多项式矩阵根的再研讨

在引用源根研究复数域上多项式矩阵根的性质及求解方法的基础上，引用Jacobson型源根、Frobellius型源根，进一步研究了实数域R、有理数域Q上多项式矩阵根的性质，并给出了实数域R、有理数域Q上多项式矩阵根的求解方法。     

有关实Hamel基的不可测集

任意除环D上的一个向量空间V必有一个基,称为Hamel基。这可用有限特性子集集或Zorn引理证明。一般的Hamel基是实Hamel基的推广,本文只论后者,所谓实Hamel基是指:以Q及R表示有理数域与实数域,将及看作是Q上的一个向量空间,则存在着R的一个子集B(不具唯一性),使得: (A):B的每个有限子集都是Q上的线性无关组。 (B):R的每个元都可唯一地(但不计加项的先后及0项)表成B的元的有限线性组合,系数在Q内,即任意实数x=∑riba,其中r_i∈Q,b_a∈B,{a_i}是B的标集,∑表示有限和,表示式是唯一的。     

连续归纳法的新证明及其应用举例

 关于实数的连续归纳法类似于数学归纳法,它与Dedekind公理等价。基于现有的研究成果,本文给出了连续归纳法的一个新的较为简单的证明方法;举例说明了连续归纳法的广泛应用,同时也为分析推理的机械化作了一些准备。     

向量空间定义中运算公理的独立性

解决向量空间中8条运算公理在有理数域Q上的独立性问题,并指出[1]中一不足之处。     

实数连续性的同值形式

实数连续性是实数系区别于有理数系的最本质的属性。有理数系不具有连续性,因而不能用有理数去度量诸如不可公度线段之比这样一些量,也不能用有理数去描述连续变量的变化状态;而实数系因为具有连续性,则能成功地解决上述问题。“数学分析”是研究连续变量变化规律的科学,因此实数连续性对于“数学分析”的严格逻辑结构起着奠基的作用。什么是实数的连续性?这在不同的实数理论中有着不同的表述。正如大家所知道的,有     

关于超实数域^＊R的基数的一些注记

本文证明了在扩大的分析的非标准模型中超实数域^*R，超有理数域^*Q，超自然数集^*N等集合的基数可以大于任何“标准基数”．     

实数连续性的同值形式

实数连续性是实数系区别于有理数系的最本质的属性。有理数系不具有连续性,因而不能用有理数去度量诸如不可公度线段之比这样一些量,也不能用有理数去描述连续变量的变化状态;而实数系因为具有连续性,则能成功地解决上述问题。“数学分析”是研究连续变     

整数评述

整数是数学中最基本的研究对象之一,本文将对整数作一系统地评述。艾·兰道在《分析基础》中是从自然数的Peano公理出发,先讲自然数,然后讲正分数和正有理数,再讲正(有理和无理)数,最后讲实数(正数,负数和零)的。诺洼塞洛夫在《代数与初等函数》中是把自然数与零所成的数系扩大成有理数域,把     

实数的确界定理和连续性公理在平面上的推广

由于平面上任意两点不可比较大小,导致了直线上成立的很多结论在平面上就很难成立,由此借助偏序集理论在平面上规定了一种全序,从而将实数的确界定理和连续性公理推广到平面上,得到了平面上相应的确界定理和连续性公理.     

线性空间公理化定义研究及反例

讨论线性空间定义中 8条公理之间的关系 ,给出公理 1的一个充分条件和公理 5的两个等价条件 ,证明公理 6与公理 8在有理数域上是等价的 ,因此它们在有理数域上不独立 ;给出所有只满足 8条公理中部分公理的四元组(V ,P , , )的例子 ,特别是构造了一个例子来说明公理 8在复数域上是独立的以及说明公理 1 ,8不成立和说明公理 1 ,6 ,8不成立的例子     

实数的扩充及极限运算的推广

实数理论是数学分析的基础,由有理数扩充到实数,有Dedekind分割,Cantor的等价序列,Weierstrass的单调序列,都对实数给予理论上的严密阐述。从古典分析看来,这些古典成果,已相当完善,但最近由于抽象代数、拓扑、泛函分析的出现,对实数的再讨论有了必要。本文用泛函观点对实数理论试作一些探索,望读者指正。     

