时间分数阶扩散方程的高阶Diethelm方法

针对时间分数阶扩散方程,提出了一种新的隐式差分方法,其中空间导数采用中心差分方法离散.对于时间分数阶导数,将Caputo分数阶导数转化为Riemman-Liouville分数阶导数后,写成Hadamard有限部分积分,再用分段二次多项式对该有限积分部分逼近,由此推导出Caputo分数阶导数的3-α阶离散方法,从而得到无条件稳定的和收敛的分数阶扩散方程的隐式差分格式.数值实验验证该隐式差分格式的有效性.     

奇点位于区域内部的二维高分数阶奇异积分

考虑奇点位于区域内部的二维高分数阶奇异积分.利用Hadamard关于发散积分的有限部分的思想,给出了其Hadamard主值的表达式,并得到其可微性性质.     

Riemann-Liouville和Cputo分数阶微积分

利用伽马函数无穷积分探讨了从整数阶微积分到分数阶微积分的过渡和演绎.通过证明整数阶微积分仅是分数阶微积分的一种特殊情况,拓宽了导数和积分的概念.阐述了Riemann-Liouville和Cputo两种不同分数阶导数定义的区别和联系,给出了Hadamard积分与Riemann-Liouville导数之间的关系.     

求解非线性时间分数阶Klein-Gordon方程的谱配置方法

用Jacobi谱配置方法, 数值求解一类非线性时间分数阶导数为Caputo导数的Klein-Gordon方程. 先用Caputo分数阶导数和Riemann-Liouville分数阶积分的关系, 将分数阶Klein-Gordon方程转化为在时间上带奇异核的积分微分方程, 再在时间和空间上采用Jacobi谱配置法, 并用高斯积分公式逼近积分项, 使方程在配置点上 成立, 从而求得其数值解. 数值算例结果表明, 该方法所得数值解很好地逼近了精确解.     

分数阶常微分方程的梯形算法

研究分数阶常微分方程的数值算法.建立了基于Caputo分数阶导数的初值问题的梯形算法,并利用这类方程与第二类Voltta积分方程的等价性对误差进行了理论分析.通过数值实验,验证了算法的收敛阶及误差。     

带有分数阶边界条件的一维Riesz分数阶扩散方程差分方法

本文对带有分数阶边界条件的一维Riesz分数阶扩散方程进行了数值研究.本文利用分数阶中心差分公式对方程中的Riemann-Liouville空间分数阶导数进行离散,并利用标准的Grünwald-Letnikov分数阶算子对分数阶边界条件中的Riemann-Liouville空间分数阶导数进行离散,进而建立了一种隐式有限差分格式,然后讨论了该方法的解的存在唯一性,分析了该格式的相容性、稳定性和收敛性.最后本文通过数值实例验证了该方法的有效性.     

分数阶导数型粘弹性结构动力学方程的数值算法

基于精细积分方法,提出了具有分数阶导数型本构关系的粘弹性结构动力响应的一种新的数值计算方法。该方法首先将系统的动力学微积分方程转化为含分数阶导数项的一阶常微积分方程组,然后采用精细积分法对方程进行积分计算得到系统响应。数值计算结果与解析法及Zhang Shimizu算法的结果相吻合,并显示随计算步长减小其计算的收敛性更好。     

时间-空间双边分数阶扩散方程微分阶数的反演

研究了一维时间-空间双边分数阶扩散方程的求解与微分阶数的数值反演问题.基于Caputo意义下时间分数阶导数和Grünward-Letnikov意义下空间双边分数阶导数的离散,给出了一个有限差分求解格式,证明了其稳定性和收敛性.分别基于终值数据及区域中点处的观测值作为附加数据,应用同伦正则化算法对微分阶数进行数值反演.反演结果表明同伦正则化算法对于分数阶扩散方程的微分阶数反演是有效的.     

分数阶导数和积分的奇偶性及周期性

介绍了分数阶微积分的历史、分数阶导数和积分的定义,给出了分数阶导数、积分的运算性质以及三角函数的分数阶导数、积分的结果.研究了奇偶函数以及周期函数的分数阶导数、积分的性质.     

一类时间分数阶线性扩散方程的数值方法

利用非标准有限差分法给出了求解一类时间分数阶线性扩散方程的一种数值解法.对时间分数阶导数和整数阶空间导数离散后的差分近似过程中,对分母构造了一个关于时间步长和空间步长的函数来近似,证明了该差分格式是收敛和稳定的,通过数值算例验证该方法是有效的.     

Chebyshev小波求解超奇异积分

针对超奇异积分的数值计算问题.利用Chebyshev小波计算基于Hadamard有限部分积分定义的超奇异积分.由于Chebyshev小波有正交性、显式表达式及小波函数的可计算性,可以将超奇异积分区间内的奇异点变换到区间端点处,再通过区间端点处Hadamard有限部分积分的定义来计算超奇异积分.算例表明了该方法具有有效性和可行性.     

