正交函数级数绝对求和

正交函数级数绝对求和的讨论,我们所见到的最早的是唐多利[1]证明的定理A。对任何有限区间上的就范正交函数系{ψ_n(x),正交函数级数∑a_nψ_n(z) (1) 都是几乎处处|c,1|可和的充要条件是∑A_m<∞(2) 其中A_m(a_(2~m 1)~2 …a_(2~m 1)~2)~1/2,(m=0,1,2,……)。拉因特娄儿[2]证明定理B.正交函数级数∑a_nψ_n(x)是|c,a|(-1相似文献   

关于正则语言的一点注记

《计算机学报》5卷(1982年)2期郭聿琦等同志一文[2]定理3的证明有误(当L接受空字时,该证明所作的文法不合用),从而所得的中间结果(下文的(a))亦有误;该文接着引用[1]定理3.4的证明但却曲解为下文的(b)(事实上,[1]的原文显然与(b)不同);由(a)(b()两项结果作者便得出下文的(c)。事实上,无论(a)(b)或(c)都是错误的。     

有限域上对角方程ax^{d}+by^{2d}=c的可解性

有限域研究中的一个重要问题是所谓的幂和问题，即在充分大的有限域F_q中任意元素能否表示成一个元素的d₁次幂和一个元素的d₂次幂之和，其中d₁和d₂均为正整数．设a,b∈F_q^*,c∈F_q,d为正整数．在本文中，我们利用有限域上的概率测度，Cauchy-Schwarz不等式及广义Fourier变换等工具研究了某些子集的测度，由此证明当■时方程ax^d+by^2d=c在F_q上恒有解．进一步，我们证明当q≠5时方程ax²+by⁴=c在F_q上恒有解．     

容许一个无不动点自同构群的有限群

设G是一个有限群,G的自同构群A无不动点地作用于G,且(│G│,│A│)=1,本文证明了下面几个主要定理。 定理3.2 若G有A-不变的幂零Hall子群H,且H的Sylow2-子群H_2Abel,a∈A~#,C_G(a)≤H,则H在G内有幂零的正规补群,特别地G可解。 定理3.4 若a∈A~#,C_G(a)为奇阶,则G2-闭,特别地G可解。 定理3.8 进一步假定A的指数无平方因子,若G有A-不变的幂零Hall子群H使a∈A~#,C_G(a)≤H,则G幂零。 定理3.2和3.8 都是Thompson(14)关于无不动点自同构的著名定理的推广,也是Scimemi(13)结果的部分推广,定理3.4是Pettet〔8)结果的部分推广。     

一个无限P—群性质及其推广(续)

定理3·G不可解‘。定理4叫_(G)不幂零。为了证明此定理,先证明引理。弓「理令一一D(尸1 az:〔)1O()OO“12口 la、l‘’·at…0沙!!!之。!|l、 一一 卯l,.t、rl卫矛 扎几 \\a,:二O 2刁一2,幼’D八)为G的正规子群;】i)D(2)为幂零的。证明,_’‘J)显然D(i)为G的于群。现在证明D(2     

与Fermat大定理有关联的代数等式

从直角三角形三边的关系式c2=a2+b2与公式:1=a2+b2=(a2+b2)2=(a2-b2)2+(2ab)2再由熟知的52=32+42展开讨论,发现并证明了引理1、引理2、引理3中的特性,这是本文的成果之一.把这些特性与Fermat大定理联系起来,虽还未证明Fermat大定理,但得出了定理1、定理2中与Fermat大定理有关联的代数等式,这是本文的成果之二.     

