运用唯物辩证法,分析函数概念

函数概念是变量数学中的基本概念之一。因而对这一概念进行矛盾分析,正确地认识它,对学习与研究数学科学有着十分重要的意义。本文试图运用唯物辩证法,对函数概念进行分析,谈谈粗浅的看法。(一)函数概念是在变量的基础上建立起来的,它是从客观事物运动和变化中抽象概括出来的,因此要正确认识函数,必须首先正确理解什么是运动。恩格斯说:“物体在同一瞬间既在同一个地方又在另一个地方,既在同一个地方又不在同一个地方。这种矛盾的连续产生和同时解决正好就是运动。”列宁说:“运动是不问断性与间断性的统一。运动是矛盾,是矛盾的统一。”这里所说的“在同一个地方”是     

怎样认识微分——学习马克思《数学手稿》的体会之一

从十九世纪五十年代起,伟大的革命导师马克思,从无产阶级革命斗争的需要出发,配合政治经济学、哲学的研究,开始钻研数学。写下了《数学手稿》这部马克思主义的珍贵文献。为我们用唯物辩证法研究自然科学树立了光辉的典范。一、怎样表示X的增长?变量 x和 y 之间的函数关系 y=f(x)不仅包含变量 x 和 y 本身的相互关系,而且也隐含着他们变化的相互关系。“运动本身就是矛盾”。而微分学的本质就在于表现运动自身的矛盾。马克思的方法和微分学发展史上其他的方法相比较,关键“问题在于如何表示 x 的     

微分和辩证法

社会生产的发展推动了自然科学的发展,使数学从研究常数到研究变数。恩格斯说:“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了”。(《自然辩证法》第236页)微积分就是这样建立在变数的基础上,是辩证法在数学上的运用。     

第四讲 数学是一种辩证的辅助工具和表现方式——学习《自然辩证法》〔数学〕札记(Ⅱ)

数学是关于现实世界中空间形式和数量关系的科学,而现实世界又充满着矛盾的辩证发展过程,因此,数学也必然充满矛盾,充满辩证法。正如恩格斯所指出的,高等数学充满着矛盾,“连初等数学也充满着矛盾”。(《反杜林论》第119页)“数学:辩证的辅助工具和表现方式”(《自然辩证法》第3页。以下凡引用此书中的话,只注明页码。)根据这一基本观点,恩格斯在《自然辩证法》〔数学〕的第2-14、16个札记中,列举大量材料,以数学概念、数学运算和数学中量与质等三个方面,深刻揭示了数学内容的辩证性质。 (一)数学概念的辩证性质恩格斯在〔数学〕的第5-8、10-14个札记中,运用对立统一的观点,分析了某些数学概念的辩证性质     

变量和微分

辩证唯物主义认为:客观世界是运动的世界,运动是物质的存在形式。没有脱离物质的运动,也没有脱离运动的物质。事物何以运动呢?就在于事物的内部,在于事物内部的矛盾性,在于事物内部矛盾又斗争又统一而带来的发展。毛主席说:“矛盾是简单的运动(例如机械运动)的基础,更是复杂运动形式的基础。”因此可以说运动就是矛盾,是矛盾的统一。     

论零是微分的本质

马克思在《数学手稿》中从变数的自身变化中,辩证地揭示了微分的本质,是“被扬弃了的或消失了的差”,“因而是严格数学意义上的x_1-X=0”(《数学手稿》第3页,第5页)。然而,正是这个“零”,尽管它在字面上导致无,但在微分运算时,尤其是在积分过程之后却又可以获得实际结果。这样,岂不是“无中生有”吗?因此,为了解决这一矛盾,似乎非视微分为“非零”不可,即作为微分过程的结果是零,而作为积分运算的对象又是非零。概言之,微分就成了“零与非零的对立统一”。究竟应该怎样认识这个“零”呢?难道说“零”本身就不存在矛盾吗?否则又为什么不能让它本身直接参与积分运算呢? 本文准备就上述问题,谈谈自己的看法。     

谈微分的两重性

微积分产生于十七世纪下半叶,三百多年来,由于数学家们受唯心论和形而上学世界观的束缚,微积分学中某些基本概念长期得不到辩证的解释,造成了思想混乱,“已经达到的成果和传统的思维方式之间的这个冲突”一直未能解决.伟大革命导师马克思,由于制定政治经济学原理,写作《资本论》的需要,于十九世纪六十年代开始研究微积分.到八十年代初,前后写下了内容极其丰富的《数学手稿》.马克思在《数学手稿》中,用辩证唯物主义和历史唯物主义的科学方法,剖析了微分学的历史发展过程,推导和论证了微积分学中一些最基本的概念,使它们第一次得到了完全辩证的解释.马克思的《数学手     

