关于自然数的定义

自然数,从基数的角度看,它是一切相互等价(对等)的非空有限集合的共同特征。从序数的角度看,则有定义1.设N是一个非空的集合,它的元素叫自然数,(以下简称数),如果对于N中某些元素a与b存在着关系:“b是a的后继者”,(a的后继者记作a'),并且满足下列公理:     

《关于自然数的定义》一文的意见

人们在给出自然数体系的定义上做了一些工作,《关于自然数的定义》一文介绍了G.Peano自然数公理体系的一个不重要变形: 设N是一个非空的集合,它的元素叫自然数,如果对于N中某些元素a与b存在着关系: “b是a的后继者”,(a的后继者记为a′)并且满足下列公理: I.N中存在这样一个元素,它不是任何元素的后继者。记这个元素为θ(*),即     

关于“递归定理”

这篇短文证明了如下定理. 定理 设集N包含1,a(?)a~+是N到自身的一个映射且满足递归定理: R.对于任意的非空集S,S内任意给定的元a及S到自身的映射(?),恒唯一存在N到S的映射f满足条件 f(1)=a,f(a~+)=(?)(f(a)),a∈N.则N中必成立 PⅠ.1≠a~+,对任何a∈N. PⅡ.a~+=b~+(?)a=b,对任何a,b∈N. PⅢ.完全归纳法原理:若M是N的满足条件 1∈M,"a∈M(?)a~+∈M" 的子集,则M=N.     

论实数的构造

Ⅰ.一组关于正数的公理 1.试回忆一下皮亚诺(G,Peano)公理。据皮亚诺的研究(可参看),自然数可以用下列这一组公理来确定: Ⅰ.有一个自然数叫作1. Ⅱ.若n是一个自然数,则n+1也是一个自然数。 Ⅲ.若n是一个自然数,则n+1≠1. Ⅳ.若m与n都是自然数而又m+1=n+1,则m=n. Ⅴ.若一类自然数包含1,而且只要包含n也就包含n+1,则这一类自然数包含全体自然数。     

完美数与亲和数问题对PA的条件独立性——对一些数论问题的逻辑讨论(Ⅲ)

用模型论方法证明了,对于在自然数系N上与PA等价的一组公理P1而言,N中一类特殊完美数的无限性是独立于P1 的. 并且,N中一类特殊亲和数的无限性也是独立于P1的.     

新自然数集与《数系理论》的改革问题

《中华人民共和国国家标准@物理科学和技术中使用的数学符号(GB3102.11-93)》对表示自然数集的符号N作出新的规定N=|0,1,2,…|,即0也是自然数.对于以 Peano自然数公理系统为基础的<数系理论>课程,本文对于在新自然数体系下如何建立与之相应的自然数公理系统及其有关性质进行了比较全面的讨论.并在教学上作出了一些有益的探索.     

EP元与方程的解

证明了如下结论:设a∈R~#∩R~+,则1)a∈R~(EP)当且仅当方程axa~*=a~*xa在χ_a中有解;2)a∈R~(EP)当且仅当方程a~#xa~*=a~+xa~*在χ_a中至少有两个解,其中χ_a={a,a~#,a~+,a~*,(a~#)~*,(a~+)~*}.     

探求大Carmichael数的一种方法

如果奇合数m满足:对每一个整数a,(a,m)=1,均有a~(m-1)≡1(mod m),则m称为Carmichael数.本文给出一种探求大Carmichael数的方法,并给出一些超过10~(8300)的Carmichael数.     

归纳谜明原理与归纳定义原理

归纳法的征明原理和定义原理,产生于对自然数理论的研究,早在1891年,Peano首先提出了关于自然数系的Peanb假定,这个假定的精髓就是假设在一个集合ω上存在一个仍取值于ω的函数S,它满足下述三个条件:     

数学分析中若干定理的统一证明

本文的目的,是对数学分析中的一些定理的证明提供一种统一的方法.用这种方法来证明通常要简单些.我们的方法与[1]中的以下定义和引理有关:定义设 C 是区间[a,b]的闭子区间的一个集合,如果每一个[a,b]都对应着一个数δ(x)>0,使得[a,b]的每一个包含 x 且小于δ(x)的闭子区间都属于 C,则称 C 是[a,b]的一个完全覆盖。     

广义数学归纳法

数学归纳法的原理和使用方法是众所周知的。它在证明与自然数有关的命题时是一个强有力的工具。它的理论主要依赖于自然数的有序性,且此顺序满足最小数原理:每个非空自然数集中有一个最小者。然而,正是这种对自然数的依赖关系限制了它的使用范围。本文的主要目的是介绍数学归纳法的推广形式。我们将把它称为广义数学归纳法。其适用的范围将不仅仅是自然数集合,还可以是其他类型的集合。这种推广具体来讲,一是顺序概念的推     

整环的泛拟正则性与雅各布森(Jacobson)根的另一构成

设■是一个含恒等元的整环,且包含有理数域为其子域,则(?)中一切正则元所成的集合P对乘法构成一个群,即■的正则群。取a∈P,则a有逆元b∈P;因为■包含有理数域,故可令a=1-nz,b=1-nω(n正整数),我们有 1=ab(1-nz)(1-nw)=1-n(z+w-nzw),从而     

关于模态命题系统P_5的协调性

证明模态系统P5的协调性.即:证明了模态系统P5的所有公理的布尔值为1.亦即:VB(B是一个完全的布尔代数)是模态命题系统P5的布尔值模型.     

