可积函数的逼近性质的证明及其应用

考虑黎曼可积函数可用阶梯函数和连续函数逼近的问题,应用黎曼可积函数的充分必要条件定理,给出了可积函数的逼近结果的详细证明,并指出了这些逼近结果的一些应用,沟通了相关问题之间的联系和发展变化．     

Stancu算子对黎曼可积函数的逼近

本文借助[3]所引入的半范与相应的τ-模建立Stancu算子对■可积函数■近的正定理。     

多项式的倒数对可微函数的逼近

设非线性函数,f(x)∈C[-1,1]是非负的,f′(x)∈C[-1,1],f■(x)=f(x) ε,其中ε<0,C■是与ε无关的常数,当,f(x)满足[f'(x)]~2/f_■(x)≤C■时,存在次数不超过n的代数多项式P_n(x),使得f(x)-1/P_n(x)1≤C_f~″·1/nω(f′,1/n)(C_f~■仅与C■有关)。根据这个定理,得到多项式f(x)=x~2或x_ ~2的倒数的逼近阶是0(2/n~2)。     

多项式乘积逼近的中间系数函数的可微性

对于每个固定的ｙ∈[０,１]，定义Ｆｙ（x)∈C[０，１]为Fy(x)=F(x,y),且Ｆy(x)在[0,1]上的最佳一致逼近为 本文给出f_i(y)(i=1,2…,n)在[0,1]上α次连续可微的充分条件,并对一种特殊基给出 的估计式.     

论复合函数的可微性与可积性

通过实例主要论述以下两个结论：1．可微函数与可微函数两复合只是复合函数可微的一个充分条件而非必要条件;2．可积函数与可积函数复合既不是它们复合函数的充分条件也不是必要条件。     

关于函数的原函数与可积性关系的讨论

本举例说明了可积函数未必存在原函数，而有原函数的函数未必可积。中定理2推广了华东师范大学的数学分析中的定理10.17，举例说明了其逆命峭成立。定理3给出了其逆命题成立的条件。     

关于Mcshane可积函数的测度逼近

在高维空间中引入阶梯函数来刻划 Mcshane 积分,进一步揭示了 Mcshane 积分与Lebesgue 积分之间的内在联系。     

关于抽象函数的逼近

设ｆ（ｘ）是定义在［ａ，ｂ］、取值于实Ｂｎａｃｈ空间的强连续抽象函数，该文讨论用具有抽象系数的多项式逼近ｆ（ｔ）的问题，对自反Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ，建立了存在性定理，对严凸空间建立了唯一性定理及特征定理。     

阶梯函数逼近的思想方法和逼近论中的重要应用

论述了阶梯函数逼近的思想方法，并将其应用到下述几个方面：（１）用阶梯函数逼近连续函数；（２）Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ定理的初等证明；（３）用有理函数逼近有界变差函数；（４）Ｍａｒｋｏｖ系统中的多项式逼近问题。     

三角多项式倒数对周期可微函数的L_p逼近

考虑三角多项式倒数对周期可微函数的Ｌｐ（１≤ｐ＜＋∞）逼近问题，得到相关的一个定理及其推论。     

代数多项式对可微函数的一般保形同时逼近

应用带Hermite约束条件联立逼近的结果,讨论了有限枢间上可微函数借助于代数多项式的一般保形同时逼近,得到相关的几个结果。     

无穷区间上可积函数列逐项积分的条件

指出无穷区间上一致收敛的函数列未必可逐项积分，引进在无穷区间上一致可积的概念，得到无穷区间上可积函数列可逐项积分的一些条件。     

关于Riemann可积函数的本性

本文引进了函数在一点的本性振幅的概念，在Ｒｉｅｍａｎｎ积分意义下，证明了定理：设有界函数ｆ定义于闭矩形Ｉ，在Ｉ上Ｒｉｅｍａｎｎ可积的充要条件是对任意η大于零，Ｅη是一个零面积集。     

一类Riemann可积函数

证明了定义在[a,b]上的有界函数f(x），若只有第一类间断点，则f(x）在[a,b]上Riemann可积，另外，证明了一个导函数只能有第二类间断点，有间断点的单调函数不存在原函数。     

有界函数可积条件的推广

对数学分析教材中关于有界函数可积性的条件进行了推广,并且从测度的角度进一步解释了可以推广的原因。