《非光滑分析中的中值定理》的一个注记

在过去十多年中,非光滑分析已有了很大的发展。对满足不同条件的泛函,用不同的工具,已获得多种类型的中值定理。如文[1]等。在局部凸空间,文[1]用上凸逼近已得到几个中值定理。本文仍以上凸逼近为:工具,用不同文[1]的方法,得到类似于文[1]的结果,或者说,本文为文[1]等的一个注记。一、上凸逼近假设 X 为实局部凸(豪斯道夫)拓扑向量空间,∫:X→R 是广义实值函数。     

不动点性质在乘积空间上的保持性

<正> 映射的不动点性质在乘积空间上是否保持不变这一古老问题最近又引起了许多数学工作者的兴趣。Fora[1]最近得到的定理推广了Nadler[2]的有关结果。Kirk;Sternfeld[3],Belluce;Kirk[4]和Kirk[5]研究了非扩张映射的不动点性质在乘积空间上的保持性。本文目的有二:一是推广[1,2]的结果;二是讨论凝聚映射的不动点性质在乘积空间上的保持性。设(X,d)是完备距离空间,Y是任意拓扑空间,说Y具有不动点性质(f.p.p.),如果对每一g:Y→Y连续,则g在Y内有不动点,我们用P_1和P_2分别表X×Y在X和Y上的坐标投影.     

实共轭空间X~*严格凸的一个充分条件

设X为实Banach空间,如果X的单位球面S不包含任何非平凡的线段,则称X为严格凸的。由文献[1]知,在实Banach空间X中,如果则S上每一点的支撑泛函都是唯一的,即X是光滑的。本文证明了条件(1)也是实共轭空间X~*严格凸的一个充分条件。在证明中我们将采用文献[2]中的一些结论。     

严格伪压缩映像不动点的迭代逼近

设1＜p≤2,K是实p-一致光滑的Banach空间X的非空有界闭凸子集,K K (∩) K,T:K→K是严格伪压缩映像,且F(T)≠(Φ),Q是从X到K上的非扩张保核收缩,证明了修正的具误差的Ishikawa迭代序列强收敛到T的唯一不动点.     

函数空间映射的一个注记

对于拓扑空间Y,连续映射f∶X′→X可诱导函数空间映射f#Y∶YX→YX′,其中f#Y(g)=g f,g∶X→Y.文献[1]证明了:若f∶X′→X为上纤维化,则f#Y∶YX→YX′是纤维化.本文将证明:其逆命题也成立.     

上C-连续条件下集值映射的C-拟凸性

拟凸性在最优化理论及经济学中是一个非常重要的概念,对它的研究一直受到运筹学工作者的广泛重视,最近,对集值优化理论的研究吸引了众多学者,文献[1]得到了如下趣结果:定理[1]　令X是Rn中的非空凸集,f:X→R是下半连续函数,若对任意x1、x2∈X,存在α∈(0,1),使得f(αx1+(1-α)x2)≤max{f(x1),f(x2)},则f是X上的拟凸函数。本文将文献[1]的上述定理由数量情形推广到集值情形,并得出在上C 连续条件下集值C 拟凸函数的等价命题。文中假定:X、Y是实拓扑线性空间,S X是任意给定的非空集,C Y是点闭凸锥,F:S→2Y是集值映射。定义1[2]　令…     

Banach空间中可数簇全拟-Φ-渐近非扩张非自映射的强收敛定理

在具有Kadec-Klee性质的一致光滑和严格凸Banach空间中讨论了一类完全拟-Φ-渐近非扩张非自映射簇的公共不动点的迭代逼近问题,并证明了这类完全拟-Φ-渐近非扩张非自映射强收敛性.改进和推广了参考文献的结论:在一致凸和一致光滑的Banach空间中渐近非扩张非自映像(或广义渐近非扩张非自映像簇)的公共不动点的迭代逼近问题.     

一个局部极小值充分条件的推广

本文以广义方向导数为工具,在实局部凸向量空间的一个凸子集上,讨论了不可微函和非凸函数取局部极小值的一个充分条件,是有关 Lipschitz 函数的一个局部极小值的充分条件的推广。假设 X 是实局部凸(豪斯道夫)拓扑向量空间,f:X→R 是广义实值函数,N(x)表示 x∈X 所有开邻域的集合,记     