运用对立统一规律认识微积分——学习马克思《数学手稿》的体会

高等数学的内容是讨论变数,研究运动,其主要基础之一,就是矛盾。恩格斯指出:“变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外是辨证法在数学方面的运用。”(《反杜林论》第132页) 无产阶级革命导师马克思,在《数学手稿》中,对微积分理论中的种种资产阶级偏见进行了有力驳斥,第一次从本质上阐明了微积分,给高等数学奠定了辩证唯物主义的基石。 毛主席说:“事物的矛盾法则,即对立统一的法则,是唯物辩证法的最根本的法则。”本文运用毛主席的这一思想,谈谈学习《数学手稿》的一些体会。     

用发展、转化的观点认识微分

微分是在社会实践的基础上产生和发展起来的,它是高等数学的重要概念之一.十七世纪,生产的发展和机器的应用要求人们研究机械运动,因此,作为描述与研究机械运动的微分方法与概念就在实验的基础上被总结出来.由于运动本身就是矛盾,这就决定了微分必然是一个包含着矛盾的概念,对它必须运用运动矛盾的观点才能正确认识.     

数学概念及其教学

本文针对避免中学生学习数学的“形式主义”谈两个问题。 (一)中学数学概念的定义问题。 由于中学数学理论是作为教学科目建立起来的,一般侧重运算,原则上不能违背科学结论,但可以通过教学法的处理,降低科学性(逻辑结构)的要求。所以中学数学教材对一些主要概念的定义方式灵活多变,其中形式定义应引起重视。 先讲与哲学相联系的概念“量”与“数”。所谓“量”,是事物存在的规模和发展的程度,是一种可以用数量表示的规定性。物体的大小、长短和运动的快慢等都是量,一般有相应的名称表示。例如,速度是区别物体运动快慢的量。为了表示某个量,人们选择一定的单位去计量。计量结果一般用名数(量数与计量单位的整体)表示,“量数”就是被量的量与计量单位之比。所谓“数”,是各种量的同一程度的反映,即表示同一“量数”的记号。(当然,数概念是不断发展的,象由于数学本身解方程的需要引     

两种微分法的区别

求导函数的运算叫做微分法,这是高等数学的一个很重要的内容。怎样认识微分的过程?有许多不同的看法,但说到底只有两种。一种是形而上学的微分法,以十九世纪法国数学家哥西为代表,他被看成是“近代意义下真正的微积分的奠基者”。另一种看法是由马克思所建立的,马克思在《数学手稿》中分析、批判了种种错误观点,对微分过程作了精辟论述,揭示了微分学的本质。马克思才是微分学的真正奠基者。两种微分法的区别反映了两种世界观的对立,曾经被颠倒的历史,在今天必须再颠倒过来。联系这个问题淡谈我们学习《数学手稿》的体会。     

基于粒集的概念粒系统

在作者提出的粒计算新模型──粒集理论的基础上,提出了粒系统、概念粒系统和粒概念等概念,并对它们分别进行了描述,其中粒系统的描述是五元组形式,即(U,D,L,H,J).当约束J的形式为一种特殊形式,即为概念中内涵与外延间反变关系的数学描述时,(U,D,L,H,J)就是概念粒系统.由此给出了概念粒系统的一些基本数学性质,证明了全体粒概念构成一个完备格──粒概念格,同时初步探讨了形式背景与概念粒系统之间的关系,从而进一步扩充了粒集理论的内容,完善了粒集理论.     

汤璪真对绝对微分学中微分分配性质的改进

绝对微分学是发展相对论引力学说的基本工具.意大利著名数学家列维-奇维塔(Levi-Civita)的《绝对微分学》是这方面的重要著作.20世纪30年代,武汉大学数学系教授汤璪真在研究和翻译列维-奇维塔这本著作时,发现"论轮回变位"一节中关于代表微分分配性质的公式的错误.起初,列维-奇维塔对这一错误并未认同.但经汤璪真与他通过信件往复讨论,依据原著中的定义、记法等给出严密证明,改进绝对微分学的微分分配性质后,获得列维-奇维塔的认同.列维-奇维塔也对汤璪真的工作予以肯定.汤璪真的改进工作虽然并非一帆风顺,但是民国时期中国和意大利数学交流活动的重要成果之一,从一个侧面反映了当时我国在绝对微分学方面的成就.     