关于单形几个定理的証明

在平面几何中,我们知道,若给定△ABC,其三边长分别为a、b、c,a边上的高为h_(?),三角形面积为S,则有面积公式S=1/2ah_a,余弦定理a~2=b~2+c~2-2bccosA,等。事实上,这些定理及公式都可以推广到高维空间中去。本文给出几个关于单形的定理及其证明。     

幂零群无不动点地作用于有限群

本文讨论容许一个幂零的无不动点自同构群的有限群的可解性,推广B.Scimemi[2]的结果,而得出下面的定理,幂零群A≤AutG,C_G(A)=1,若G有一个A-不变的幂零π—Hall子群H,GεH(π＇),且H的Sylow2—子群H_2 Abel.(?)a∈A,C_G(a)≤H,则H在G内有幂零的正规补群,特别地G可解本文有例说明存在一对群(A,G)满足本文的定理但Scimemi及文[1]的定理3.2都不适用.     

任意区间上连续函数的最大(小)值的一个充要条件

在《数学分析》中关于一元函数的最大(小)值问题,对闭区间上的连续函数有一个较简单的算法,但对开区间区的连续函数仅谈了一个开区间的可导函数在具有唯一驻点时判别它是否是取得最大(小)值点的一个方法(见参考文献[1],[2],[3],[4])。这个方法通常被称为“单峰,单谷定理”,本文以明确形式归纳为推论1。本文定理一将其推广到较为一般的形式。在此基础上本文定理二给出了“开区间上的连续函数在具有唯一极值备选点时,具有最大(小)值的充分必要条件”。这是本文的主要结果。设 f(x)在(a,b)内连续,而在(a,b)\{c},a0这个定理给出了任意区间的连续函数在具有唯一极值备选点时求函数最大或最小值的一个相当简单的算法(推论2)(如文中例题所示)。     

Stolarsky定理的新证

设T 是一个四面体,它的基底是一个三边长为a,b,c 的三角形;令A,B,C 分别表示a,b,c 所对的棱长,Stolarsky 曾经猜测有:定理1 aBC bAC cAB≥abc.他还指出,不失一般性,只要对退化的四面体(即平面四角形)来证明就够了.这个猜想已被M.S.Klamkin 所证实,常庚哲又给出了一个复数证法.Stolarsky 义     

欧氏空间中闭曲线的切线象

W.Fenchel曾于1928年证明:3维欧氏空间中光滑闭曲线的切线象的长不小于2π在本文中我们证明了下述定理;定理 设c’是n维欧氏空间中分段光滑闭曲线c的切线象,则必存在一个内接于c’的球面m边形(m≤n+1),其长不小于2π.它是Fenchel定理的推广.     

Lagrange中值定理的辅助函数的一般作法

Lagrange中值定理证明中辅助函数作法各式各样，目前采用的主要有如下形式:应用1）-8）中任何一种，用Rolle定理立即可以证明Lagrange中值定理。表面上看作辅助函数要有几分技巧，其实只要用逆向思维来探索，不难发现这些助辅函数形式并非某人一时“聪明”而作出，却都是出自于一个统一的形式。事实上，从Lagrange中值公式的形式类似于前面的处理，即得F（x）＝（b-a）f（x）-[f（b）-f（a）]x＋c2（2）分别取c2为0;[f（b）-f（a）]a；af（b）－bf（a）；bf（a）-af（b），得到辅助函数5）-8）。比较（1）与（2），容易看出（2）是（1）的…     

关于有限群的O.Schmidt定理的推广

O.Schmidt的定理认为:如果有限群G的每个真子群是幂零的,则G是可解的.本文将这个著名的定理推广到更一般的情形,即证明:如果有限群G的每个真子群是SQN-1群,则G是可解的.作为这个结果的推论,我们还得到:如果有限群G是极小非SQN-1群,则|π(G)|=2.     