小波法求一类强奇异积分近似值

针对一类强奇异积分,给出了Hadamard有限部分积分的定义,并通过Legendre小波求其近似值.由于Legendre小波具有正交性、小支集性和小波函数的可计算性,因此利用Legendre小波近似给定函数,将原来区间转化为若干子区间,当奇异点位于某一子区间时,可采用所给强奇异积分的Hadamard有限部分积分定义来求值.给出了算法的误差估计,通过数值算例进一步验证方法的有效性和理论的正确性.     

分数阶超混沌L系统的吸引子讨论

本文利用Caputo意义下分数阶导数的概念,将整数阶L系统拓展为四维分数阶的形式,通过分数阶导数的恒等形式,利用预估校正算法把分数阶系统进行了离散化,给出分数阶微分系统的近似数值解,从而刻画出其吸引子的状态。     

预不变凸函数与一类Hermite-Hadamard型分数阶积分不等式

在本文中,我们首先建立了含Riemann-Liouville分数阶积分的二次可微积分恒等式。其次,基于建立的积分恒等式,我们推导出一些新的含Riemann-Liouville分数阶积分的预不变凸函数的二阶导数的Hermite Hadamard型不等式。最后,给出了一些其在特殊均值不等式上的应用。     

基于分布阶导数的本构方程模型的理论分析

研究基于分布阶导数的固体型黏弹材料的本构方程,方程中涉及到关于应变的分数阶导数的阶的积分.用分数阶导数算子_0D_t~α,Laplace变换及其数值逆方法,讨论了本构方程模型的松弛模量和蠕变柔量,谐变应力下应变的瞬态响应和滞后圈的形成.用分数阶导数算子_-∞D_t~α和待定系数方法,研究了模型在谐变应力下的稳态响应.模型能够合理地表示材料的黏弹特性,参数能够特征黏性或弹性的强弱.     

带有分数阶边界条件的一维分数阶扩散方程差分方法

对带有分数阶边界条件一维分数阶扩散方程进行了数值研究,分别利用移位的和标准的Grünwald-Letnikov分数阶算子对方程中Riemann-Liouville空间分数阶导数和分数阶边界条件中Riemann-Liouville空间分数阶导数进行了离散,在此基础上建立了一种隐式有限差分方法。然后分析了该方法的解的存在唯一性、相容性、稳定性和收敛性。最后通过数值实例验证了该方法的有效性。     

时间分布阶和里斯空间分数阶扩散方程的数值解

考虑具有非线性源项的时间分布阶和里斯空间分数阶扩散方程,通过中点求积规则近似方程中的积分项、中心差分法离散空间分数阶导数、Diethelm的后向有限差分公式离散时间分数阶导数,得到所给方程数值解的隐式差分格式,并分析其可解性、稳定性和收敛性。通过一个具体的数值例子对理论分析的正确性进行验证。     

非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程的全隐式有限差分格式

针对非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程的初边值问题,提出一种全隐式有限差分格式.首先,分别对Riemann-Liouville型变时间分数阶导数算子和Riemann-Liouville型变空间分数阶导数算子和广义Riesz分数阶导数算子进行离散化处理;然后,通过离散的能量方法证明全隐式有限差分格式的稳定性和收敛性,并验证其收敛阶为O(τ+h);最后,通过数值算例检验该方法.试验结果表明:全隐式有限差分格式求解非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程初边值问题是可行和有效的.     

基于内嵌物理信息神经网络求解空间分数阶扩散方程

利用内嵌物理信息神经网络方法(PINN)求解一类具有分数拉普拉斯算子的空间分数阶扩散方程,获得分数阶偏微分方程的数值解。首先将分数阶导数项采用有限差分离散算子后嵌入PINN进行求解,并借助自动微分技术进行求导;然后建立了训练误差函数,并给出方程初边值问题的相关算法,分析了神经网络的学习速率和数值误差;其次,给出数值例子,验证了用该方法求解空间分数阶扩散方程的有效性。     

时间分数阶变系数扩散方程的一种差分格式

近些年,越来越多的研究表明,随着时间或者空间变化,方程的扩散系数也会改变.主要研究了变系数分数阶扩散方程的有限差分解法.首先,引入半整数点,在空间网格上进行对偶剖分,再通过差分方法离散空间二阶偏导数.其次,利用两种分数阶导数,即Grünwald-Letnikov导数与Caputo导数的关系,近似替代时间分数阶导数,从而得到了收敛精度为o(t+h~2)的有限差分格式,并且该有限差分格式的解是存在且唯一的.最后,通过利用数学归纳法和最大模方法,证明出差分格式的稳定性和收敛性,并用一个一维时间分数阶变系数扩散方程的数值算例来验证差分格式的收敛阶.