。但这一定理所包含的内容并不如它的外表那样瞩目,因为θ的构造方法却依赖于能否识别任意大的素数,而若能识别出任意大的素数时,也就没有必要找出求素数的公式了。因此,寻找简单代数函数的素数公式是很有意义的。     

缔合勒让德函数的展开及公式P_l~m(cosθ)=(-1)~m((l+m)！/(l-m！))-P_l~(-m)(cosθ)的直接证明

在量子力学中讨论有心力场时,一开始就要遇到球谐函数Y_l,m的归一化问题。解决的办法之一涉及要证明P_l~m(cosθ)=(-1)~m((l+m)!/(l-m!))-P_l~(-m)(cosθ)这一公式。由于P_l~m(cosθ)与P_l~(-m)(cosθ)完全用cosθ表示时,很难进行展开,因而不能将二者直接比较。故一般对上述公式的证明都不采用展开比较的办法。作者在教学中常遇到同学们希     

一组代数恒等式及其应用

设{x_i}为任一复数序列。从两个初等代数恒等式的证明出发,研究了一类求和运算的封闭形式.基本定理可叙述如下;记{θ_j}p 为 p 次单位根,则有■通过对序列{x_j)和变量 t ,τ的特殊选择,上述定理给出一系列关于二项式系数及 Gauss 二项式系数的求和公式。其中包括徐利治、欧阳植(1984～1985)的新近工作作为特款。此外,定理的极限形式还可给出 Euler 关于自然数例数偶次幂和公式的一种新的推导。     

二元函数的Darboux公式和Obreschkoff公式

将一元函数的Darboux公式和Obreschkoff公式推广到了二元函数,并得到了二元函数的Darboux展开式的一些重要的特殊形式,同时也推广和深化了Sard公式,最后应用Bernoulli多项式和Euler多项式给出了二元对数函数ln(x y)的几种不同形式的渐进展开式.     

Kirchhoff弹性杆拟动力学的四元数表示

研究静力学Kirchhoff弹性杆,Kirchhoff动力学比拟是重要的技巧。拟动力学方程通常是用Euler角表示的,但Euler角在θ=kπ处存在奇异性,不适合数值计算。为了解决这个问题,本文引入四元数并建立了拟动力学模型的拟Lagrange方程和拟Hamilton方程。     

应用阶梯函数计算任意变截面曲梁的位移

计算任意变截面曲梁的位移,是在虚功原理的基础上,对变截面曲梁的面积和惯性矩的倒数,沿其轴线假定呈线性的阶梯状,引用极座标系的单位阶梯函数(θ-θ_i)_+~0的线性组合f(θ)=sum from i=1 to n-1[f(θ_i)](θ-θ_i)_+~0+f(θ_0+0),来描述其几何量的突变现象,用分部积分法导出求任意变截面曲梁位移的公式。若与总和法相比较,在一定的条件下,具有计算量少,精度高的优点,但是应用范围不及总和法广泛。     

两个三角恒等式及Euler公式的推广

第一部分给出两个三角恒等式及其证明,然后应用它给出了微分几何中平均曲率的一个重要结果及其证明;第二部分对E3中的一些概念在En中进行了平行推广,再将E3中的Eu ler公式κn(θ)=κ1cos2θ+κ2sin2θ推广到En中,得到En中关于平均曲率积分与法曲率积分相关的关系式。     

置换群中一个公式的推广

本文将置换群(D.S.Passman,1968)中∑g∈Gθ(g)2公式加以推广,得出了∑g∈Gθ(g)3与∑g∈Gθ(g)4的公式。     

关于光栅方程式普遍形式的讨论

光栅方程式是普通物理《光学》中的重要公式之一。在教学中,对光栅方程的讨论主要侧重于平行光束垂直入射的情况,这就是大家都熟悉的公式: dsinθ=jλ显然,衍射角θ的取值范围为-π/2～π/2、θ角取正值,对应正级光谱,θ角取负值,对应负级光谱。关于角度的正负,可仿照几何光学中的规定,从光栅法线转到光线方向为逆时针时取正值,顺时针时取负值。     

SU(2)上的Fourier级数的Gibbs现象

本文讨论了不可交换群SU(2)上的可积函数的Fourier级数及其Cesáro和的Gibbs现象。指出,当f(ρ,θ,ψ)∈L(SU(2))(这里,ρ,θ,ψ为SU (2)上的元素的Euler角)仅与θ,ρ有关时,在满足文中定理1的条件下,其Fourier级数在间断点上出现Gibbs现象。关于其Cesàro和,也有与古典的Fourièr级数类似的结果。     

关于四元数指数函数的注记

四元数在数理学科以及图像处理领域有着重要的应用.本文研究了四元数体上相应的指数函数,得到四元数体上的欧拉公式,并将复数上的指数乘法e~(iθ)e~(iβ)=e~(i(θ+β))推广到四元数上.     

Euler积分与Euler级数的推广

利用数学分析中的一些方法与技巧 ,将Euler积分与Euler级数进行了推广 ,其中包含许多典型而重要的积分与级数 ,且得到了大量新的积分公式与级数公式 ,并使之融为一个有机的整体。     

利用e~(θi)=cosθ isinθ解三角问题:

在新编高中《数学》教材的复数部分,把模为1、幅角为θ的复数,规定记为cosθ isinθ=e~(θi),这就引入了等式e~(θi)=coθ isinθ。其实这个等式就是古典的欧拉(Enler)公式。由于它的引入,可以使复数化为指数形式:Z=|Z|e~(θi),因而使复数Z 的乘除运算可以按指数律来进行,从而把较繁杂的运算变为简单。据此,我们把三角函数通过欧拉公式用复指数e~(θi)来表示,然后对e~(θi)按指数律进行运算,就可以解决三角中的一些问题。     

Euler积分与Euler级数的推广

利用教学分析中的一些方法与技巧，将Euler积分与Euler级数进行了推广，其中包含许多典型而重要的积分与级数，且得到了大量新的积分公式与级数公式，并使之融为一个有机的整体。