内积空间完备性充要条件的讨论

文献[1]、[2]给出了Hilbert空间的许多良好的性质,这些性质在非完备内积空间是否成立呢?我们通过考察内积空间上有界线性泛函的零空间正交补的结构及F.Riesz表示定理,进一步揭示了内积空间和Hilbert空间的若干重要性质,从中发现,Hilbert空间中若干良好的性质,在非完备内积空间中并不成立。 定理1 设X为任一内积空间(以A表其数域,A为实或复数域),f是X上任一非零有界线性泛函,那么     

半拓扑空间(Ⅱ)

§2 连续映象 1.一般理论定义2.1 设X和Y是(V)空间,f:X→Y是从X到Y中的映象,a∈X、如果对f(a)在Y中的每个邻域U,a在X中有邻域V使f(V)(?)U,则称f在a点连续、如果f在X中各点都连续,则称f是X上的连续映象[2,p.24]。关于(V)空间中的连续映象,我们有定理2.2 设X和Y是(V)空间,则为使映象f:X→Y连续,必须且只须下列条件之一成立:     

关于代数簇的小收缩映射的翻转

设f:X→Y是n维光滑射影代数簇的小收缩映射(n≥4).如果f的例外集是射影空间Pn-2,那么f:X→Y的翻转f :X →Y一定存在.     

无穷维空间中映像的广义可微性

一、引言近20年来,随着最优化理论的发展,为了处理非光滑函数而产生了一系列广义可微性的概念。1963年,R.T.Rockafellar[9]首先建立了凸函数 f:R~n→R 的“次梯度”,他定义 f 在x_0∈R~n 处的次梯度为(1.1)其后,他又逐步建立了这种次梯度的一般运算理论[10]。     

广义Fuzzy运算下的代数结构

在[2]、[4]、[5]中,分别讨论了广义Fuzzy运算的若干性质和用处。在[2]、[6]—[8]中分别介绍并讨论了若干广义Fuzzy运算。本文把[2]的广义Fuzzy“与”算子与[1]的t—范数统一起来:广义Fuzzy“或”算子与本文引进的t′—范数统一起来;用t—范数和t′—范数作为广义Fuzzy算子,讨论了它们的代数结构—我们称这种新的代数结构为次De—Morgen软代数。     

紧致空间上复合映射的不动点

设X是紧致空间,Y是拓扑空间,f:X→y,g:y→X均为连续映射。利用实函数建立了gf和fg的不动点定理。     

广义区间值可测函数的运算性质

本文在笔者[1]及有关广义区间的运算的基础上,讨论了在[1]中引入的“(?)可测”、“(?)弱可测”、“正常”及这里引入的“强正常”的广义区间值函数的运算性质.由于这几种可测性都分别是普通的广义实值函数的可测性概念在广义区间值函数意义下的推广(延拓),故本文诸结果(如[1]的诸结果一样)都是普通可测函数有关结果的推广。文中逐一地给出了广义区间值函数的各运算结果的几种可测性所应具备的可测性条件,并以一些实例表明:其中某些条件的必要性。     

紧致C~∞黎曼流形上C~1常微系统的拓朴熵

§1 引言拓扑熵是微分动力系统中的一个数值不变量,然而迄今为止,绝大部份成果是关于离散动力系统的,即用一个非负、实数值(可能无穷)来度量微分同胚f:M→M对空间M作用的混乱程度。相应地,常微系统或流的拓扑熵尚少涉及。参看[1]。     

局部Lipschitz泛函的Ljusternik-Schnirelman理论

§1 预备结果本文中,X为无穷维实自反Banach空间。设a:X→R是局部Lipschitz泛函,b:X→R是C~1-泛函,A=σa:X→2x~*是a的Clarke广义梯度,B=b′:X→X~*是b的Fre′chet导映射。本文要讨论如下的特征值问题     

微分方程组的解的有界性

本文应用微分不等式,讨论了微分方程组{X’=F(t,X,Y) Y’=G(t,X,Y)}的解的有界性和毕竞有界性,推广了文[1]§10的部分定理以及文[2]的定理3.1。     

分层不动点及变分不等式的一种粘性迭代方法

设H是一实Hilbert空间,设{Tn}:H→H是一可数族的非扩张映像,且M:=∩∞n=1F(Tn)≠φ.求解了一可数族非扩张映像{Tn}关于另一非扩张映像S:H→H之一公共不动点,即是求一x*∈M,使得〈x*-Sx*,x*-x〉≤0,x∈M.     

一类算子矩阵值域的正交补

设X和Y是Hilbert空间,T:D(T)?X→Y和S:D(S)?Y→X是稠定闭线性算子。令■:D(T)×D(S)?X×Y→X×Y,其中a,b∈C。通过T和S的图来刻画算子矩阵A的值域的正交补,进而得到了TS和ST的某些谱性质。