谈谈A~(-1)=(1/|A|)A~*的证明方法

在高等代数中有一个非常重要的定理 :方阵 A可逆的充要条件是 | A|≠ 0 ,且可逆矩阵 A的逆矩阵为 A-1=1| A| A*。在大多数教科书中 ,这个定理所采用的证明方法是 :先定义 A*,再根据 A·A*=| A|· I来证明。在教学过程中 ,常常有学生问 :“怎么能够想到矩阵 A*?我可想不到”。他们在惊叹数学家思维奇妙的同时 ,也对自己学习数学的能力产生怀疑。其实 ,上述定理可用克莱姆法则来证明。下面给出证明方法。方法一 :设 AX=I,其中 I为 n阶单位矩阵A =a11　 a12 　…　 a1na2 1　 a2 2 　…　 a2 n…　…　…　…an1　 an2 　…　 ann,　　 …     

关于幂零σ的Cyclic Decomposition定理

设σ是有限维空间Ⅴ上的一个幂零线性变换,让我们看关于σ的循环分解定理。 在这篇文章里,我们将给出关于这定理的一个简捷的重新证明。     

柯希定理的一个证明

在一般的数学分析教科书中,拉格朗日中值定理和柯西定理都是通过作辅助函数归结于洛尔定理来证明的。文[1]给出拉格朗日中值定理一个新的证法。但在[1]的引理1中,没有要求点x_2是(a,b)的点,而这点对证明定理无疑是重要的。因为,不然的话,由区间套定理得到的C点未必是(a,b)的点,于是定理就不能得证。本文将文[1]中的结论稍微加强,并予以新的证明。     

关于3个幂等矩阵线性组合的若干探讨

目的研究当P1,P2,P3是3个非零的两两相互可交换的n×n幂等矩阵并且c1,c2,c3是非零复数时,矩阵c1P1+c2P2+c3P3是幂等矩阵所必须满足的条件。方法使用归纳的方法进行总结。结果找到了c1P1+c2P2+c3P3是幂等矩阵的一些充分条件与P1+P2+P3是幂等矩阵的一个充要条件。结论丰富了幂等矩阵线性组合研究的相关理论。     

关于欧拉定理的另一证明

费尔马(在17世纪时)发现的一个定理历史上叫做Fermat小定理。后来欧拉(在18世纪时)给以证明并推广了它,推广后的定理历史上叫做Euler定理。这两个定理过去曾有过多种不同的证法,本文将给出另外一种证法。为此先证明引理1 设p是素数,而h_1,h_2,…,h_a都是整数(a为正整数),则 (h_1 h_2 … h_a)~p≡h_1~p h_2~p … h_a~p(modp)。证明:对a进行归纳。当a=1时,显然引理成立。     

关于函数的黎曼可积性

讨论有界函数是否在有限闭区间上（常义）黎曼可积时,文献[1]的可积准则为“,即文献[2]的可积准则为某个分割T,使得由于所用可积准则不同,在证明下述两个基本定理：定理1若函数f（x）在闭区间[a,b]有界,且有有限个间断点,则函数f（x）在[a,b]可积．定理2若函数f（x）在区间[a,c]与[c,b]可积,则函数f（x）在[a,b]也可积．时所采用的证明方法也就不同,而文献[2]的证明显得简单明了．本文不同于文献[2]的方法,将介绍一个振幅和不等式在证明函数黎曼可积方面的应用（下文所用符号的含义及可积准则与[1]相同）．一个振幅和不等式…     

智力碰撞

.巧思妙解⑩⑩⑩⑧@⑧困一庵…粤 拓扑学的一个基本定理叫做约当曲线定理(它是用法国数学家卡米耶·约当的姓氏命名的)。这个定理指出,任何的简单闭曲线(一条两端相接并且不自身相交的曲线)都把一个平面分成两个区域—一个外部和一个内部(图1)。这个定理看上去相当浅显,但是实际上证明起来却相当困难。 如果我们画出一条如图2那样的扭扭曲曲的简单闭曲线,要立即说出某一点,例如图中用小十字标出的那个点,是处于内部还是处于外部,可就不那么容易了。当然,我们可以循着这个点所在的区域不断追踪,一直追到曲线的边缘,看它是否通向外部而作出判…