非线性波方程Cauchy问题整体解的存在性和非存在性

考虑非线性波方程utt- 2kuxxt=g（ ux ）x，的Cauchy问题，其中，k〉0为实数，g（s）是给定非线性函数．当g（s）=s^n时（n≥2为整数），由Fourier变换方法和绝对值估计，证明了对任意T〉0，如果初始数据u0∈W^3.1（R） ∩ H^2（R） , u1∈W^1.1（R） ∩ L^2（R），则Cauchy问题存在惟一的整体光滑解 u∈C^∞（（0,T] ;H^∞（R）） ∩ C（0,T] ;H^2（R）） ∩ C^1（0, T] ;L^2（R）） ．利用凸性方法，证明了相应的Cauehy问题在空间C^∞（（0,T] ;H^∞（R））∩C（0,T] ;H^2（R））∩C^1（0,T] ;L^2（R））中不存在整体广义解。

Global Existence and Nonexistence of Solutions of Cauchy Problem for the Nonlinear Wave Equation

This paper concerns with the Cauchy problem for the nonlinear wave equation utt-2kuxxt=g(ux)x, where k>0 is a real number, g(s) is a given nonlinear function. When g(s)=sn (where n  2 is an integer), by the Fourier transform method and absolute value estimates we prove that for any T>0, the Cauchy problem admits a unique global smooth solution u ∈C∞((0,T];H∞(R))∩C(0,T];H2(R))∩ C1(0,T];L2(R)), provided that the initial data u0 ∈ W3,1(R)∩H2(R), u1 ∈ W1,1(R)∩ L2(R). And by the convexity method, it is shown that the Cauchy problem has no global generalized solution in the space C∞((0,T];H∞(R))∩ C(0,T];H2(R))∩ C1(0,T];L2(R)).