非连通图(K1∨(P(1)n∪ P(2)n)) ∪ P(3)n及(K1∨(P(1)n∪ P(2)n)) ∪ P(3)n∪ St(n)的优美性

 给出了非连通图(K₁∨(P⁽¹⁾_n∪ P⁽²⁾_n)) ∪ P⁽³⁾_n和(K₁∨(P⁽¹⁾_n∪ P⁽²⁾_n)) ∪ P⁽³⁾_n∪ St(n)，且对其优美性进行了研究。证明了如下结论：设 n 为任意正整数，则当n≥4时，非连通图 (K₁∨(P⁽¹⁾_n∪ P⁽²⁾_n)) ∪ P⁽³⁾_n和(K₁∨(P⁽¹⁾_n∪ P⁽²⁾_n)) ∪ P⁽³⁾_n∪ St(n)均是优美图；其中，Pn 是 n 个顶点的路，Kn 是n个顶点的完全图， St(n) 是 n+1 个顶点的星形树，G₁ ∨ G₂ 是图 G1 与 G2 的联图。

The Gracefulness of Unconnected Graphs (K1∨(P(1)n∪ P(2)n)) ∪ P(3)n and (K1∨(P(1)n∪ P(2)n)) ∪ P(3)n∪ St(n)

The unconnected graphs  (K₁∨(P⁽¹⁾_n∪ P⁽²⁾_n)) ∪ P⁽³⁾_n，and  (K₁∨(P⁽¹⁾_n∪ P⁽²⁾_n)) ∪ P⁽³⁾_n∪ St(n)  are presented，and their gracefulness is studied.It is proved that for positive integer  n，if n≥4 then the unconnected graphs  (K₁∨(P⁽¹⁾_n∪ P⁽²⁾_n)) ∪ P⁽³⁾_n，and  (K₁∨(P⁽¹⁾_n∪ P⁽²⁾_n)) ∪ P⁽³⁾_n∪ St(n)  are graceful graphs；if n≥3 and  m≥s  then unconnected graph W_n ∪ St(m) is a graceful graph；in the meanwhile．Where P_n  is  n  vertex path，K_n is n  vertex complete graph，St(n) is (n+1)  vertex star tree, graph G₁∨G₂  is the join graph of G1 and G2． 