关于实数连续性的几个等价命题

整理并证明了实数连续性的七个等价命题，指出若把其中之一作为公理，其余均可由这一公理和其它公理推出，使实数连续性命题的逻辑关系和结构框架更加清楚。     

用线性空间理论研究数域

本文利用线性空间的理论，研究了有理数域Ｑ与实数域Ｒ之间的某些数域，同时研究实数域Ｒ与复数域Ｃ之间的数域。     

有理数概率下的效用表示定理

Von Neum ann- Morgenstern的期望效用理论假设对所有的抽奖 (c1 ,p;c2 ,1- p) (以概率 p抽得结果 c1 ,以概率 1- p抽得结果 c2 )的偏好序在所有实数 p(0≤ p≤ 1)均有意义 ;而且期望效用理论基于一组公理 ,从而保证效用函数的存在性和正线性变换意义下的唯一性。然而 ,当概率为无理数时 ,对于抽奖就难以给出直观的解释 ,J.C.Shepherdson首先研究了基于有理数概率度量的效用理论。作者提出一组有理数概率下效用函数存在的公理 ,并证明该公理体系下的效用表示定理。     

谈高等代数中的分解因式和解方程问题

利用复数域、实数域和有理数域上的多项式理论进行因式分解和解方程。     

二次扩域的性质

设F,K是两个域,且FK。显然K可以看作是域F上的线性空间,此时,如果K是二维的,那么就说域K是域F上的二次扩域。 比如,复数域C是实数域R上的二次扩域;而域Q(2~(1/2))则是有理数域Q上的二次扩域。 二次扩域具有许多简单、和谐而且有趣的性质。 为方便起见,下面的讨论均假定域K是域F上的二次扩域。     

经典域论：实数和有理数的结构特性

“经典域”是指实数、有理数、复数及P进数这四类数,它们分别具有自身的代数结构和拓扑结构,这些理论通常散见于各种关于代数或数论的论著中。本书系统全面地论述了这些数的结构特性,分析了它们之间的内部联系和差别,特别突出了实数结构的重要性,以此为基础研究有理数和P进数,还初步介绍了非标准数,而复数结构特性则是依据关系式C=R（i）由实数的结果推出。     

群的自由积的高可迁表示

可数无限秩的自由格序群是同构于有理数集上的格序置换群A(Q)的2-可迁子群，THEOREM6．7)．McCleary证明了有限秩的自由格序群有一个Q上的2-可迁表示．McCleary给出自由格序群Fη(1＜η＜^s\τ )在Q上有一个o-2-可迁作用，这一想法被推广到格序群的自由积．若G是一个L-群，F是基数至少是|F|的无限生成子上的自由群，则自由积G∪H在一个基数|F|的秩域上有一个o-2-可迁表示，G1ass和Gurevich则证明了两个可数L-群在Q上有一个o-2-可迁表示。证明若G和H是在有理数集Q上有忠实表示的非平凡可数群，则它们的自由积G∪H在Q上有高可迁忠实表示；若G和H是非平凡有限和可数群，且H有一个无限阶元素，则自由积G∪H在自然数集上有高可迁忠实表示。     

关于三等分,五等分,……等问题

在许多近世代数的教程中证明了:一个实数a,只有当有理数域Q的扩域Q(d)的次数为2~n,即[Q(a):Q]=2~n时,才能由园规与直尺作出,见文献[1], 一个任意角不能用园规与直尺三等分,其标准证明是这样完成的:60~0不能被三等分,只要注意三次方程     

实数理论中几个基本定理的等价性

<正> 数学分析理论的基础是实数的连续性。怎样描述实数的连续性?有的著作中把“确界存在定理”作为连续公理,导出其它基本定理;有的把“单调有界序列必有极限”作为连续性公理,导出其它基本定理;……这种从不同的连续性公理出发引出其它基本定理的顺序虽然不同,但本质是一样的。就其论证方法,一般著作都用二至三个循环论证才得到如下八个基本定理的等价性。本文从“区间套定理”出发,只用一个循环实现论证八大定理的等价性。