一类具有临界指数增长的分数阶p-Laplace方程的变分问题

本文研究了分数阶p-Laplace方程(-Δ)_p~s+V(x) u~(p-2)u=K(x)|u|~(q-2)u+|u|~(p_s~*-2)u(x∈R~N),其中,s∈(0,1),p_s~*=Np/N-sP,Nsp,p 1,并且V(x)和K(x)是正连续函数,(-Δ)_p~s是非线性局部p-Laplace算子,定义如下:■通过应用集中紧原理、山路定理、Moser迭代等变分方法,给出方程对应的变分框架,并给出对应泛函J(·)的集中紧性以及其(PS)_c。序列的收敛性的证明。     

一类带有Hardy项和Sobolev—Hardy临界指数椭圆方程的非平凡解

研究了一类带有Hardy项和Sobolev—Hardy临界指数的椭圆方程{-△u-u＋h（x）/｜x｜2u=｜u｜2·（s）-2/｜x｜s u＋λ｜u｜q-2 u,x∈Ω; u=0,x∈ Ω。通过运用变分方法和精确估计得到了非平凡解u∈D 1,2（Ω）的存在性．其中：Ω R N（N≥3）是一个有界光滑区域,0∈Ω,λ〉0,u∈R,0≤s〈2．     

带变号势函数的分数阶p-Laplacian方程弱解的存在性

研究了一类分数阶p-Laplacian方程(-Δ)_p~su+V(x)|u|~(p-2)u=f(x,u),x∈R~N弱解的存在性问题.其中:p≥2;N≥2;s∈(0,1);V(x)∈C(RN)是变号的势函数;(-Δ)sp是分数阶p-Laplacian算子;非线性项f:RN×R→R是Carathéodory泛函.运用山路引理,建立了该方程非平凡弱解的存在性定理.     

一类缺乏紧性的p-Laplacian方程非平凡弱解的存在性

研究了形如-div（｜x｜^α｜∨u｜^p-2∨u）＋b（x）｜u｜^p-2=f（x,u）的p-Laplacian方程．通过选取适当的空间,用有界区域向无界区域逼近的方法,克服了缺乏紧性的困难,从而仅仅利用Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式和无（PS）条件的山路引理证明了这类方程在R^N上非平凡弱解的存在性．     

一类非齐次Schrödinger-Poisson系统解的存在性

研究一类非齐次Schr?dinger-Poisson系统$\left\{ {_{ - \Delta \phi = {u^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \in {R^3}}^{ - \Delta u + V(x)u + \phi (x)u = f(u) + g(x),\;\;\;x \in {R^3}}} \right.$。当V（x）为径向对称位势,非齐次扰动项g（x）的范数足够小时,通过Ekeland’s变分原理和结合单调性方法的山路定理,证明了该系统解的存在性;当V（x）为强制位势且f（u）为奇函数时,通过（sP.S）_c条件和对称山路引理构造一趋于无穷大的临界值序列,获得系统无穷多解的存在性。     

各向异性非线性Schrisdinger方程的整体可解性

研究了各向异性的Schrsdinge；方程iut＋△u＋aux｜x｜x｜＋bux｜x｜x｜x｜x｜x＋｜u｜αu的初值问题的整体可解性，其中a,b都是实常数，a是正常数。选取合适的P=2（a＋2）/as＋2，利用非线性项｜u｜au的估计和各向异性的Schrodinger-算子S（t）的L^P-L^p估计，以及利用Banach不动点定理，获得了整体（几乎整体）解在Es（E^sT0）中的存在性。     

一类p-Laplace方程的无穷多解

本文考虑了一类p-Laplacian方程:-Δpu+up-2u=f(x,u),x∈RN,其中奇函数f(x,u)满足一定的增长性条件,同时F(x,u)在u=0附近具有局部超线性,使得能量泛函(PS)列具有紧性;利用变分方法以及应用Clark定理,得到了其无穷多解的存在性.     

一类拥有不确定权值的椭圆方程解的存在性

研究了Dirichlet问题 {-Δμu=：-div（｜Δ↓u｜^（μ-2）μ↓u）=λW（x）｜u｜^（μ-2）u｜f（x,u）,x∈Ω, u=0,x∈δΩ, 其中,Ω是R^n（n≥3）上的一个有界域,W（x）是一个不确定权值,通过局部环绕,证明在λ与W（x）满足适当条件下,该方程有弱解及无穷多解的存在性．     

具有非线性记忆项的波动方程的整体吸引子

基于先验估计的方法,在有界开区域Ω∈Rn上证明了具有非线性记忆项的弱阻尼波动方程utt＋αut＋σ｜ut｜mut-Δu-∫0tμ（t-s）｜u（s）｜βu（s）ds＋g（u）=f的整体吸引子的存在性.首先,我们在H0^1（Ω）×L^2（Ω）中建立该方程的解u的一个时间一致先验估计,证明了吸收集的存在性.其次,在空间H0^1（Ω）×L^2（Ω）中,我们把该方程诱导出的半群S（t）分解为S1（t）与S2（t）,然后,我们利用一致能量估计证明了S2（t）的一致衰减性,最后利用格林算子证明了S1（t）的紧性,从而得出S（t）的整体吸引子的存在性.     

