一类概率测度方程解的不变集及周期性

设随机过程的相空间为距离可测空间,以m(t,φ,·)表示初始分布为φ的随机过程在时刻t的概率分布,假定概率测度族{m(t,φ,·);t≥0}具有半群性。考虑单参数测度族方程: ψ(t+s,·)=m(s,ψ(t),·),t≥0,s≥0ψ(0,·)=ψ_0(·)此方程存在唯一的解测度族。本文讨论了此测度族的若干性质。§2中证明了在某些条件下,在时间区间0,∞)上,解测度族的极限集是非空、弱有界、弱紧的不变测度集。我们简化了Kushner1]1972年的证明并减弱了1]中不变集定理的假设条件。这时,不变集的支柱集的闭包是过程样本轨道的稳定集(按概率意义)。在§3中,考虑齐次马尔柯夫过程,当过程的转移函数为随机连续时,证明了测度方程的解只有三种可能:从某时刻起为平衡测度或从某时刻起为周期测度族或解测度族中任意二个概率测度均不相同。