关于MV-代数

讨论了 MV-代数 ( X; ,× ,* ,0 ,1 )上自然偏序关系的一些基本性质 ;给出了 MV-代数的一个等价公理系 ,它同 D.Mundici曾提出的一个简化公理系相比更为简单 .     

关于向量空间的定义

前言 教科书上经常采用的数域P上向量空间的定义是八条公理,文证明了八条公理不独立,其中向量加法的交换律(即下面的公理①)可由其余的公理推出,但是,文证明其余七条公理的独立性时在证明中有错误:第一,证明公理⑥不能由其余七条公理推出时,所用例子虽不满足公理⑥,但也不满足公理⑦;第二,证明公理⑧不能由其余七条公理推出时,所用例子不满足公理⑤(在本文中将分别说明之)。因此,八条公理的独立性如何,仍然是一个没有彻底解决的问题。本文将证明公理⑧是独立的,至于公理⑥,我们发观它的独立性比较有趣,它与数域P的关系密切。本文将证明存在数域P(例如复数域),公理⑥在该数域上是独立的;然而,也存在数域P(例如有理数域),公理⑥在该数域上可由其余公理推出,关于公理⑥的独立性问题,陈重穆教授提出了一个猜想,见本文的后记。     

等价关系公理系统的若干等价形式

在近世代数的讨论中,等价关系是一个十分有用的工具。对于集合M的元素规定了一个关系,记为～,是指:对于(?)a,b∈M,可以判断这个关系成立或不成立,印有a～b或没有a～b。当关系～适合反射、对称、推移三律时,则称该关系为等价关系。 (I) P_1反射律:(?) Q_2对称律:(?) R_1推移律:(?) 由此可见,等价关系是由三条公理给出的,我们称为等价关系公理系统。我们试图找出该公理系统的其他等价形式,此“等价”二字为可以互推的意思,如A(?)B,即指:A(?)B与B(?)A。首先,推移律 (又称传递律) 中的b,是起联系a与c的作用的,b的位置可以变化,如变为b～a,bc(?)a～c,同样可以起联系作用。其次,为要保证反射律 (又称自反律) 成立,我们可以改为:对(?)a∈M,(?)b∈M,使     

不完全信息群体决策的Borda数规则

对于不完全信息群体决策问题,建立了不完全信息Borda数规则,并研究它的性质和满足Arrow偏爱公理系的情况.在信息不完全的情况下,扩展了确定性下的Borda数规则.     

m值方阵系统的公理化

所謂m值方陣是指一个函数,它的定义城及值域均是某个具m个元素的集合:{a_1,a_2,…,a_m}。在下文,我們假定即用1到m这m个自然数来表示这m个元素。 設有若干个m值方陣F_1,…,F_s,如果它們經过迭置可以定义出一切m值方陣,則我們说F_1,…,F_s組成(函数)完全m值方陣系統;如果由它們經过选置至少可以定义出     

数学归纳法原理及其应用

数学归纳法是离散数学的重要内容，是计算机科学理论的重要组成部分。本文介绍有关数学归纳法原理及其应用。1自路四集的定义及其性质定义1［门没空集4的后继集记为若命名声为1，那么这样就得到自然数集合N＝11，2，3，4，··叫。从自然数集的定义中，可以直接得到以下基本性质：l）（N，＜）是全序集。即对VZI，12EN，必有出＜n。或nZ＜n；。此性质，使自然数集N的元素能按大小顺序排成一个无限序列：l，2，3，4，2）自然数集N是一个无限集。即在N的元素按大小顺序排列中，没有最大的数。也就是说，在此排列中，任意一个自然数后面还…     

解不定方程x~2 ax-2y~2=0的一个初等方法

本文给出不定方程x~2 ax-2y~2=0求解的一个初等方法,其中a为自然数(此方程的更一般形式的求解方法参看:柯召、孙琦,《谈谈不定方程》,上海教育出版社,1980年,第36页)。容易看出,方程 x~2 ax-2y~2=0 (1)一定有解。实际上,令x=y=a,则 a~2 a·a-2a~2=0 所以(a,a)是方程(1)的一组解。如果(x_0,y_0)是方程(1)的解中的最小者,则(x_0,y_0)叫做(1)的最小解。因