一类p-Laplace发展方程解的存在性

研究了一类p—Laplace发展方程ut=div（｜▽u｜^p-2▽u）＋au∫Ωu^q（x,t）dx在一个有界域Ω R^N（N〉2）解的存在性,其中Δp=div（｜▽u｜^p-2▽u）,P〉1,r,q〉0．证明了当r,q≥1时,方程的解唯一存在;而在r〈1或者q〈1时局部解存在,但唯一性未必成立．     

带有临界指数的非齐次Klein-Gordon-Maxwell方程解的存在性

主要研究了以下一类非齐次Klein-Gordon-Maxwell方程:-Δu+[m2-(w+Φ)2]u=|u|2*-1+g(x),x∈R3;-ΔΦ+Φu2=-ωu2,x∈R{3解的存在性.在g(x)满足一定的假设条件下,通过变分方法得出系统解的存在性结论.     

一类非线性Choquard方程解的存在性

研究了一类非线性Choquard方程-Δu(x)+V(x)u(x)=a(x)∫R3a(y)|u(y)|p|x-y|μdy|u(x)|p-2u(x)解的存在性.其中,0μ3,6-μ3p6-μ.在位势函数V(x)及函数a(x),a(y)满足适当条件下,运用变分方法证明了方程非平凡弱解的存在性.     

一类Landau-Lifshitz型泛函的极小元的渐近性态

在函数类空间:W={u(x)=[sin f(r)eidθ,cos f(r)]∈H1(B,S2);u|坠B=g}中,研究Landau-Lifshitz型泛函Eε(u,B)=1/2∫ B︱▽u︱2dx+1/2ε2∫Bu23dx的径向极小元uε的渐近性态。通过建立径向极小元uε的H1局部收敛性,给出了u2ε3收敛到0的速度估计。     

一类哈密顿型椭圆方程组奇异摄动问题解的存在性和多重性

考虑如下哈密顿型椭圆方程组奇异摄动问题{-ε2Δu＋V（x）u=Gv（x,u,v）x∈RN,-ε2Δv＋V（x）v=Gu（x,u,v）x∈RN,（Pε）u（x）→0 v（x）→0当｜x｜→∞,其中η=（u,v）：RN→R×R,N≥3.假设位势V非周期,G（x,η）关于x非周期且关于η=（u,v）在无穷远处渐进二次,利用变分方法建立了解的存在性和多重性.     

一类拟线性椭圆方程全局爆破解的存在性

研究了一类拟线性椭圆型方程问题： {div（｜Δ↓u｜^p-2Δ↓u）＋Δ↓u｜^p-1=k（x）f（u）,x∈R^N u（x）→∞,｜x｜→∞ 的正解存在性问题,其中P〉1,而非负函数k∈Cloc^0,θ（R^N）（N≥3,0〈θ〈1） ,非负函数f在[0,＋∞）为连续、单增的．运用上下解方法和椭圆型方程内估计理论,在适当的条件下证明了该问题全局正爆破解存在性．     

关于非Newton渗流方程解的存在性的研究

通过对非Newton方渗流方程ut=div（ ｜▽u^m｜^p-2 ▽u^m）的Cauchy问题：QT =R^N × （0,T） , u（x,0） =u0（x）, x∈R^N,当p〉1,0 〈m≤1,0 〈 T〈∞ ,m（p - 1 ） 〈 1 时的研究,得到了在u0∈C^∞（R^N）且允许U0有一定增长性,即满足条件：C1 （1 ＋ ｜x｜p/p-1）^p-1/m（p-1）-1≤u0 （x） ≤ C2 （1 ＋ ｜x｜p/p-1）^p-1/1-m（p-1）时,其中C1≤C2为正常数,则初值问题存在局部广义解.     

非线性波动方程的解的存在性和衰减性

设Ω是n中的有界开集,对Ω上一致有界的函数a（x）≥0和一个常数ρ≥0,考虑了非线性粘性波动方程｜ut｜ρutt-u＋∫0^tμ（t-s）u（s）ds＋a（x）｜ut｜ρut＋g（u）=0.首先,利用Faedo-Galerkin逼近方法证明了整体弱解的存在性; 其次,通过函数F（t）=E（t）＋ε1φ（t）＋ε2χ（t）的估计,得到了能量的指数衰减性.     

随机Ginzburg-Landau方程的拉回吸引子

在 R2上具有光滑边界的有界区域 Q上考虑了具有线性乘积噪声的随机非自治Ginzburg-Landau方程？u？t -（λ＋ iα）Δu -（ν-σ22）u＋（k＋ iβ）｜ u｜2 u ＝ f （x ,t）＋σu礋dWd t 。我们运用Ball创建的能量方程方法建立了上述方程的拉回渐近紧性,进而证明了在相空间L 2（Q）上的拉回吸引子的存在性。