矩阵方程X~α+A*X~(-β)A=I的Hermite正定解

研究了矩阵方程Xα+A*X-βA=I的Hermite正定解的存在性问题。首先,给出矩阵方程有解的充分必要条件,即存在一个Hermite正定阵M,使得矩阵A满足如下的分解:A=(M*M)β2αN;其次,在所得结论的基础上,利用CS分解定理,得到矩阵方程有解的另一个充分必要条件:存在酉矩阵P、Q以及对角矩阵C0,D≥0,使得A=P*CβαQDP,其中C2+D2=I,CP=PC,此时方程的解可表示为X=(P*C2 P)1α;最后利用Brouwer不动点定理,证明若‖A‖≤βα+β+(αα+β)阵方程在区间βα+βI,I]上有解X。

The Hermitian positive definite solution of the matrix equation Xα+A*X -βA =I