怎样认识导数和微分——学习马克思《数学手稿》的体会

微分是高等数学的一个基本概念,它是具有生动活泼的内容的,辩证法这条红线贯穿它的始终。我们就是通过微分与积分的矛盾转化来表示物体的运动规律,列出微分数学式,解决实际问题的。在这里,谈一谈学习马克思《数学手稿》的体会。 一、用运动的观点认识ds/dt=0/0 首先,从自由落体这个典型问题谈起。微分法是研究事物运动和变化规律的数学方法。因此,要研究自由落体,就必须先弄清它的运动规律,然后才有可能进行数学的抽象与概括。 自由落体是个运动的东西,运动和静止是对立的统一,运动是绝对的,静止是相对的。可是运动表现于它的反面,即表现在静止中。因此运动就必须用静止来描述。正如列宁说的:“如果不把不间断的东西割断,不使活生生的东西简单化、粗糙化,不加以割碎,不使之僵化,那     

微分的本质是什么?

马克思在《数学手稿》中阐明,微分运算的本质是否定之否定。恩格斯在看了《数学手稿》之后致马克思的信中也指出:“特别值得注意的是,只有当(?)=(?)时,而且只有那时演算在数学上才是绝对正确的。”同时又指出:“……可以放心地把x′重新取做x;这己不     

谈谈数学结构~*R的现实原型——学习马克思《数学手稿》与恩格斯《自然辩证法》的一些体会

一、问题的提出无限小(大)量是实在的数吗?有没有比点还小的几何元素,换句话说,点是可分的吗?这些问题在马克思主义以前,没有一个人正确地解决过。无产阶级革命导师马克思和恩格斯分别在《数学手稿》与《自然辩证法》里运用唯物辩证法解决了这些难题。在数学界,直到二十世纪六十年代,鲁宾逊等人用数理逻辑的严谨方法得出了数学结构(?)R(国外数学界称为非标准分析),对马克思、恩格斯这一思想提供了一种数学上的描述。值得注意的是,时至今日,马克思和恩格斯这一光辉思想,还未能在数学界引起普遍的重视和应用。     

评爱因斯坦的运动观

运动观是人们对物质运动的总看法。物质为什么运动?因为有矛盾。一切物质内部都是一分为二的,都有矛盾的两个侧面,它们相互依存又相互斗争,这就构成了运动。机械运动也一样:“矛盾是简单的运动形式(例如机械性的运动)的基础,更是复杂的运动形式的基础。”(《矛盾论》) 机械运动是人们在生产实践中最早认识到的物质运动形式。从上古时代,由于农、牧业发展的需要,人们就不断提出关于天体运动的问题。屈原在《天问》中问道:“日月安属?     

修正微分定义统一数学分析

第二次数学危机爆发至今一直都存在不同的意见,无穷小分析这套微积分工具对问题的解决颇具启发性,但其理论基础备受质疑;而现今极限理论框架下的微积分失去了无穷小分析的简明直观性。该文修正了极限理论中微分和无穷小量的定义,根据“Bolzano连续性赋值”建立微商引理,统一了无穷小分析与极限理论;举例推证了部分微分学公式,揭示了无穷小分析和极限理论之间内在的蕴含关系,指出了L’Hospital法则、等价无穷小代换本质上就是求出函数在0/0处的值,和Euler的观点吻合。同时用纯粹数学描述Marx的数学手稿,证明其“微分为特定的0”的观点的正确性,表明可以从本质上彻底解决第二次数学危机。     

也谈谈什么是微分的本质

微分的本质是扬弃了的差或消失了的差马克思在他的《数学手稿》中精辟、正确地指出了:微分是“扬弃了的或消失了的差”,这就是微分的本质。同时,马克思还直截了当地写上了微分dx=0和dy=0,这个问题也是我们在认识微分的本质的过程中,值得很好思考的。马克思曾经在致恩格斯的信中谈到微分演算的历史发展过程时说:“这种方法始于牛顿和莱布尼茨的神秘方法,继之以达兰贝尔和欧勒的唯理论的方法,终于拉格郎日的严格的代数方法(但始终是从牛顿-莱布尼茨的原始的基本原理出发的)”(《马克思恩格斯全集》)。     

质量概念和“物质的量”

牛顿正式将质量概念引进物理学.在他的名著《自然哲学的数学原理》里,开宗明义的第一则规定就是:“物质的量,以其密度及体积联合度之,”接着,在对这一定义的阐释里,他又说“此项物质之量,以后我将以物体或质量名之.”从那时起,直到现在,都分别有不少论者赞成或反对将质量定义为“物质的量”,并多